vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"vestifm-215Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSБЕЗУСЛОВНО МОНОТОННЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА АППРОКСИМАЦИИ НА РАВНОМЕРНЫХ СЕТКАХ ДЛЯ ГАММ А-УРАВНЕНИЯUNCONDITIONALLY MONOTONE FINITE DIFFERENCE SCHEME OF THE SECOND-ORDER APPROXIMATION ON UNIFORM GRIDS FOR THE GAMMA EQUATIONЛеМинь ХиеуLeMinh Hieu

аспирант

Postgraduate

lmhieuktdn@gmail.comБелорусский государственный университет, Экономический университет – Университет ДанангаBelarusian State University, University of Economics – University of Da Nang201619012017044754Copyright © Ле М., 20172017Ле М.Le M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/215

В настоящей работе рассмотрена начально-краевая задача для так называемого Гамма-уравнения, которое может быть получено преобразованием нелинейного уравнения Блэка – Шоулза для опционной цены в квазилинейное параболическое уравнение для второй производной опционной цены, и получены двусторонние оценки для его точного решения. На основании принципа регуляризации полученные ранее результаты обобщаются на построение безусловно монотонных разностных схем (принцип максимума выполнен без ограничений на соотношения между коэффициентами и параметрами сетки) второго порядка локальной аппроксимации на равномерных сетках для данного уравнения. С помощью разностного принципа максимума получены двусторонние оценки для разностного решения при произвольных незнакопостоянных входных данных задачи. Доказана априорная оценка в норме С. Отметим, что доказанные двусторонние оценки разностного решения полностью согласованы с дифференциальной задачей и максимальное и минимальное значения разностного решения не зависят от коэффициентов диффузии и конвекции. Приведенные в работе вычислительные эксперименты подтверждают теоретические выводы.

In this article we consider the initial boundary-value problem for the so-called Gamma equation, which can be derived by transforming the nonlinear Black – Scholes equation for option price into a quasi-linear parabolic equation for the second derivativeof option price, and for its exact solution the two-side estimates are obtained. By means of the regularization principle, the previous results are generalized to construct an unconditionally monotone finite-difference scheme (the maximum principle is satisfied without limitations on the relations between the coefficients and the grid parameters) of second-order approximation on uniform grids for this equation. With the help of the difference maximum principle, the two-side estimates for a difference solution are obtained using the arbitrary non-sign-constant input data of the problem. The a priori estimate in the maximum norm C is proved. It is interesting to note that the proven two-side estimates for the difference solution are fully consistent with the differential problem, and the maximal and minimal values of the difference solution do not depend onthe diffusion and convection coefficients. Computational experiments confirming the theoretical conclusions are given.

Гамма-уравнениепринцип максимумадвусторонние оценкимонотонная разностная схемаквазилинейное параболическое уравнениеGamma equationmaximum principletwo-side estimatesmonotone finite-difference schemequasi-linear parabolic equationReferencesВладимиров, В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров. – М.: Наука, 1981. – 512 с.Vladimirov V.S. Equations of mathematical physics. Мoscow, Nauka, 1981. 512 p. (in Russian)Самарский, А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. – М.: Наука, 1989. – 656 с.Samarskiy A.A. The theory of difference schemes. Мoscow, Nauka, 1989. 656 p. (in Russian)Матус, П. П. Монотонные разностные схемы для линейного параболического уравнения с граничными условиями смешанного типа / П. П. Матус, В. Т. К. Туен, Ф. Гаспар // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2014. – Т. 58, № 5. –С. 18–22.Matus P.P., Tyuen V.T.K., Gaspar F. Monotone difference schemes for linear parabolic equation with boundary conditions of the mixed kind. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi [Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus], 2014, vol. 58, no. 5, pp. 18–22. (in Russian)Матус, П. П. Принцип максимума для разностных схем с незнакопостоянными входными данными / П. П. Матус, Л. М. Хиеу, Л. Г. Волков // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2015. – Т. 59, № 5, – С. 13–17.Matus P.P., Hieu L.M, Volkov L.G. The maximum principle for finite-difference schemes with non-sign-constant input data. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi [Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus], 2015, vol. 59, no. 5, pp. 13–17. (in Russian)Matus, P. P. Analysis of second order difference schemes on non-uniform grids for quasilinear parabolic equations / P. P. Matus, L. M. Hieu, L. G. Volkov // J. Comput. Appl. Math. – 2017. – Vol. 310. – P. 186–199.Matus P.P., Hieu L.M., Volkov L.G. Analysis of second order difference schemes on non-uniform grids for quasilinear parabolic equations. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2017, vol. 310, pp. 186–199. doi: 10.1016/j.cam.2016.04.006.Koleva, M. N. A second-order positivity preserving numerical method for Gamma equation / M. N. Koleva, L. G. Vulkov // Appl. Math. Comput. – 2013. – Vol. 220. – P. 722–734.Koleva M.N., Vulkov L.G. A second-order positivity preserving numerical method for Gamma equation. Applied Mathematics and Computation, 2013, vol. 220, pp. 722–734. doi: 10.1016/j.amc.2013.06.082.Farago, I. Discrete maximum principle and adequate discretizations of linear parabolic problems / I. Farago, R. Horvath // SIAM J. Sci. Comput. – 2006. – Vol. 28, N 6. – P. 2313–2336.Farago I., Horvath R. Discrete maximum principle and adequate discretizations of linear parabolic problems. SIAM Journal on Scientific Computing, 2006, vol. 28, no. 6, pp. 2313–2336. doi:10.1137/050627241.Ладыженская, О. А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева. – М.: Наука, 1967. – 736 с.Ladyzhenskaya O.A., Solonnikov V.A., Ural’tseva N.N. Linear and quasilinear equations of parabolic type. Мoscow, Nauka, 1967. 736 p. (in Russian)Jandacka, M. On the risk-adjusted pricing-methodology-based valuation of vanilla options and explanation of the volatility smile / M. Jandacka, D. Sevcovic // J. Appl. Math. – 2005. – Vol. 3. – P. 235–258.Jandacka M., Sevcovic D. On the risk-adjusted pricing-methodology-based valuation of vanilla options and explanation of the volatility smile. Journal of Applied Mathematics, 2005, no. 3, pp. 235–258. doi: 10.1155/JAM.2005.235. 10. Fridman A. Partial differential equations of parabolic type. Moscow, Mir Publishers, 1968. 428 p. (in Russian)Фридман, А. Уравнения с частными производными параболического типа / А. Фридман. – Москва: Мир, 1968. – 428 с.Фридман, А. Уравнения с частными производными параболического типа / А. Фридман. – Москва: Мир, 1968. – 428 с.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.