vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"vestifm-106Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSПОЛНОЕ ОПИСАНИЕ СТАРШЕГО ПОКАЗАТЕЛЯ ЛЯПУНОВА ЛИНЕЙНОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ С ПАРАМЕТРОМ-МНОЖИТЕЛЕМDESCRIPTION OF THE LARGEST LYAPUNOV EXPONENT OF LINEAR DIFFERENTIAL SYSTEMS WITH A PARAMETER-MULTIPLIERКарпукМ. В.KarpukM. V.m.vasilitch@gmail.comИнститут математики Национальной академии наук Беларуси, МинскInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus, Minsk20151805201603516Copyright © Карпук М.В., 20162016Карпук М.В.Karpuk M.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/106

Для семейства dx/dt = μA(t)x,  x∈Rn, t ≥ 0 линейных n-мерных дифференциальных систем с кусочно-непрерывной матрицей A(t), t≥0, и вещественным параметром μ получено для любого натурального n полное описание старшего показателя Ляпунова его систем, рассматриваемого как функция параметра μ. Доказано, что функция ƒ: R→R̅   является старшим показателем Ляпунова некоторого такого семейства, если и только если она удовлетворяет четырем условиям: 1) принадлежит бэровскому классу (*, Gδ);2) равна нулю в нуле; 3) неотрицательна на некоторой полуоси; 4) если она не равна тождественно +∞ ни на одной из открытых полуосей, то существует действительное число b такое, что неравенство ƒ(μ) ≥ bμ выполняется при всех μ∈R

The largest Lyapunov exponents of linear differential systems dx/dt = μA(t)x,  x∈Rn, t ≥ 0 with the real parameter-multiplier μ are considered. It is proven that a function ƒ: R→R̅   

is the largest Lyapunov exponent of some linear differential system with а real parameter-multiplier if and only if it fits the next four conditions: 1) it belongs to the (*,Gδ)  Baire class; 2) it vanishes at zero; 3) it is nonnegative on some real semi-axis; 4) if it is not identically equal to +∞ on any real semi-axis, then there exists such a real number b that the inequality ƒ(μ) ≥ bμ holds for all μ∈R.

