доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры алгебры и методики преподавания математики
Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Assistant Professor, Professor at the Department of Algebra and Didactics
аспирант
Postgraduate
Все рассматриваемые группы конечны. Символом Fp(G) обозначают наибольшую нормальную p-нильпотентную подгруппу группы G, а символом p(G) – множество всех различных простых делителей порядка группы G. Функции f : ℙ → {формации групп} сопоставляют класс групп LF ( f ) = (G | G / Fp (G) ∈ f (p) для всех p ∈ p(G)). Если формация F такова, что F = LF ( f ) для некоторой функции f, то F называют насыщенной формацией с локальным спутником f. Пусть F – насыщенная формация. Символом F /l F ∩ N обозначают полную решетку всех насыщенных формаций, заключенных между F ∩ N и F, где N – класс всех нильпотентных групп. Для произвольной полной решетки формаций Q символом Ql обозначается полная решетка всех таких формаций, которые обладают локальным Q-значным спутником. Спутник f называется Q-значным, если все его значения принадлежат Q. Пусть Q – полная решетка формаций. Тогда верхняя грань произвольной совокупности {Fi | i ∈ I} элементов из Ql обозначается через з l ( i | i I) Q ∨ F ∈ . Решетка Ql называется индуктивной (см. Скиба А. Н. Алгебра формаций. Минск: Беларус. навука, 1997), если для любого набора {Fi = LF ( fi ) | i ∈ I } формаций Fi ∈ Ql и для всякого такого набора { fi | i ∈ I } Q‑значных спутников fi, где fi – некоторый внутренний спутник формации Fi, имеет место ( | ) ( ( | )) l i i i I LF f i I Q Q ∨ F ∈ = ∨ ∈ , где символ ∨Q ( fi | i ∈ I ) обозначает такой спутник f, что f (p) является верхней гранью для { fi ( p) | i ∈ I } в Q, если i( ) i I f p ∈ ≠ ∅, и f ( p) = ∅ в противном случае. В настоящей работе доказана следующаяТ е о р е м а. Пусть F – насыщенная формация. Тогда решетка F /l F ∩ N индуктивна.
All groups considered are finite. The symbol Fp(G) denotes the p-nilpotent radical of a group G; p(G) is the set of primes dividing the order of G. Let f be a function of the form f : ℙ → {formations of groups}. (Ú) We consider the class of groups LF ( f ) = (G | G / Fp (G) ∈ f (p) for all p ∈ p(G)). If F is a formation such that F = LF ( f ) fora function f of the form (Ú), then F is said to be saturated and f is said to be a local satellite of F. Let F be a saturated formation. We write F /l F ∩ N to denote the lattice of all saturated formations lying between F and F ∩ N, where N is the class of allnilpotent groups. Let Q be a complete lattice of formations. Then we denote by Ql the set of all formations having a local Q-valued satellite. A satellite f is called Q-valued if all values of f belong to Q. Let X ⊆ F ∈ Q be a collection of group. We write QformXto denote the intersection of all formations of Θ containing all groups of X. Let {Fi | i ∈ I} be an arbitrary collection of formations in Θ. We denote ∨Q (Fi | i ∈ I) = Qform ii∈I F . Let { fi | i ∈ I } be a collection of Θ-valued satellites. Then ∨Q ( fi | i ∈ I ) denotes the satellite f such that ( ) form i ( ) i I f p f p ∈ = Q for every p ∈ ℙ. A complete lattice Ql is called inductive (see Skiba A. N. Algebra formacij [Algebra of Formations]. Minsk, Belaruskaja navuka Publ., 1997) if for any collection {Fi = LF ( fi ) | i ∈ I }, where fi is an integrated satellite of Fi ∈ Ql, the following equality holds: ( | ) ( ( | )) l i i i I LF f i I Q Q ∨∈ = ∨ ∈ F . In this paper, we prove the followingT h e o r e m. Let F be a saturated formation. Then the lattice F /l F ∩ N is inductive.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.