vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"vestifm-232Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSО НЕСТАЦИОНАРНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СОСТОЯНИЙ МАРКОВСКОЙ СЕТИ С БЕСКОНЕЧНОЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ ОБСЛУЖИВАНИЯ В УСЛОВИЯХ ВЫСОКОЙ НNON-STATIONARY DISTRIBUTION OF THE PROBABILITY STATES OF THE MARKOV NETWORK WITH INFINITE-SERVER QUEUING SYSTEMS OPERATING AT HIGH LOADКопатьД. Я.KopatsD. J.

аспирант кафедры стохастического анализа и эконометрического моделирования факультета математики и информатики

Postgraduate of the Department of Stochastic Analysis and Econometric Modeling, Faculty of Mathematics and Computer Science

dk80395@mail.ruМаталыцкийМ. А.MatalytskiM. A.

профессор, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой стохастического анализа и эконометрического мо- делирования факультета математики и информатики

Professor, D. Sc. (Physics and Mathematics), Head of the Department of Stochastic Analysis and Econometric Modeling, Faculty of Mathematics and Computer Science

m.matalytski@gmail.comГродненский государственный университет им. Я. Купалы, ГродноYanka Kupala State University of Grodno, Grodno201730042017016369Copyright © Копать Д.Я., Маталыцкий М.А., 20172017Копать Д.Я., Маталыцкий М.А.Kopats D.J., Matalytski M.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/232

В настоящей статье объектом исследования является марковская сеть с бесконечнолинейными системами массового обслуживания (СМО). Дисциплины обслуживания заявок в системах – FIFO («первым пришел – первым обслуживается») и время обслуживания заявок в каждой линии СМО сети распределены по экспоненциальному закону со своими параметрами для каждой системы массового обслуживания. Целью исследования является получение достаточного условия представимости нестационарных вероятностей состояний такой сети, функционирующей в условиях высокой нагрузки, в мультипликативном виде. Во введении указана область прикладного применения марковских сетей с бесконечнолинейными системами обслуживания, обоснована актуальность настоящей работы, приведен краткий обзор результатов, полученных по данной тематике ранее. В основной части приведено описание сети, выведена система разностно-дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний сети. Представлен основной результат данной статьи, т. е. мультипликативный вид нестационарных вероятностей состояний описанной выше марковской сети, функционирующий в условиях высокой нагрузки, который сформулирован и доказан в виде теоремы. Полученные результаты могут быть использованы при моделировании поведения информационно-компьютерных систем и сетей, логистических транспортных систем, страховых компаний, банковских сетей и других объектов, стохастическими моделями которых являются сети массового обслуживания.

 

The object of research is the Markov queuing network with infinite-server queues. The disciplines of the customer’s service in queuing systems (QS) are FIFO (first come – first served), service rates of customers are distributed exponentially with their own rates for each QS in each line of QS. The purpose of the research is to obtain sufficient conditions for representability of non-stationary state probabilities of such a network operating within the heavy-traffic regime in the multiplicative form. In the introduction, the field of applications of Markov networks with infinite-server queues has been described; the relevance of this work has also been indicated; a brief overview of the previous results on this subject has been given. In the main part, the network has been shown; the system of Kolmogorov’s difference-differential equations for the state probabilities of the network conditions has been derived. The main result of this article is as follows, i.e. the multiplicative form of the non-stationary state probabilities of the above-mentioned Markov network operating within the heavy-traffic regime is formulated and proved as a theorem. The obtained results can be used for modeling the behavior of information and computer systems and networks, transportation systems, insurance companies, banking networks and other facilities, the stochastic models which are the queuing networks.

 

