vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"vestifm-112Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSТОЧНЫЕ КРАЙНИЕ ГРАНИЦЫ ПОКАЗАТЕЛЕЙ БОЛЯ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ С МАЛЫМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИEXACT EXTREME BOUNDS OF THE BOHL EXPONENTS OF SOLUTIONS TO THE LINEAR DIFFERENTIAL SYSTEM WITH SMALL PERTURBATIONSБарабановЕ. А.BarabanovE. A.bar@im.bas-net.byКонюхА. В.KonyukhA. V.al3128@gmail.comИнститут математики Национальной академии наук Беларуси, МинскInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus, MinskБелорусский государственный экономический университет, МинскBelarus State Economic University, Minsk201518052016033651Copyright © Барабанов Е.А., Конюх А.В., 20162016Барабанов Е.А., Конюх А.В.Barabanov E.A., Konyukh A.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/112

Получены формулы вычисления по матрице Коши линейной дифференциальной системы точной верхней границы подвижности вверх нижних показателей Боля и точной нижней границы подвижности вниз верхних показателей Боля ее решений при малых возмущениях коэффициентов системы. Доказано, что при малых возмущениях коэффициентов системы первая из указанных границ устойчива вверх, но неустойчива вниз, а вторая – устойчива вниз, но неустойчива вверх. 

Using the Cauchy matrix, the formulas for calculation of the linear differential system of the exact upper bound of the upward mobility of the lower Bohl exponents and of the exact lower bound of the downward mobility of the upper Bohl exponents of its solutions under small perturbations of the coefficients of the system are obtained. It is proved that under small perturbations of the coefficients, the first of the mentioned bounds is upward stable, but is downward unstable, and the second one is downward stable, but is upward unstable. 

линейная дифференциальная системаверхний и нижний показатели Боляверхний и нижний генеральные показателиlinear differential systemlower and upper Bohl exponentslower and upper general exponentsReferencesБылов, Б. Ф. Почти приводимые системы дифференциальных уравнений / Б. Ф. Былов // Сиб. мат. журн. – 1962. – Т. 3, № 3. – С. 333–359.Былов, Б. Ф. Почти приводимые системы дифференциальных уравнений / Б. Ф. Былов // Сиб. мат. журн. – 1962. – Т. 3, № 3. – С. 333–359.Миллионщиков, В. М. Структура фундаментальных матриц R-систем с почти периодическими коэффициентами / В. М. Миллионщиков // Докл. АН СССР. – 1966. – Т. 171, № 2. – С. 288–291.Миллионщиков, В. М. Структура фундаментальных матриц R-систем с почти периодическими коэффициентами / В. М. Миллионщиков // Докл. АН СССР. – 1966. – Т. 171, № 2. – С. 288–291.Далецкий, Ю. Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн. – М.: Наука, 1970.Далецкий, Ю. Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю. Л. Далецкий, М. Г. Крейн. – М.: Наука, 1970.Vinograd, R. E. Simultaneous attainability of central Lyapunov and Bohl exponents for ODE linear systems / R. E. Vinograd // Proc. Am. Math. Soc. – 1983. – Vol. 88, N 4. – P. 595–601.Vinograd, R. E. Simultaneous attainability of central Lyapunov and Bohl exponents for ODE linear systems / R. E. Vinograd // Proc. Am. Math. Soc. – 1983. – Vol. 88, N 4. – P. 595–601.Барабанов, Е. А. Равномерные показатели линейных систем дифференциальных уравнений / Е. А. Барабанов, А. В. Конюх // Дифференц. уравнения. – 1994. – Т. 30, № 10. – С. 1665–1676.Барабанов, Е. А. Равномерные показатели линейных систем дифференциальных уравнений / Е. А. Барабанов, А. В. Конюх // Дифференц. уравнения. – 1994. – Т. 30, № 10. – С. 1665–1676.