vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"vestifm-193Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSРЕШЕНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕ СТРОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ПРИ СМЕШАННЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ В ЧЕТВЕРТИ ПЛОСКОСТИINITIAL BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR THE NON-STRICTLY HYPERBOLIC EQUATION WITH MIXED BOUNDARY CONDITIONS IN A QUADRANTЛОМОВЦЕВФ. Е.LOMOVTSEVF. E.lomovcev@bsu.byЮРЧУКН. И.YURCHUKN. I.yurchuk@bsu.byБелорусский государственный университетBelarusian State University201621112016035157Copyright © ЛОМОВЦЕВ Ф.Е., ЮРЧУК Н.И., 20162016ЛОМОВЦЕВ Ф.Е., ЮРЧУК Н.И.LOMOVTSEV F.E., YURCHUK N.I.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/193

В настоящей работе полностью исследована и решена начально-краевая задача для простейшего неоднородного нестрого гиперболического уравнения второго порядка при смешанных граничных условиях Дирихле и Неймана в четверти плоскости. Методом характеристик выведены ее единственные классические решения в явном аналитическом виде и доказана необходимость и достаточность установленных требований гладкости и условий согласования на исходные данные (правую часть уравнения, начальные и граничные данные), обеспечивающие ее однозначную везде разрешимость во множестве классических решений. Требования гладкости на исходные данные этой задачи на «единицу» выше, чем если бы нами решалась аналогичная первая или вторая смешанная задача для гиперболического уравнения колебаний полуограниченной струны.

In this paper, the initial boundary value problem for the simplest inhomogeneous second-order non- trictly hyperbolic equation with the mixed Dirichlet and Neumann boundary conditions in a quadrant is fully investigated and solved. By means of the method of characteristics we have obtained its classical solution in analytic explicit form and have proved the necessity and the sufficiency of the established requirements and the smoothness of the original data (the right hand-side of the quation, initial and boundary data) to ensure its unambiguous solvability everywhere in a variety of classical solutions. The requirements on the smoothness of the data of this problem are by “one” are higher than if we have solved the similar first- or secondorder mixed problem for the hyperbolic equation of semi-infinite string vibrations.

начально-краевая задачанестрого гиперболическое уравнениеклассическое решениенеобхо- димое и достаточное условиетребование гладкостиусловие согласованияboundary value problemnon-strictly hyperbolic equationclassical solutionnecessary and sufficient conditionsmoothness requirementreconciliation conditionReferencesБарановская, С. Н. Смешанная задача для уравнения колебания струны с зависящей от времени косой производной в краевом условии / С. Н. Барановская, Н. И. Юрчук // Дифференц. уравнения. – 2009. – Т. 45, № 8. – С. 1188–1191.Барановская, С. Н. Смешанная задача для уравнения колебания струны с зависящей от времени косой производной в краевом условии / С. Н. Барановская, Н. И. Юрчук // Дифференц. уравнения. – 2009. – Т. 45, № 8. – С. 1188–1191.Ломовцев, Ф. Е. Метод Дюамеля решения неоднородного уравнения колебаний полуограниченной струны с косой производной в нестационарном граничном условии / Ф. Е. Ломовцев, Е. Н. Новиков // Вестн. Белорус. гос. ун-та. Сер. 1, Физика. Математика. Информатика. – 2012. – № 1. – С. 83–86.Ломовцев, Ф. Е. Метод Дюамеля решения неоднородного уравнения колебаний полуограниченной струны с косой производной в нестационарном граничном условии / Ф. Е. Ломовцев, Е. Н. Новиков // Вестн. Белорус. гос. ун-та. Сер. 1, Физика. Математика. Информатика. – 2012. – № 1. – С. 83–86.Моисеев, Е. И. Неоднородное факторизованное гиперболическое уравнение второго порядка в четверти плоскости при полунестационарной второй косой производной в граничном условии / Е. И. Моисеев, Ф. Е. Ломовцев, Е. Н. Новиков // Докл. Акад. наук. – 2014. – Т. 459, № 5. – С. 544–549.Моисеев, Е. И. Неоднородное факторизованное гиперболическое уравнение второго порядка в четверти плоскости при полунестационарной второй косой производной в граничном условии / Е. И. Моисеев, Ф. Е. Ломовцев, Е. Н. Новиков // Докл. Акад. наук. – 2014. – Т. 459, № 5. – С. 544–549.Ломовцев, Ф. Е. Необходимые и достаточные условия вынужденных колебаний полуограниченной струны с первой характеристической косой производной в нестационарном граничном условии / Ф. Е. Ломовцев // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2016. – № 1. – С. 21–27.Ломовцев, Ф. Е. Необходимые и достаточные условия вынужденных колебаний полуограниченной струны с первой характеристической косой производной в нестационарном граничном условии / Ф. Е. Ломовцев // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2016. – № 1. – С. 21–27.Шлапакова, Т. С. Смешанная задача для уравнения колебания ограниченной струны с зависящей от времени производной в краевом условии, направленной по характеристике / Т. С. Шлапакова, Н. И. Юрчук // Вестн. Белорус. гос. ун-та. Сер. 1, Физика. Математика. Информатика. – 2013. – № 2. – С. 84–90.Шлапакова, Т. С. Смешанная задача для уравнения колебания ограниченной струны с зависящей от времени производной в краевом условии, направленной по характеристике / Т. С. Шлапакова, Н. И. Юрчук // Вестн. Белорус. гос. ун-та. Сер. 1, Физика. Математика. Информатика. – 2013. – № 2. – С. 84–90.Корзюк, В. И. Первая граничная задача для нестрого гиперболического уравнения второго порядка с младшими производными / В. И. Корзюк, Е. С. Чеб // Еругинские чтения-2013: тез. докл. XV Междунар. науч. конф. по дифференц. уравнениям, Гродно, 13–16 мая 2013 г. – Минск, 2013. – Ч. 2. – С. 14–15.Корзюк, В. И. Первая граничная задача для нестрого гиперболического уравнения второго порядка с младшими производными / В. И. Корзюк, Е. С. Чеб // Еругинские чтения-2013: тез. докл. XV Междунар. науч. конф. по дифференц. уравнениям, Гродно, 13–16 мая 2013 г. – Минск, 2013. – Ч. 2. – С. 14–15.Корзюк, В. И. Уравнения математической физики. – Минск: БГУ, 2011.Корзюк, В. И. Уравнения математической физики. – Минск: БГУ, 2011.Юрчук, Н. И. Решение без продолжений данных смешанной задачи для параболического уравнения в четверти плоскости / Н. И. Юрчук, Ф. Е. Ломовцев // XII Белорусская математическая конференция: тез. докл. Междунар. науч. конф., Минск, 5–10 сент. 2016 г.: в 5 ч. – Минск, 2016. – Ч. 2. – С. 78–79.Юрчук, Н. И. Решение без продолжений данных смешанной задачи для параболического уравнения в четверти плоскости / Н. И. Юрчук, Ф. Е. Ломовцев // XII Белорусская математическая конференция: тез. докл. Междунар. науч. конф., Минск, 5–10 сент. 2016 г.: в 5 ч. – Минск, 2016. – Ч. 2. – С. 78–79.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.