vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"vestifm-227Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSО ПРИБЛИЖЕННЫХ ФОРМУЛАХ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОДНОГО КЛАССА ФУНКЦИОНАЛОВ ОТ ПУАССОНОВСКОГО ПРОЦЕССАAPPROXIMATE FORMULAS FOR EVALUATION OF ONE-CLASS FUNCTIONALS OF THE POISSON PROCESSЕгоровА. Д.EgorovA. D.

доктор физико- математических наук, главный научный сотрудник

D. Sc. (Physics and Mathematics), Chief Researcher

egorov@im.bas-net.byИнститут математики Национальной академии наук Беларуси, МинскInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus, Minsk20173004201701713Copyright © Егоров А.Д., 20172017Егоров А.Д.Egorov A.D.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/227

Данная работа посвящена построению приближенных формул для вычисления математического ожидания нелинейных функционалов от случайных процессов. Предполагается, что рассматриваемые случайные процессы допускают хаотические разложения по кратным пуассоновским стохастическим интегралам. Используется подход, основанный на требовании точности приближенных формул для функциональных многочленов третьей степени от траекторий процесса. Применение формул рассматриваемого типа связано с их использованием в качестве элементарных при построении составных формул, сходящихся к точным значениям ожиданий, а также в качестве аппро­ксимаций математических ожиданий на малом временном промежутке. В случае разложения в бесконечный ряд рассматриваются аппроксимационно точные формулы, в которых используется конечный отрезок хаотического разложения.

 

This work is devoted to the construction of approximate formulas for calculation of mathematical expectation of nonlinear functionals defined along the trajectories of random processes. Computation of mathematical expectation of functionals of random processes by the quadrature method is the task that depends heavily on a form in which the process is given. A lot of functional quadrature formulas are built in the cases where the characteristic functional of the process is known in explicit form. Some results are obtained in the cases where the process is the solution of the stochastic differential Itό equation. Recently, the author has proposed the approach to an approximate evaluation of mathematical expectation of a class of nonlinear random functionals based on the use of the Wiener chaos expansion. The article uses chaos expansion with respect to multiple Poisson – Ito integrals to construct functional quadrature formulas for calculating nonlinear functionals of the stochastic process defined on the probability space generated by the Poisson process. The formula is exact for the thirddegree symmetric functional polynomial, so the product formula of multiple Poisson – Ito integrals is used for construction.

 