Барабанов, Е. А. Генеральные показатели решений линейных дифференциальных систем как функции начального вектора / Е. А. Барабанов, А. В. Конюх // Успехи мат. наук. – 1994. – Т. 49, вып. 4. – С. 94–95.Барабанов, Е. А. Генеральные показатели решений линейных дифференциальных систем как функции начального вектора / Е. А. Барабанов, А. В. Конюх // Успехи мат. наук. – 1994. – Т. 49, вып. 4. – С. 94–95.Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости / Б. Ф. Былов [и др.]. – М.: Наука, 1966.Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости / Б. Ф. Былов [и др.]. – М.: Наука, 1966.Розенвассер, Е. Н. Показатели Ляпунова в теории линейных систем управления / Е. Н. Розенвассер. – М.: Наука, 1977.Розенвассер, Е. Н. Показатели Ляпунова в теории линейных систем управления / Е. Н. Розенвассер. – М.: Наука, 1977.Bohе, P. ȔberDifferentialungleichungen / P. Bohе // J. reine und angew. Math. – 1913. – Bd. 144, Hf 4. – S. 284–318.Bohе, P. ȔberDifferentialungleichungen / P. Bohе // J. reine und angew. Math. – 1913. – Bd. 144, Hf 4. – S. 284–318.Боль, П. Собрание трудов / П. Боль. – Рига: Зинатне, 1974.Боль, П. Собрание трудов / П. Боль. – Рига: Зинатне, 1974.Персидский, К. П. К теории устойчивости интегралов системы дифференциальных уравнений. Часть первая / К. П. Персидский // Изв. физ.-мат. о-ва при Казан. ун-те. 3-я сер. – 1936–1937. – Т. 8. – С.47–85.Персидский, К. П. К теории устойчивости интегралов системы дифференциальных уравнений. Часть первая / К. П. Персидский // Изв. физ.-мат. о-ва при Казан. ун-те. 3-я сер. – 1936–1937. – Т. 8. – С.47–85.Персидский, К. П. Избранные труды: в 2 т. / К. П. Персидский. – Алма-Ата: Наука, 1976. – Т. 1: Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. Теория вероятностей.Персидский, К. П. Избранные труды: в 2 т. / К. П. Персидский. – Алма-Ата: Наука, 1976. – Т. 1: Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. Теория вероятностей.Крейн, М. Г. О некоторых вопросах, связанных с кругом идей Ляпунова в теории устойчивости / М. Г. Крейн // Успехи мат. наук. – 1948. – Т. 3, вып.3. – С. 166–169.Крейн, М. Г. О некоторых вопросах, связанных с кругом идей Ляпунова в теории устойчивости / М. Г. Крейн // Успехи мат. наук. – 1948. – Т. 3, вып.3. – С. 166–169.Крейн, М. Г. Лекции по теории устойчивости решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / М. Г. Крейн. – Киев: Изд-во АН УССР, Ин-т математики, 1964.Крейн, М. Г. Лекции по теории устойчивости решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / М. Г. Крейн. – Киев: Изд-во АН УССР, Ин-т математики, 1964.Миллионщиков, В. М. К спектральной теории неавтономных линейных систем дифференциальных уравнений / В. М. Миллионщиков // Тр. Моск. мат. о-ва. – 1968. – Т. 18. – С. 147–168.Миллионщиков, В. М. К спектральной теории неавтономных линейных систем дифференциальных уравнений / В. М. Миллионщиков // Тр. Моск. мат. о-ва. – 1968. – Т. 18. – С. 147–168.Czornik, A.. On the spectrum of discrete time-varying linear systems / A. Czornik, M. Niezabitowski // Nonlinear Analysis: Hybrid Systems. – 2013. – Vol. 9. – P. 27–41.Czornik, A.. On the spectrum of discrete time-varying linear systems / A. Czornik, M. Niezabitowski // Nonlinear Analysis: Hybrid Systems. – 2013. – Vol. 9. – P. 27–41.Czornik, A. Alternative formulae for lower general exponent of discrete linear time-varying systems / A. Czornik, M. Niezabitowski // J. of the Franklin Inst. – 2015. – Vol. 352. – P. 399–419.Czornik, A. Alternative formulae for lower general exponent of discrete linear time-varying systems / A. Czornik, M. Niezabitowski // J. of the Franklin Inst. – 2015. – Vol. 352. – P. 399–419.Беклемишев, Д. В. Дополнительные главы линейной алгебры / Д. В. Беклемишев – М.: Наука, 1983.