марковская сетьбесконечнолинейные системы обслуживанияусловие высокой нагрузкинестационарный режиммультипликативный видMarkov networksinfinitely linear service systemhigh-load conditionnon-stationary regimemultiplicative formReferencesВишневский, В. М. Теоретические основы проектирования компьютерных сетей / В. М. Вишневский. – М.: Техносфера, 2003. – 506 с.Vishnevskii V.M. Theoretical Bases of Designing Computer Networks. Moscow, Technosphere Publ., 2003. 506 p. (In Russian).Маталыцкий, М. А. Системы и сети массового обслуживания: анализ и применения / М. А. Маталыцкий, О. М. Тихоненко, Е. В. Колузаева. – Гродно: ГрГУ, 2011. – 817 с.Matalytskii M.A., Tikhonenko O.M., Koluzaeva E.V. Systems and Queueing Network Analysis and Application. Grodno, Grodno State University, 2011. 817 p. (In Russian).Маталыцкий, М. А. Сетевые вероятности модели обработки заявок клиентов в страховой компании / М. А. Ма¬ талыцкий, Т. В. Русилко. – Берлин: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2012. – 327 c.Matalytskii M.A., Rusilko T.V. Network Probabilistic Models of Processing Customer Requests in an Insurance Company. Berlin: LAP LAMBERT Academic Publ., 2012. 327 p. (In Russian).Маталыцкий, М. А. Математический анализ HM-сетей и их применения в транспортной логистике / М. А. Ма¬ талыцкий, О. М. Китурко. – Гродно: ГрГУ, 2015. – 231 с.Matalytskii M.A., Kiturko O.M. Mathematical Analysis of HM-networks and their Application in the Transport Logistics. Grodno, Grodno State University, 2015. 231 p. (In Russian).Kelly, F. P. Stochastic Networks. The IMA Volumes in Mathematics and its Applications / F. P. Kelly, R. J. Williams. – N.Y.: Springer-Verlag, 1995. – 170 p.Kelly F.P., Williams R.J. Stochastic Networks. The IMA Volumes in Mathematics and its Applications. N.Y., SpringerVerlag, 1995. 170 p.Лебедев, Е. А. Диффузионная аппроксимация немарковских сетей обслуживания в переходном режиме / Е. А. Лебедев, А. А. Чечельницкий // Аналитические методы исследования стохастических систем. – Киев: КГУ, 1989. – С. 61–66.Lebedev E.A., Chechelnitskii A.A. Diffusion Approximation of non-Markov Queueing Networks in the Transition Regime. Analiticheskie metody issledovaniya stokhasticheskikh sistem [Analytical Methods for Studying Stochastic Systems]. Kiev, Kiev State University, 1989, pp. 61–66. (In Russian).Медведев, Г. А. Замкнутые системы массового обслуживания и их оптимизация / Г. А. Медведев // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. – 1978. – № 6. – С. 199–203.Medvedev G.A. Closed queueing systems and their optimization. Izvestiya Akademii nauk SSSR. Tekhnicheskaya kibernetika [Proceedings of the USSR Academy of Sciences. Technical Cybernetics], 1978, vol. 6, pp. 199–203. (In Russian).Gelenbe, E. Probabilistic models of computer systems. Diffusion approximation waiting times and batch arrivals / E. Gelenbe // Acta Inform. – 1979. – Vol. 12. – P. 285–303.Gelenbe E. Probabilistic models of computer systems. Part II: Diffusion approximation waiting times and batch arrivals. Acta Informatica, 1979, vol. 12, no. 4, pp. 285–303. Doi: 10.1007/bf00268317Kobayashi, H. Application of the diffusion approximation to queueing networks I: Equilibrium queue distributions / H. Kobayashi // J. ACM. – 1974. – Vol. 21, № 2. – P. 316–328; Kobayashi H. Application of the diffusion approximation to queueing networks II: Nonequilibrium distributions and applications to computer modeling / H. Kobayashi // J. ACM. – 1974. – Vol. 21, № 3. – P. 456–469.Kobayashi H. Application of the diffusion approximation to queueing networks I: Equilibrium queue distributions. Journal of ACM, 1974, vol. 21, no 2, pp. 316–328. Doi: 10.1145/321812.321827; Kobayashi H. Application of the diffusion approximation to queueing networks II: Nonequilibrium distributions and applications to computer modeling. Journal of ACM, 1974, vol. 21, no 3, pp. 456–469. Doi: 10.1145/321832.321844Маталыцкий, М. А. Метод нахождения нестационарных вероятностей состояний марковских сетей массового обслуживания / М. А. Маталыцкий // Проблемы передачи информации. – 1994. – Т. 30, вып. 2. – С. 104–107.Matalytskii M.A. Method for Obtaining the Unsteady State Probabilities in Markovian Queueing Networks. Problemy peredachi informatsii [Information Transmission Problems], 1994, vol. 30, no. 2, pp. 104–107. (In Russian).Маталыцкий, М. А. Исследование сетей с многолинейными системами обслуживания и разнотипными заявками / М. А. Маталыцкий // Автоматика и телемеханика. – 1996. – № 9. – С. 79–92.Matalytskii M.A. Research Network with a multiline service systems and heterogeneous applications. Avtomatika i telemekhanika [Automation and Remote Control], 1996, no. 9, pp. 79–92. (In Russian).Ивницкий, В. А. Теория сетей массового обслуживания / В. А. Ивницкий. – М.: Физматлит, 2004. – 772 с.Ivnitskii V.A. Theory of Queuing Networks. Moscow, FIZMATLIT, 2004. 772 p. (In Russian).Маталыцкий, М. А. Стохастические сети с ограниченным временем ожидания заявок и ненадежным обслуживанием: монография / М. А. Маталыцкий, С. Э. Статкевич. – Гродно: ГрГУ, 2014. – 248 с.Matalytski M.A., Statkevich S.E. Stochastic Networks with Bounded Waiting Time of Customers and Unreliable Servicing Systems. Grodno, GrSU, 2014. 248 p. (In Russian).Маталыцкий, М. А. Стохастические сети с нестационарными перемещениями заявок / М. А. Маталыцкий, В. В. . – Гродно: ГрГУ, 2016. – 348 с.Matalytskii M.A, Naumenko V.V. Stochastic Networks with Non-Standard Customers Movement. Grodno, Grodno State University, 2016. 346 p. (In Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.