функционалы от случайных процессовматематические ожиданияприближенные формулыкратные пуассоновские стохастические интегралыхаотические разложенияfunctionals of random processesmathematical expectationsapproximate formulasmultiple stochastic Poisson stochastic integralschaotic expansionsReferencesEgorov, A. D. Functional integrals: Approximate evaluations and applications / A. D. Egorov, P. I. Sobolevsky, L. A. Yanovich. – Kluwer Academic Publ., 1993. – 419 p.Egorov A.D., Sobolevsky P.I., Yanovich L.A. Functional Integrals: Approximate Evaluation and Applications. Kluwer Academic Publ., 1993. 419 p. Doi: 10.1007/978-94-011-1761-6Егоров, А. Д. Введение в теорию и приложения функционального интегрирования / А. Д. Егоров, Е. П. Жидков, Ю. Ю. Лобанов. – М.: Физматлит, 2006. – 400 с.Egorov A.D. An Introduction to Theory and Applications of Functional Integration. Moscow, Fizmatlit Publ, 2006. 400 p. (In Russian).Egorov, A. D. Approximate formulas for expectation of functionals of solutions to stochastic differential equations / A. D. Egorov, K. K. Sabelfeld // Monte Carlo Methods and Applications. – 2010. – Vol. 16, № 2. – P. 95–127.Egorov A.D., Sabelfeld K.K. Approximate formulas for expectation of functionals of solutions to stochastic differential equations. Monte Carlo Methods and Applications, 2010, vol. 16, no. 2, pp. 95–127. Doi: 10.1515/mcma.2010.003Egorov, A. D. Approximations of functional integrals with respect to measure generated by solutions of stochastic differential equations / A. D. Egorov, A. V. Zherelo // Monte Carlo methods and applications. – 2004. – Vol. 10, № 3/4. – P. 257–264.Egorov A.D., Zherelo A.V. Approximations of functional integrals with respect to measure generated by solutions of stochastic differential equations. Monte Carlo methods and applications, 2004, vol. 10, no. 3-4, pp. 257–264. Doi: 10.1515/ mcma.2004.10.3-4.257Малютин, В. Б. Об одной аппроксимации математического ожидания решения нелинейного стохастического дифференциального уравнения с антикоммутирующими коэффициентами / В. Б. Малютин // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2003. – № 3. – C. 34–37.Malyutin V.B. Approximation for expectation from solution of nonlinear stochastic differential equation with anticommuting coefficients. Izvestiia Natsionalnoi akademii nauk Belarusi. Ser. fiziko-matematicheskikh nauk [Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series], 2003, no. 3, pp. 34–37. (In Russian).Применение функциональных интегралов к стохастическим уравнениям / Э. А. Айрян [и др.] // Мат. моделирование. – 2016. – Т. 28, № 11. – С. 113–125.Airyan E.A., Egorov A.D., Kulyabov D.S., Malyutin V.B., Sevastyanov L.A. Application of functional integrals to stochastic equations. Matematicheskoe modelirovanie [Mathematical Models and Computer Simulations]. 2016, vol. 28, no. 11, pp. 113–125. (In Russian).Егоров, А. Д. О составных приближенных формулах для ожиданий функционалов от случайных процессов / А. Д. Егоров // Тр. Ин-та математики. – 2014. – Т. 22, № 1. – С. 70–77.Egorov A.D. On composed approximate formulas for expectations of functionals of random processes. Trudy Instituta Matematiki [Proceedings of the Institute of Mathematics], 2014, vol. 22, no. 1, pp. 70–77. (In Russian).Кабанов, Ю. М. О расширенных стохастических интегралах / Ю. М. Кабанов // Теория вероятностей и ее применения. – 1975. – Т. 20, № 1. – С. 725–737.Kabanov Yu.M. On extended stochastic integrals. Teoriya veroyatnostei i ee primeneniya [Probability Theory and its Application], 1975, vol. 20, no. 1, pp. 725–737. (In Russian).Surgailis, D. On multiple Poisson stochastic integrals and associated Markov semigroups / D. Surgailis // Probability and Mathematical Ststistics. – 1984. – Vol. 3, № 2. – P. 217–239.Surgailis D. On multiple Poisson stochastic integrals and associated Markov semigroups. Probability and Mathematical Statistics, 1984, vol. 3, no. 2, pp. 217–239.Yoshifusa Ito. Generalized Poisson Functionals / Yoshifusa Ito // Probab. Theory Relat. Fields. – 1988. – Vol. 77, № 1. – P. 1–28.Yoshifusa Ito. Generalized Poisson Functionals. Probability Theory and Related Fields, 1988, vol. 77, no. 1, pp. 1–28. Doi: 10.1007/bf01848128Privault, N. Stochastic Analysis in Discrete and Continuous Settings. With Normal Martingale / N. Privault. – Berlin: Springer, 2009. – 321 p.Privault N. Stochastic Analysis in Discrete and Continuous Settings. With Normal Martingale. Berlin, Springer, 2009. 321 p. Doi: 10.1007/978-3-642-02380-4Ma, J. Anticipating integrals for a class of martingales / J. Ma, Ph. Protter, J. San Martin // Bernoulli. – 1998. – Vol. 4, № 1. – P. 81–114.Ma J., Protter Ph., San Martin J. Anticipating integrals for a class of martingales. Bernoulli, 1998, vol. 4, no.1, pp. 81–114. Doi: 10.2307/3318533Alabert, A. Stochastic differential equations with boundary conditions driven by a Poisson noise / A. Alabert, M. A. Marmolejo // Electron. J. Probab. – 2004. – Vol. 9, № 9. – P. 230–254.Alabert A., Marmolejo M.A. Stochastic differential equations with boundary conditions driven by a Poisson noise. Electronic Journal of Probability, 2004, vol. 9, no. 9, pp. 230–254. Doi: 10.1214/ejp.v9-157Last, G. Poisson process Fock space representation, chaos expansion and covariance inequalities / G. Last, M. D. Penrose // Probab. Theory Relat. Fields. – 2011. – Vol. 150, № 3/4. – P. 663–690.Last G., Penrose M.D. Poisson process Fock space representation, chaos expansion and covariance inequalities. Probability Theory and Related Fields, 2011, vol. 150, no. 3-4, pp. 663–690. Doi: 10.1007/s00440-010-0288-5

The authors declare that there are no conflicts of interest present.