Беклемишев, Д. В. Дополнительные главы линейной алгебры / Д. В. Беклемишев – М.: Наука, 1983.Barabanov, E. A. Bohl exponents of linear differential systems / E. A. Barabanov, A. V. Konyukh // Memoirs on Diff. Eq. and Math. Phys. – 2001. – Vol. 24. – P.151–158.Barabanov, E. A. Bohl exponents of linear differential systems / E. A. Barabanov, A. V. Konyukh // Memoirs on Diff. Eq. and Math. Phys. – 2001. – Vol. 24. – P.151–158.Барабанов, Е. А. Показатели Боля линейных дифференциальных систем при убывающих возмущениях / Е. А. Барабанов, С. В. Кузнецов // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2001. – Т. 45, № 3. – С. 7–10.Барабанов, Е. А. Показатели Боля линейных дифференциальных систем при убывающих возмущениях / Е. А. Барабанов, С. В. Кузнецов // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2001. – Т. 45, № 3. – С. 7–10.Изобов, Н. А. Введение в теорию показателей Ляпунова / Н. А. Изобов. – Минск: БГУ, 2006.Изобов, Н. А. Введение в теорию показателей Ляпунова / Н. А. Изобов. – Минск: БГУ, 2006.Виноград, Р. Э. О центральном характеристическом показателе системы дифференциальных уравнений / Р. Э. Виноград // Мат. сб. – 1957. – Т. 42, вып. 2. – С. 207–222.Виноград, Р. Э. О центральном характеристическом показателе системы дифференциальных уравнений / Р. Э. Виноград // Мат. сб. – 1957. – Т. 42, вып. 2. – С. 207–222.Миллионщиков, В. М. О неустойчивости характеристических показателей статистически правильных систем / В. М. Миллионщиков // Мат. заметки. – 1967. – T. 2, вып. 3. – С. 315–318.Миллионщиков, В. М. О неустойчивости характеристических показателей статистически правильных систем / В. М. Миллионщиков // Мат. заметки. – 1967. – T. 2, вып. 3. – С. 315–318.Миллионщиков, В. М. Доказательство достижимости центральных показателей линейных систем / В. М. Миллионщиков // Сиб. мат. журн. – 1969. – T. 10, № 1. – С. 99–104.Миллионщиков, В. М. Доказательство достижимости центральных показателей линейных систем / В. М. Миллионщиков // Сиб. мат. журн. – 1969. – T. 10, № 1. – С. 99–104.Виноград, Р. Э. Необходимый и достаточный критерий и точная асимптотика устойчивости по первому приближению / Р. Э. Виноград // Дифференц. уравнения. – 1969. – Т. 5, № 5. – С. 800–813.Виноград, Р. Э. Необходимый и достаточный критерий и точная асимптотика устойчивости по первому приближению / Р. Э. Виноград // Дифференц. уравнения. – 1969. – Т. 5, № 5. – С. 800–813.Изобов, Н. А. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений / Н. А. Изобов. // Итоги науки и техники. Сер. Мат. анализ / ВИНИТИ. – М., 1974. – Т. 12. – С. 71–146.Изобов, Н. А. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений / Н. А. Изобов. // Итоги науки и техники. Сер. Мат. анализ / ВИНИТИ. – М., 1974. – Т. 12. – С. 71–146.Миллионщиков, В. М. О неустойчивости особых показателей и о несимметричности отношения почти приводимости линейных систем дифференциальных уравнений / В. М. Миллионщиков // Дифференц. уравнения. – 1969. – Т. 5, № 4. – С. 749–750.Миллионщиков, В. М. О неустойчивости особых показателей и о несимметричности отношения почти приводимости линейных систем дифференциальных уравнений / В. М. Миллионщиков // Дифференц. уравнения. – 1969. – Т. 5, № 4. – С. 749–750.Серебрякова, Н. Г. Взаимоотношения между генеральными показателями линейных дифференциальных систем / Н. Г. Серебрякова, А. Ф. Касабуцкий // Вес. Бел. дзярж. пед. ун-та. Сер. 3. – 2014. – № 4. – С. 34–37.Серебрякова, Н. Г. Взаимоотношения между генеральными показателями линейных дифференциальных систем / Н. Г. Серебрякова, А. Ф. Касабуцкий // Вес. Бел. дзярж. пед. ун-та. Сер. 3. – 2014. – № 4. – С. 34–37.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.