vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"vestifm-213Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSВЫЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ИНТЕГРАЛОВ С ПОМОЩЬЮ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ШТУРМАEVALUATION OF FUNCTIONAL INTEGRALS USING STURM SEQUENCESМалютинВ. Б.MalyutinV. B.

ведущий научный сотрудник

Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Leading Researcher

malyutin@im.bas-net.byИнститут математики Национальной академии наук БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus201619012017043237Copyright © Малютин В.Б., 20172017Малютин В.Б.Malyutin V.B.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/213

Данная работа касается двух направлений теории функционального интегрирования: представления физических величин, в частности ядра оператора эволюции, в виде функциональных интегралов и методов вычисления функциональных интегралов. Предложен новый метод приближенного вычисления функциональных интеграловпо условной мере Винера, который основывается на использовании формулы Фейнмана – Каца, дающей интегральное представление для ядра оператора эволюции, и на представлении ядра с помощью собственных значений и собственных векторов оператора. Предлагаемый подход эффективен при вычислении функциональных интегралов по пространству функций, заданных на отрезках большой длины.

The present work deals with two directions of the theory of functional integration. The first is the representation of physical quantities, in particular the evolution operator kernel in the form of functional integrals. The second is concerned with the methods for calculation of functional integrals. A new method for approximate evaluation of functional integrals with respect the conditional Wiener measure is proposed in this work. This method is based both on the use of the Feynman – Kac formula giving the integral representation of the evolution operator kernel and on the representation of the kernel using eigenvaluesand eigenvectors of operator. The proposed method is effective for calculation of functional integrals over a space of functions defined on the intervals of large length.

функциональные интегралыформула Фейнмана – Кацаядро оператора эволюциипоследовательность Штурмаfunctional integralsFeynman – Kac formulaevolution operator kernelSturm sequencesReferencesЯнович, Л. A. Приближенное вычисление континуальных интегралов по гауссовым мерам / Л. А. Янович. – Минск: Наука и техника. 1976. – 383 с.Yanovich L.A. Approximate calculation of continual integrals through the Gaussian measures. Minsk, Nauka i tekhnika, 1976. 383 p. (in Russian)Eгоров, A. Д. Приближенные методы вычисления континуальных интегралов / А. Д. Егоров, П. И. Соболевский, Л. А. Янович. – Минск: Наука и техника. 1985. – 310 с.Egorov A.D., Sobolevsky P.I., Yanovich L.A. Approximate methods for calculation of continual integrals. Minsk, Nauka i tekhnika, 1985. 310 p. (in Russian)Egorov, A. D. Functional integrals: Approximate evaluation and Applications / A. D. Egorov, P. I. Sobolevsky, L. A. Yanovich. – Dordrecht: Kluwer Academic Pablishers, 1993.Egorov A.D., Sobolevsky P.I., Yanovich L.A. Functional integrals: Approximate evaluation and Applications. Dordrecht, Kluwer Academic Pablishers, 1993.Егоров, А. Д. Введение в теорию и приложения функционального интегрирования / А. Д. Егоров, Е. П. Жидков, Ю. Ю. Лобанов. – М.: Физматлит, 2006. – 400 с.Egorov A.D., Zhidkov E.P., Lobanov Yu.Yu. An introduction to the theory and application of functional integration. Мoscow: Fizmatlit, 2006. 400 p. (in Russian)Langouche, F. Functional integration and semi-classical expansions / F. Langouche, D. Roekaerts, E. Tirapegui. – D. Dordrecht: Reidel Pub.Co., 1982. – 324 с.Langouche F., Roekaerts D., Tirapegui E. Functional integration and semi-classical expansions. Dordrecht, D. Reidel Pub.Co., 1982. 324 p.Horacio, S. Wio. Application of path integration to stochastic process: an introduction / S. Wio. Horacio. – World Scientific Publishing Company, 2013. – 176 р.Wio H.S. Application of Path Integration to Stochastic Processes: An Introduction. World Scientific Publishing Company, 2013. 176 p.Glimm, J. Quantum Physics. A functional integral point of view / J. Glimm, A. Jaffe. – Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 1981. – 417 р.Glimm J., Jaffe A. Quantum Physics. A functional integral point of view. Berlin-Heidelberg-New York, Springer-Verlag, 1981. 417 p.Feynman, R. P. Quantum mechanics and path integrals / R. P. Feynman, A. R. Hibbs. – McGraw-Hill, New York, 1965. – 377 р.Feynman R.P., Hibbs A.R. Quantum mechanics and path integrals. New York, McGraw-Hill, 1965. 377 p.Kleinert, H. Path integrals in quantum mechanics, statistics polymer physics, and financial markets / H. Kleinert. – Singapore: World Scientific Publishing, 2004. – 1592 р.Kleinert H. Path integrals in quantum mechanics, statistics polymer physics, and financial markets. Singapore: World Scientific Publishing, 2004. 1592 p.Боголюбов, Н. Н. Введение в теорию квантованных полей / Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков. – М., 1976.– 479 с.Bogolyubov N.N., Shirkov D.V. An introduction to the theory of quantum fields. Мoscow, Nauka, 1976. 479 p. (in Russian)Решение краевых задач методом Монте-Карло / Б. С. Елепов [и др.]. – Новосибирск: Наука, 1980.– 174 с.Elepov B.S., Kronberg A.A., Mikhailov G.A., Sabel’fel’d K.K. Solution of boundary-value problems by the Monte-Carlo method. Novosibirsk: Nauka, 1980. 174 p.Сабельфельд, К. К. О приближенном вычислении винеровских континуальных интегралов методом Монте-Карло / К. К. Сабельфельд // Журн. вычисл. математики и мат. физики. – 1979. – Т. 19, № 1. – C. 29–43.Sabel’fel’d K.K. Approximate evaluation of wiener continual integrals by the Monte Carlo method. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1979, vol. 19, no. 1, pp. 29–43. doi:10.1016/0041-5553(79)90064-8.Risken, H. The Fokker-Plank equation: methods of solution and applications / H. Risken. – Springer-Verlag, 1984. – 472 р.Risken H., Frank T. The Fokker-Plank equation: methods of solution and applications. Springer-Verlag, 1984. 472 p.doi:10.1007/978-3-642-61544-3.Wilkinson, J. H. The algebraic eigenvalue problem / J. H. Wilkinson. – Oxford, 1965. – 662 р.Wilkinson J.H. The algebraic eigenvalue problem. Oxford, 1965. 662 p.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.