vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"vestifm-228Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ ЭРМИТА – БИРКГОФА ОТНОСИТЕЛЬНО АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМ ФУНКЦИЙ С ОДНИМ СПЕЦИАЛЬНЫМ УЗЛОМINTERPOLATION HERMITE – BIRKHOFF-TYPE FORMULAS WITH RESPECT TO THE ALGEBRAIC AND TRIGONOMETRIC SYSTEMS OF FUNCTIONS WITH ONE SPECIAL NODEХудяковА. П.KhudyakovA. P.

кандидат физико- математических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики физико-математического факультета

Ph. D. (Physics and Mathematics), Associate Professor of the Department of Applied Mathematics and Informatics, Physics and Mathematics Faculty

hudand1985@mail.ruТрофимукА. А.TrofimukA. A.

кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры алгебры, геометрии и математического моделирования физико-математического факультета

Ph. D. (Physics and Mathematics), Assistant Professor, Associate Professor of the Department of Algebra, Geometry and Mathematical Modeling

alexander.trofimuk@gmail.comБрестский государственный университет им. А. С. Пушкина, БрестБеларусьBrest State University named after A. S. Pushkin, BrestBelarus201730042017011428Copyright © Худяков А.П., Трофимук А.А., 20172017Худяков А.П., Трофимук А.А.Khudyakov A.P., Trofimuk A.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/228

Данная статья посвящена задаче построения и исследования обобщенных интерполяционных формул Эрмита – Биркгофа. Для функций скалярного аргумента построены алгебраический и тригонометрический интерполяционные многочлены Эрмита – Биркгофа, содержащие значение дифференциального оператора специального вида в одном из узлов. Порядок дифференциального оператора не зависит от числа узлов. Найдены классы многочленов, для которых интерполяционные формулы точны. Построен тригонометрический аналог формулы Лейбница. Получены представления и оценки погрешности интерполирования. Приведен иллюстрационный пример применения формулы тригонометрического интерполирования. Полученные результаты могут быть использованы в теоретических исследованиях как основа построения методов приближения линейных операторов, а также приближенных методов решения некоторых нелинейных операторных уравнений, которые встречаются в нелинейной динамике, математической физике.

 

This article is devoted to the problem of construction and research of the generalized interpolation Hermite –Birkhofftype formulas. For the scalar argument functions, the algebraic and trigonometric interpolation Hermite – Birkhoff-type polynomials, containing the value of the differential operator of special form at one of the nodes, are constructed. In the both cases, the differential operator of special form annuls the first basic functions of the corresponding Chebyshev system. Furthermore, the order of the differential operator does not depend on the number of nodes. For interpolation polynomials, the satisfaction theorems of interpolation conditions are proved. The classes of the polynomials, for which the interpolation formulas are exact, are determined. The trigonometric analogue of the Leibniz formula is constructed. This formula is used to prove the satisfaction theorem of interpolation conditions in the trigonometric case. The represenations and estimates of the interpolation error are obtained. In algebraic case, to obtain the representations and estimates of interpolation error, the consequence of Rolle’s theorem is used. In the trigonometric case, the integral representation of the interpolation error is utilized. The illustrative example of application of the trigonometric interpolation formula is constructed. The results can be used in the theoretical research as a basis for constructing both approximation methods of linear operators and approximate methods of solving some nonlinear operator equations that are available in nonlinear dynamics, mathematical physics.

 

