vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"vestifm-214Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSМОНОТОННЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ МОДЕЛИ ШНЭКЕНБЕРГMONOTONE DIFFERENCE SCHEMES FOR THE SCHNACKENBERG MODELВоТхи Ким ТуенVoThi Kim Tuyen

аспирант

Postgraduate

vokimtuyen188@gmail.comБелорусский государственный университет,Хюэский промышленный колледжBelarusian State University, Hue Industrial College201619012017043846Copyright © Во Т., 20172017Во Т.Vo T.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/214

В настоящей работе построена каноническая форма векторно-разностных схем. Дано определение монотонности таких разностных схем, связанное со свойством положительности разностного решения. На основе этого определения построены монотонные разностные схемы для модели Шнэкенберг с граничными условиями Дирихле и Неймана. Эта модель представляет собой полунелинейную реакционно-диффузную систему и играет важную роль при математическом моделировании в областях физической химии и биологии. При построении монотонной разностной схемы для указанной модели с граничным условием Неймана основная идея состоит в том, чтобы использовать полуцелые узлы в граничных точках задания краевых условий второго рода. Представлены результаты вычислительных экспериментов, подтверждающих эффективность предложенных методов. численное решение получено без нефизических осцилляций.

In this article the canonical form of the vector-difference schemes is constructed. The definition of the monotonicity of difference schemes is given. This definition is related to the positivity property of the difference solution. Based on this definition, the monotone difference schemes for the Schnakenberg model with the Dirichlet and Neumann boundaryconditions are constructed. This model is a semi-nonlinear reaction-diffusion system, and it plays an important role in mathematical modeling in the fields of physical chemistry and biology. In constructing a monotone difference scheme for this model with the Neumann boundary condition, the idea of half-integral nodes at the boundary points under the secondkind boundary conditions is used. The results of numerical experiments have confirmed the effectiveness of the suggested methods. the numerical solution without nonphysical oscillation is obtained.

модель Шнэкенбергмонотонная разностная схемаSchnackenberg modelmonotone difference schemeReferencesМатус, П. П. Монотонные разностные схемы для линейного параболического уравнения с граничными условиями смешанного типа / П. П. Матус, В. Т. К. Туен, Ф. Ж. Гаспар // Докл. Нац акад. наук Беларуси. – 2014. – Т. 58, № 5. – С. 18–22.Matus P.P., Tuyen V., Gaspar F. Monotone difference schemes for linear parabolic equation with mixed boundary conditions. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi [Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus], 2014, vol. 58, no. 5, pp. 18–22. (in Russian)Самарский, А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. – М.: Наука, 1977. – 656 с.Samarskiy A.A. The theory of difference schemes. Moscow, Nauka, 1977. 656 p. (in Russian)Matus, P. P. The maximum principle and same its applications / P. P. Matus // Comput. Meth. Appl. Math. – 2002. – Vol. 2, N 1. – P. 50–91.Matus P.P. The maximum principle and same its applications. Computational Methods in Applied Mathematics, 2002, vol. 2, no. 1, pp. 50–91. doi: 10.2478/cmam-2002-0004.Матус, П. П. Монотонные разностные схемы для нелинейных параболических уравнений / П. П. Матус, И. В. Рыбак // Дифференц. уравнения. – 2003. – Т. 39, № 7.Matus P.P., Rybak I.V. Monotone difference schemes for nonlinear parabolic equations. Differential equations, 2003, vol. 39, no. 7, pp. 1013–1022. doi: 10.1023/B:DIEQ.0000009197.94879.5c.Farago, I. Discrete maximum principle and adequate discretizations of linear parabolic problems / I. Farago, R. Horvath // SIAM J. Sci. Comput. – 2006. – Vol. 28, iss. 6. – P. 2313–2336.Farago I., Horvath R. Discrete maximum principle and adequate discretizations of linear parabolic problems. SIAM Journal on Scientific Computing, 2006, vol. 28, no. 6, pp. 2313–2336. doi:10.1137/050627241.Farago, I. Discrete maximum principles for nonlinear parabolic pde systems / I. Farago, J. Karatson, S. Korotov // IMA J. Numerical Analysis. – 2012. – Vol. 32, iss. 4. – P. 1541–1573.Farago I., Karatson J., Korotov S. Discrete maximum principles for nonlinear parabolic pde systems. IMA Journal of Numerical Analysis, 2012, vol. 32, no. 4, pp. 1541–1573. doi: 10.1093/imanum/drr050.Francisco, J. Numerical methods for a one-dimensional non-linear Biot’s model / J. Francisco [et al.] // Comp. Appl. Math. – 2016. – Vol. 293. – P. 62–72.Gaspar F.J., Lisbona F.J., Matus P., Tuyen V. T. K. Numerical methods for a one-dimensional non-linear Biot’s model. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2016, vol. 293, pp. 62–72. doi:10.1016/j.cam.2015.03.039.Гаспар, Ф. Ж. Монотонные разностные схемы для систем эллиптических и параболических уравнений /Ф. Ж. Гаспар, П. П. Матус, В. Т. К. Туен, Л. М. Хиеу // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2016. – Т. 60, № 5. – С. 29–33.Gaspar F.J., Matus P., Tuyen V. T. K, Hieu L.M. Monotone difference schemes for systems of elliptic and parabolic equations systems. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi [Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus], 2016, vol. 60, no. 5, pp. 29–33. (in Russian)Murray, J. D. Mathematical Biology / J. D. Murrayю – 2nd ed. – Berlin: Springer-Verlag, 1993.Murray J.D. Mathematical Biology. 2nd ed. Springer-Verlag Berlin, 1993.Saad A. Manaa. Some numerical methods for Schnackenberg model / Saad A. Manaa // Int. J. Engineering Inventions. – 2013. – Vol. 2, iss. 2. – P. 71–78.Manaa S.A. Some numerical methods for Schnackenberg model. International Journal of Engineering Inventions, 2013, vol. 2, no. 2, pp. 71–78.Liu, P. Bifurcation analysis of reaction-diffusion Schnakenberg model / P. Liu // J. Math. Chem. –2013. – Vol. 51, iss. 8. – P. 2001–2019.Liu P., Shi J., Wang Y., Feng X. Bifurcation analysis of reaction–diffusion Schnakenberg model. Journal of Mathematical Chemistry, 2013, vol. 51, no. 8, pp. 2001–2019. doi: 10.1007/s10910-013-0196-x.Mitidieri, E. Weakly couple elliptic systems and positivity / E. Mitidieri, G. Sweer // Mathematische Nachrichten. – 1995. – Vol. 173, iss. 1. – P. 259–286.Mitidieri E., Sweer G. Weakly coupled elliptic systems and positivity. Mathematische Nachrichten, 1995, vol. 173, no. 1, pp. 259–286. doi: 10.1002/mana.19951730115.Saad A. Manaa. Numerical Solution of Brusselator Model by Finite Difference Method / Saad A. Manaa, Rostam K. Saeed, Fadhil H. Easif // J. App. Sci. Research. – 2010. – Vol. 6 (11). – P. 1632–1646.Manaa S.A., Saeed R.K., Easif F.H. Numerical Solution of Brusselator Model by Finite Difference Method. Journal of Applied Sciences Research, 2010, vol. 6, no. 11, pp. 1632–1646.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.