vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"vestifm-210Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSТОЧНЫЕ ОЦЕНКИ ЧИСЛА ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ С ТРЕМЯ ТОЧКАМИ ПОКОЯ НА ПЛОСКОСТИPRECISE ESTIMATIONS OF LIMIT CYCLES NUMBER OF AUTONOMOUS SYSTEMS WITH THREE EQUILIBRIUM POINTS IN THE PLANEГриньА. А.HrynA. A.

кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедройматематического анализа, дифференциальных уравнений и алгебры факультета математики и информатики

Ph. D. (Physics and Mathematics), Assistant Professor, Head of the Department of Mathematical Analysis, Differential Equations and Algebra, Faculty of Mathematics and Informatics

grin@grsu.byКузьмичА. В.KuzmichA. V.

c тарший преподаватель кафедры фундаментальной и прикладной математики факультета математики и информатики

Senior lecturer, Department of Fundamental and Applied Mathematics, Faculty of Mathematics and Informatics

andrei-ivn@mail.ruГродненский государственный университет им. Янки КупалыYanka Kupala State University of Grodno20161901201704717Copyright © Гринь А.А., Кузьмич А.В., 20172017Гринь А.А., Кузьмич А.В.Hryn A.A., Kuzmich A.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/210

Для автономных систем с гладкими правыми частями рассматривается задача точной нелокальной оценки числа предельных циклов в односвязной области вещественной фазовой плоскости, содержащей три простые точки покоя с суммарным индексом Пуанкаре +1. Для решения указанной задачи последовательно строятся две функцииДюлака – Черкаса, с помощью которых находятся замкнутые трансверсальные кривые, разбивающие односвязную область на односвязные, двусвязные и, возможно, одну трехсвязную подобласть. Эффективность разработанного подхода продемонстрирована на примерах полиномиальных систем Льенара, для которых доказано существованиев каждой из двусвязных подобластей точно одного предельного цикла, в трехсвязной – точно двух предельных циклов. Установлены конфигурации этих предельных циклов. Полученные результаты могут быть применены в качественной теории и теории бифуркаций обыкновенных дифференциальных уравнений, а также в теории нелинейных колебаний.

For autonomous systems with smooth right sides the problem of precise non-local estimation of the limit cycles number is considered in a simply-connected domain of a real phase plane containing three equilibrium points with a total Poincaré index +1. To solve this problem, we are constructing successively two Dulac-Cherkas functions which provide the closed transversal curves decomposing the simply-connected domain in simply-connected subdomains, doubly-connected subdomains, and possibly a three-connected subdomain. The efficiency of the developed approach is demonstrated by the examples ofthe polynomial Liènard systems, for which it is proved that there exist a limit cycle in each of the doubly-connected subdomains and two limit cycles in the three-connected subdomain. We determine the configurations of these limit cycles. The obtained results can be applied in the qualitative theory and in the theory of bifurcations of ordinary differential equations, as well as in the theory of nonlinear oscillations.

система Льенарафункция Дюлака – Черкаса16-я проблема Гильбертапредельный циклLiènard systemDulac-Cherkas function16th Hilbert problemlimit cycleReferencesIlyashenko, Y. Centennial history of Hilbert’s 16th problem / Y. Ilyashenko // Bull. Amer. Math. Soc. – 2002. – Vol. 39. – P. 301–355.Ilyashenko Y. Centennial history of Hilbert’s 16th problem. Bulletin of the American Mathematical Society, 2002, vol. 39, pp. 301–355. doi: 10.1090/s0273-0979-02-00946-1.Качественная теория динамических систем второго порядка / A. A. Андронов [и др.]. – М.: Наука. 1966. – 568 c.Andronov A.A., Leontovich E.A., Gordon I.I., Majer A.G. Qualitative theory of second order dynamic systems. Moscow, Nauka Publ., 1966. 568 p. (in Russian)Ye, Y. Theory of limit cycles / Y. Ye // Transl. of AMS Monographs, Providence, RI, 66. – 1986. – P. 435.Ye Y., Cai S.L., Chen L.S., Huang K.C., Luo D.J., Ma Z.E., Yang X.A. Theory of limit cycles, Translations of Mathematical Monographs, vol. 66. Providence, American Mathematical society, 1986. 435 p.Qualitative theory of differential equations / Z. Zhang [et al.] // Translations of Mathematical monographs. Providence, RI, American Mathematical Society. – 1992. – Vol. 101. – P. 461.Zhang Z., Ding T., Huang W., Dong Z. Qualitative theory of differential equations. Translations of Mathematical monographs vol.101. Providence, American Mathematical Society, 1992. 461 p.Черкас, Л. А. Функция Дюлака полиномиальных автономных систем на плоскости / Л. А. Черкас // Дифференц. уравнения. – 1997. – Т. 33, № 5. – С. 689–699.Cherkas L.A. Dulac function for polynomial autonomous system in plane. Differerntial equations, 1997, vol. 33, no. 5, pp. 692–701.Черкас, Л. А. Конструктивные методы исследования предельных циклов автономных систем второго порядка (численно-алгебраический подход) / Л. А. Черкас, А. А. Гринь, В. И. Булгаков. – Гродно, 2013. – 489 c.Cherkas L.A., Grin A.A., Bulgakov V.I. Constructive methods of investigation of limit cycles of second order autonomous systems (numerical-algebraic approach). Grodno, 2013. 489 p. (in Russian)Черкас, Л. А. О функции Дюлака для системы Куклеса / Л. А. Черкас, А. А. Гринь // Дифференц. уравнения. – 2010. – Т. 46. № 6. – С. 811–819.Cherkas L.A., Grin A.A. On a Dulac function for the Kukles system. Differentsial’nye uravneniia - Differerntial equations, 2010, vol. 46, no. 6, pp. 818–826. doi:10.1134/S0012266110060066.Cherkas, L. A. Dulac-Cherkas functions for generalized Lienard systems / L. A. Cherkas, А. А. Grin, K. R. Schneider [Electronic resourse] // Electron. J. Qualitative Theory of Differential Equations. – 2011. – N 35. – P. 1–23. – Mode of access: http://www.math.u-szeged.hu/ejqtde/.Cherkas, L.A., Grin, A.A., Schneider, K.R. Dulac-Cherkas functions for generalized Lienard systems. Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations, 2011, no. 35. Available at: http://www.math.u-szeged.hu/ejqtde/.Кузьмич, А. В. Выделение класса обобщенных систем Куклеса с единственным предельным циклом / А. В. Кузьмич // Вестн. ГрГУ им. Янки Купалы. Сер 2, Математика. Физика. Информатика, вычислительная техника и управление. – 2015. – № 3 (199). – С.18–26.Kuzmich A.V. Emphasizing of a class of Kukles generalized systems with the unique limit cycle. Vestnik GrGU im. Ianki Kupaly. Ser. 2. Matematika. Fizika. Informatika, vychislitel’naya technika i upravlenie [Vesnik of Yanka Kupala State University of Grodno. Series 2. Mathematics. Physics. Informatics, Сomputer Technology and its Сontrol], 2015, no. 3 (199), pp.18–26. (in Russian)

The authors declare that there are no conflicts of interest present.