интерполирование Эрмита – Биркгофадифференциальный операторчебышевская система функцийтеорема Роллятригонометрическое интерполированиеформула Лейбницаопределитель ВандермондаHermite – Birkhoff-type interpolationdifferential operatorChebyshev system of functionsRolle’s theoremtrigonometric interpolationLeibniz formulaVandermonde determinantReferencesХудяков, А. П. Интерполяционные многочлены типа Эрмита – Биркгофа относительно отдельных чебышевских систем функций / А. П. Худяков // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2010. – № 4. – С. 29–36.Hudyakov A.P. Hermite-Birkhoff type interpolation polynomials with respect to particular Chebyshev systems of functions. Izvestiia Natsionalnoi akademii nauk Belarusi. Ser. fiziko-matematicheskikh nauk [Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series], 2010, no. 4, pp. 29–36. (In Russian).Худяков, А. П. Явные формулы погрешностей для одного случая эрмитова интерполирования / А. П. Худяков // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2012. – № 1. – С. 13–21.Hudyakov A.P. Explicit formulas of errors for one case of Hermite interpolation. Izvestiia Natsionalnoi akademii nauk Belarusi. Ser. fiziko-matematicheskikh nauk [Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series], 2012, no. 1, pp. 13–21. (In Russian).Худяков, А. П. Некоторые задачи теории интерполирования / А. П. Худяков. – Saarbrücken, Deutschland: LAP LAMBERT Acad. Publ., 2014. – 132 с.Hudyakov A.P. Some Problems of Interpolation Theory. Saarbrücken, Cermany, LAP LAMBERT Academic Publ., 2014. 132 p. (In Russian).Худяков, А. П. Обобщенные интерполяционные формулы Эрмита – Биркгофа для случая чебышевских систем функций / А. П. Худяков, Л. А. Янович // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2015. – № 2. – С. 5–14.Hudyakov A.P., Yanovich L.A. Generalized interpolation formulas of Hermite – Birkhoff type for the case of Chebyshev systems of functions. Izvestiia Natsionalnoi akademii nauk Belarusi. Ser. fiziko-matematicheskikh nauk [Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series], 2015, no. 2, pp. 5–14. (In Russian).Yanovich, L.A. On one class of interpolating formulas for functions of matrix variables / L. A. Yanovich, A. P. Hudyakov // Журнал обчислювальної та прикладної математики = J. Numer. Appl. Math. – 2011. – № 2 (105). – P. 136–147.Yanovich L.A., Hudyakov A.P. On one class of interpolating formulas for functions of matrix variables. Zhurnal obchislyuval’noї ta prikladnoї matematiki [Journal of Numerical and Applied Mathematics], 2011, no. 2 (105), pp. 136–147.Худяков, А. П. Обобщенные интерполяционные эрмитова типа многочлены для функций матричной переменной / А. П. Худяков, Л. А. Янович // Тр. Ин-та математики. – 2011. – Т. 19, № 2. – С. 103–114.Hudyakov A.P., Yanovich L.A. Generalized interpolation Hermite-type polynomials for functions of matrix variable. Trudy Instituta matematiki [Proceedings of the Institute of Mathematics], 2011, vol. 19, no. 2, pp. 103–114. (In Russian).Янович, Л. А. Интерполяционные формулы первых и вторых порядков для функций матричного аргумента / Л. А. Янович, А. П. Худяков // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2012. – Т. 56, № 1. – С. 16–22.Yanovich L.A., Hudyakov A.P. First- and second-order interpolation formulas for functions of matrix argument. Doklady Natsionalnoi Akademii Nauk Belarusi [Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus], 2012, vol. 56, no. 1, pp. 16–22. (In Russian).Shi, Y. G. Theory of Birkhoff Interpolation / Y. G. Shi. – New York: Nova Science Publ., 2003. – 252 p.Shi Y.G. Theory of Birkhoff Interpolation. New York, Nova Science Publ., 2003. 252 p.Nazarzadeh, A. Another case of incidence matrix for bivariate Birkhoff interpolation / A. Nazarzadeh, Kh. Rahsepar Fard, A. Mahmoodi // Журнал обчислювальної та прикладної математики = J. Comput. Appl. Math. – 2016. – № 2 (122). – P. 55–70.Nazarzadeh A., Rahsepar Fard KH., Mahmoodi A. Another case of incidence matrix for bivariate Birkhoff interpolation. Zhurnal obchislyuval’noї ta prikladnoї matematiki [Journal of Numerical and Applied Mathematics], 2016, no. 2 (122), pp. 55–70.Zhao, T. G. On two Birkhoff-type interploations with first- and second-order derivative / T. G. Zhao, Y. J. Li // J. Appl. Math. Phys. – 2016. – № 4. – P. 1269–1274.Zhao T.G., LiY.J. On two Birkhoff-type interploations with first- and second-order derivative. Journal of Applied Mathematics and Physics, 2016, vol. 4, no. 7, pp. 1269–1274. Doi: 10.4236/jamp.2016.47133Yanovich, L. A. Operator interpolation Hermite – Birkhoff formulas in spaces of smooth functions // L. A. Yanovich, M. V. Ignatenko // J. Numer. Appl. Math. – 2010. – Vol. 100, № 1. – P. 117–129.Yanovich L.A., Ignatenko M.V. Operator interpolation Hermite-Birkhoff formulas in spaces of smooth functions. Zhurnal obchislyuval’noї ta prikladnoї matematiki [Journal of Numerical and Applied Mathematics], 2010, no. 1 (100), pp. 117–129.Хаусхолдер, А. С. Основы численного анализа / А. С. Хаусхолдер; под ред. Л. А. Люстерника. – М.: Из-во иностр. лит., 1956. – 320 с.Householder A.S. Principles of Numerical Analysis. New York, McGraw-Hill Book Co., 1953. 274 p.Турецкий, А. Х. Теория интерполирования в задачах / А. Х. Турецкий. – Минск: Выш. шк., 1968. – 320 с.Turetskii A.H. Theory of Interpolation in Problems. Minsk, Vysheyshaya shkola Publ., 1968. 320 p. (in Russian).Makarov, V. L. Methods of Operator Interpolation / V. L. Makarov, V. V. Khlobystov, L. A. Yanovich. – Київ: Ін-т математики Нац. акад. наук України, 2010. – T. 83. – 517 с.Makarov V.L., Khlobystov V.V., Yanovich L.A. Methods of Operator Interpolation. Kiev: Institute of Mathematics of NAS of Ukraine, 2010, 517 p.Степанов, В. В. Курс дифференциальных уравнений / В. В. Степанов. – М.: ГИФМЛ, 1959. – 468 с.Stepanov V.V. The Course of Differential Equations. Moscow, State Physical and Mathematical Literature Publ., 1959. 468 p. (in Russian).Зорич, В. А. Математический анализ: в 2 ч. / В. А. Зорич. – 4-е изд. – М.: МЦНМО, 2002. – Ч. 1. – 664 с.Zorich V.A. Mathematical Analysis. Part 1. 4nd ed. Moscow, Moscow Publishing Center for Continuous Mathematical Education, 2002. 664 p. (In Russian).Гончаров, В. Л. Теория интерполирования и приближения функций / В. Л. Гончаров. – 2-е изд. – М.: ГИТТЛ, 1954. – 327 с.Goncharov V.L. Theory of interpolation and approximation of functions. 2nd ed. Moscow, State Technical and Theoretical Literature Publ., 1954. 327 p. (In Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.