академик, профессор, доктор физико-математических наук
Academician, Professor, D. Sc (Physics and Mathematics)
аспирант
Postgraduate
Изучаются классические решения граничных задач для нестрого гиперболического уравнения четвертого порядка в случае двух независимых переменных c двукратными характеристиками. Под классическим решением понимается функция, которая определена во всех точках замыкания заданной области и имеет все классические производные, входящие в уравнение и условия задачи. Наличие классического решения, построенного в аналитическом виде, для уравнений высшего порядка представляет интерес для вычислительной математики при тестировании численных алгоритмов. Заметим, что корректная постановка смешанных задач для гиперболических уравнений зависит не только от количества характеристик, но и от их расположения. Оператор уравнения представляет собой композицию дифференциальных операторов первого порядка. Уравнение задается в полуполосе двух независимых переменных. На нижнем основании области задаются условия Коши, а на боковых границах – условия Дирихле и Неймана. Методом характеристик выписывается в аналитическом виде решение рассматриваемой задачи, доказывается единственность решений, а также показывается, при каких условиях линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами четвертого порядка представимо в виде рассматриваемого в статье нестрого гиперболического уравнения.
This article is concerned with studying the classical solutions of boudary problems for the fourth-order nonstrictly hyperbolic equation with double characteristics. A classical solution is understood as a function that is defined everywhere in the domain closure and has all classical derivatives entering the equation and the problem conditions. The classical solution is built in analytical form for higher-order equations of interest for computational mathematics in testing numerical algorithms. Note that the correct formulation of mixed problems for hyperbolic equations not only depends on the number of characteristics, but also on their location. The operator appearing in the equation involves a composition of first-order differential operators. The equation is defined in the half-band of two independent variables. There are Cauchy’s conditions on the domain bottom and Dirichlet’s conditions and Neumann’s conditions on other boundary. Using the method of characteristics, the analytic solution of the considered problem is written. The uniqueness of the solutions is proved. In addition, it states: under what conditions a linear differential equation with constant fourth-order coefficients can be represented in the form of the nonstrictly hyperbolic equation considered in the article.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.