линейные дифференциальные системыпараметр-множительпоказатели Ляпуновабэровский классlinear differential systemsparameter-multiplierLyapunov exponentsBaire classReferencesЛяпунов, А. М. Собрание сочинений: в 6 т. / А. М. Ляпунов. – М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1954–1959. – Т. 2. – 1956.Ляпунов, А. М. Собрание сочинений: в 6 т. / А. М. Ляпунов. – М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1954–1959. – Т. 2. – 1956.Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости / Б. Ф. Былов [и др.]. – М.: Наука, 1966.Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости / Б. Ф. Былов [и др.]. – М.: Наука, 1966.Изобов, Н. А. О существовании линейной сингулярной системы с неограниченным по мере экспоненциальным характеристическим множеством / Н. А. Изобов, С. Г. Красовский // Дифференц. уравнения. – 1998. – Т. 34, № 8. – С. 1049–1055.Изобов, Н. А. О существовании линейной сингулярной системы с неограниченным по мере экспоненциальным характеристическим множеством / Н. А. Изобов, С. Г. Красовский // Дифференц. уравнения. – 1998. – Т. 34, № 8. – С. 1049–1055.Красовский, С. Г. О спектральных характеристических сигма-множествах четной размерности и положительной меры / С. Г. Красовский // Дифференц. уравнения. – 2008. – Т. 44, № 6. – С. 856–857.Красовский, С. Г. О спектральных характеристических сигма-множествах четной размерности и положительной меры / С. Г. Красовский // Дифференц. уравнения. – 2008. – Т. 44, № 6. – С. 856–857.Красовский, С. Г. Критерий инвариантности характеристических показателей линейных систем с малым параметром при производной / С. Г. Красовский // Дифференц. уравнения. – 2003. – Т. 39, № 10. – С. 1315–1324.Красовский, С. Г. Критерий инвариантности характеристических показателей линейных систем с малым параметром при производной / С. Г. Красовский // Дифференц. уравнения. – 2003. – Т. 39, № 10. – С. 1315–1324.Зубов, В. И. Колебания и волны / В. И. Зубов. – Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1989.Зубов, В. И. Колебания и волны / В. И. Зубов. – Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1989.Хаусдорф, Ф. Теория множеств / Ф. Хаусдорф. – М.; Л.: ОНТИ, 1937.Хаусдорф, Ф. Теория множеств / Ф. Хаусдорф. – М.; Л.: ОНТИ, 1937.Куратовский, К. Топология: в 2 т. / К. Куратовский. – М.: Мир, 1966–1969. – Т. 1.– 1966.Куратовский, К. Топология: в 2 т. / К. Куратовский. – М.: Мир, 1966–1969. – Т. 1.– 1966.Карпук, М. В. О старшем показателе Ляпунова линейной дифференциальной системы с параметром-множителем при производной как функции параметра / М. В. Карпук // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2014. – № 4. – С. 15–24.Карпук, М. В. О старшем показателе Ляпунова линейной дифференциальной системы с параметром-множителем при производной как функции параметра / М. В. Карпук // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2014. – № 4. – С. 15–24.Барабанов, Е. А. О множествах неправильности семейств линейных дифференциальных систем / Е. А. Барабанов // Дифференц. уравнения. – 2009. – Т. 45, № 8. – С. 1067–1084.Барабанов, Е. А. О множествах неправильности семейств линейных дифференциальных систем / Е. А. Барабанов // Дифференц. уравнения. – 2009. – Т. 45, № 8. – С. 1067–1084.Барабанов, Е. А. Строение множеств устойчивости и асимптотической устойчивости семейств линейных дифференциальных систем с параметром-множителем при производной. I / Е. А. Барабанов // Дифференц. уравнения. – 2010. – Т. 46, № 5. – С. 611–625.Барабанов, Е. А. Строение множеств устойчивости и асимптотической устойчивости семейств линейных дифференциальных систем с параметром-множителем при производной. I / Е. А. Барабанов // Дифференц. уравнения. – 2010. – Т. 46, № 5. – С. 611–625.Карпук, М. В. Показатели Ляпунова семейств метризованных векторных расслоений как функции на базе расслоения / М. В. Карпук // Дифференц. уравнения. – 2014. – Т. 50, № 10. – С. 1332–1338.Карпук, М. В. Показатели Ляпунова семейств метризованных векторных расслоений как функции на базе расслоения / М. В. Карпук // Дифференц. уравнения. – 2014. – Т. 50, № 10. – С. 1332–1338.Далецкий, Ю. Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн. – М.: Мир, 1970.Далецкий, Ю. Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн. – М.: Мир, 1970.Барабанов, Е. А. Множества правильности и устойчивости однопараметрических семейств линейных дифференциальных систем / Е. А. Барабанов, А. Ф. Касабуцкий // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2009. – № 4. – С. 67–75.Барабанов, Е. А. Множества правильности и устойчивости однопараметрических семейств линейных дифференциальных систем / Е. А. Барабанов, А. Ф. Касабуцкий // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2009. – № 4. – С. 67–75.Касабуцкий, А. Ф. О множествах Лебега показателя экспоненциальной устойчивости линейных дифференциальных систем с параметром / А. Ф. Касабуцкий // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2010. – № 4. – С. 58–67.Касабуцкий, А. Ф. О множествах Лебега показателя экспоненциальной устойчивости линейных дифференциальных систем с параметром / А. Ф. Касабуцкий // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2010. – № 4. – С. 58–67.Барабанов, Е. А. Структура множества нижних показателей Перрона линейной дифференциальной системы / Е. А. Барабанов // Дифференц. уравнения. – 1986. – Т. 22, № 11. – С. 1843–1853.Барабанов, Е. А. Структура множества нижних показателей Перрона линейной дифференциальной системы / Е. А. Барабанов // Дифференц. уравнения. – 1986. – Т. 22, № 11. – С. 1843–1853.Барабанов, Е. А. Строение множества характеристических показателей Ляпунова экспоненциально устойчивых квазилинейных систем / Е. А. Барабанов, И. А. Волков // Дифференц. уравнения. – 1994. – Т. 30, № 1. – С. 3–19.Барабанов, Е. А. Строение множества характеристических показателей Ляпунова экспоненциально устойчивых квазилинейных систем / Е. А. Барабанов, И. А. Волков // Дифференц. уравнения. – 1994. – Т. 30, № 1. – С. 3–19.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.