vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"vestifm-223Research ArticleКРАТКИЕ СООБЩЕНИЯBRIEF REPORTSНЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ КЛАССИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ ПОЛУОГРАНИЧЕННОЙ СТРУНЫNECESSARY CONDITIONS FOR EXISTENCE OF CLASSICAL SOLUTIONS TO THE EQUATION OF SEMI-BOUNDED STRING VIBRATIONЮрчукН. И.YurchukN. I.

доктор физико-математических наук, профессор кафедры математической кибернетики механико-математического факультета

D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor of the Department of Mathematical Cybernetics of the Faculty of Mechanics and Mathematics

yurchuk@bsu.byНовиковЕ. Н.NovikovE. N.

аспирант

Postgraduate

novikovevgenij@gmail.comБелорусский государственный университетBelarusian State University20162001201704116120Copyright © Юрчук Н.И., Новиков Е.Н., 20172017Юрчук Н.И., Новиков Е.Н.Yurchuk N.I., Novikov E.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/223

Если неоднородное уравнение колебаний полуограниченной струны имеет некоторое классическое решение в первой четверти плоскости, то правая часть этого уравнения очевидно непрерывна. В работе доказывается, что в этом случае специальный интеграл от этой правой части, который является лишь обобщенным решением неоднородного уравнения колебаний полуограниченной струны, имеет вторые непрерывные производные и, следовательно, является его классическим решением. Это обобщенное решение отличается от известного обобщенного решения данного уравнения в верхней полуплоскости наличием модуля от пространственной переменной в подынтегральнойфункции, которой является непрерывная правая часть уравнения. Доказанное утверждение можно использовать для выявления соответствующих необходимых требований гладкости на правую часть уравнения колебаний струны для существования классических решений различных смешанных задачах в четверти и полуполосе  плоскости.

If the inhomogeneous equation of semi-bounded string vibration is a classical solution in the first quadrant, then the right-hand side of this equation is obviously continuous. We prove that in this case, a special integral of this right-hand side, which is a generalized solution of the inhomogeneous equation for semi-bounded string vibration, has continuous second derivatives and it is therefore a classical solution. This generalized solution differs from the known generalized solution of this equation in the presence of the upper half of the module of the spatial variable in the integrand, which is a continuous right-hand side ofthe equation. This assertion can be used to identify the corresponding necessary smoothness requirements on the right-hand side of the equation for string vibration for the existence of classical solutions of different mixed problems in the quarter and the half-plane.

неоднородное уравнение колебаний струныклассическое решениеобобщенное решениенеобходимое требование гладкостиinhomogeneous equation of string vibrationclassical solutiongeneralized solutionnecessary smoothness requirementReferencesКорзюк, В. И. Уравнения математической физики. – Минск: БГУ, 2011. – 459 с.Korzyuk V.I. Equations of mathematical physics. Minsk, Belarusian State University, 2011. 459 p. (in Russian)Барановская, С. Н. Смешанная задача для уравнения колебания струны с зависящей от времени косой производной в краевом условии / С. Н. Барановская, Н. И. Юрчук // Дифференц. уравнения. – 2009. – Т. 45, № 8. – С. 1188–1191.Baranovskaya S.N., Yurchuk N.I. Mixed problem for the string vibration equation with a time-dependent oblique derivative in the boundary condition. Differential equations, 2009, vol. 45, no. 8, pp. 1188–1191. doi:10.1134/S0012266109080126.Ломовцев, Ф. Е. Метод Дюамеля решения неоднородного уравнения колебаний полуограниченной струны с косой производной в нестационарном граничном условии / Ф. Е. Ломовцев, Е. Н. Новиков // Вестн. Белорус. гос. ун-та. Сер. 1, Физика. Математика. Информатика. – 2012. – № 1. – С. 83–86.Lomovtsev F.E., Novikov E.N. Duhamel’s method of solving the inhomogeneous equation semi-infinite string vibration oblique derivative in a non-stationary boundary conditions. Vestnik Belorusskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya 1. Fizika. Matematika. Informatika [Vestn. Belarusian. St. Univ. Ser. 1. Physics. Mathematics. Computer science], 2012, no. 1, pp. 83–86. (in Russian)Ломовцев, Ф. Е. Смешанная задача для неоднородного уравнения колебаний ограниченной струны при первых косых производных в нестационарных граничных условиях / Ф. Е. Ломовцев, Е. Н. Новиков // Воронеж. зимняя мат. школа: материалы Междунар. конф., Воронеж. 27 янв. – 2 февр. 2015 г. – Воронеж: Изд. дом ВГУ, 2015. – С. 73–76.Lomovtsev F.E., Novikov E.N. Mixed problem for the inhomogeneous wave equation finite string at the first oblique derivatives in non-stationary boundary conditions. Voronezhskaya zimnyaya matematicheskaya shkola: materialy Mezhdunarodnoi konferentsii [Mathematical School: Materials International conference]. Voronezh, VSU Publishing House, 2015, pp. 73–76. (in Russian)

The authors declare that there are no conflicts of interest present.