vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"vestifm-233Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSСУЩЕСТВОВАНИЕ ИЗМЕРИМЫХ СОГЛАСОВАННЫХ СЕЛЕКТОРОВ МНОГОЗНАЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙEXISTENCE OF MEASURABLE ADAPTED SELECTORS OF SET-VALUED FUNCTIONSЛеваковА. А.LevakovA. A.

доктор физико- математических наук, профессор, профессор кафедры высшей математики

D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Professor of the Department of Higher Mathematics

levakov@tut.byЗадворныйЯ. Б.ZadvornyY. B.

аспирант

Postgraduate

yaraslau.zadvorny@yandex.ruБелорусский государственный университет, МинскBelarusian State University, Minsk201730042017017078Copyright © Леваков А.А., Задворный Я.Б., 20172017Леваков А.А., Задворный Я.Б.Levakov A.A., Zadvorny Y.B.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/233

В настоящей статье рассматриваются измеримые многозначные случайные отображения, согласованные с заданным потоком σ-алгебр, значениями которых являются замкнутые подмножества некоторого полного сепарабельного метрического пространства. Для них установлен критерий измеримости и согласованности, аналогичный известному критерию Кастэна измеримости многозначных отображений. Доказана теорема о существовании у случайных многозначных отображений измеримых и согласованных селекторов, с заданной точностью аппроксимирующих некоторую однозначную измеримую и согласованную случайную функцию. Данная теорема усилена в случае, когда рассматриваемое многозначное отображение принимает компактные значения. Доказана теорема, обобщающая на многозначные измеримые случайные отображения теорему Филиппова об обратной функции. Полученные результаты могут быть использованы при доказательстве существования и исследовании свойств решений стохастических дифференциальных включений.

 

The present article is devoted to considering measurable set-valued random functions that are adapted to a fixed filtration of σ-algebras and the values of which are closed subsets of some complete separable metric space. For such functions, a criterion of measurability and adaptation is proved, which is analogous to Castain’s well-known criterion of measurability of set-valued functions. A theorem on existence of measurable and adapted selectors of set-valued random functions, which approximate some measurable adapted random function, is obtained. This theorem is improved in the case of set-valued functions with compact values. The generalization of Filippov’s theorem about the inverse function to the set-valued measurable random functions is proved. The obtained results can be useful both for proving the existence and for considering the properties of the solutions of stochastic differential inclusions.

многозначное отображениеселекторизмеримостьset-valued functionselectormeasurabilityReferencesHimmelberg, C. H. Measurable Relations / C. H. Himmelberg // Fundamenta Mathematicae. – 1975. – Vol. 87, № 1. – P. 53–72.Himmelberg C.H. Measurable Relations. Fundamenta Mathematicae, 1975, vol. 87, no.1, pp. 53–72.Филиппов, А. Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования / А. Ф. Филиппов // Вестн. МГУ. Сер. Математика и механика. – 1959. – № 2. – С. 25–32.Filippov A.F. On some issues of optimal regulation theory. Vestnik Moskovskogo Universiteta. Seriya 1. Matematika. Mekhanika, 1959, no. 2, pp. 25–32. (In Russian).Kuratowski, K. A general theorem on selectors / K. Kuratowski, C. Ryll-Nardzewski // Bull. Pol. Acad. Sci. – 1965. – Vol. 13. – P. 397–403.Kuratowski K, Ryll-Nardzewski C. A general theorem on selectors. Bulletin of the Polish Academy of Sciences, 1965, vol. 13, pp. 397–403.Castaing, C. Sur les multi-applications mesurables / C. Castaing // Rev. Franc. Inform. Recherche Operationnelle. – 1967. – Vol. 1, № 1. – P. 91–126.Castaing C. Sur les multi-applications mesurables. Revue française d’informatique et de recherche opérationnelle, 1967, vol. 1, no. 1, pp. 91–126. Doi: 10.1051/m2an/1967010100911Castaing, C. Convex analysis and measurable multifunctions / C. Castaing, M. Valadier. – Berlin: Springer Verlag, 1977. – 286 p. – (Lect Notes in Math).Castaing C., Valadier M. Convex analysis and measurable multifunctions. Berlin, Springer Verlag, 1977. 286 p. Doi: 10.1007/bfb0087685Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач / А. Д. Иоффе, В. М. Тихомиров. – М.: Наука, 1974. – 480 с.Ioffe A.D., Tikhomirov V.M. Theory of extremal problems. Moscow, Nauka Publ., 1974. 480 p. (In Russian).Толстоногов, А. А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве / А. А. Толстоногов. – Новосибирск: Наука, 1986. – 296 c.Tolstonogov A.A. Differential inclusions in Banach space. Novosibirsk, Nauka Publ., 1986. 296 p. (In Russian).Aubin, J.-P. Set-Valued Analysis / J.-P. Aubin, H. Frankowska. – Boston: Birkhauser, 2009. – 460 p.Aubin J.-P., Frankowska H. Set-Valued Analysis. Boston, Birkhauser, 2009. 460 p. Doi: 10.1007/978-0-8176-4848-0Kisielewisz, M. Differential Inclusions and Optimal Control / M. Kisielewisz. – Dordrecht; Boston; London: Kluwer Acad. Publ., 1991. – 240 p.Kisielewisz M. Differential Inclusions and Optimal Control. Warszawa, PWN-Pol. sci. publ.; Dordrecht etc., Kluwer acad. publ., 1991. 240 p. (In Poland).Hu Sh. Handbook of Multivalued Analysis / Hu Sh., N. S. Papageorgiou. – Dordrecht; Boston; London: Kluwer Acad. Publ., 1997. – Vol. 1: TheoryHu Sh., Papageorgiou N.S. Handbook of Multivalued Analysis. Vol. 1, Theory. Dordrecht etc, Kluwer Acad. Publ, 1997.Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений / Ю. Г. Борисович [и др.]. – М.: Комкнига, 2005. – 214 с.Borisovich Yu.G., Gel’man B.D., Myshkis A.D., Obukhovskii V.V. An Introduction to Multifunctions and Differential Inclusions Theory. Moscow, Komkniga Publ., 2005. 214 p. (In Russian).Леваков, А. А. Стохастические дифференциальные уравнения / А. А. Леваков. – Минск: БГУ, 2014. – 231 c.Levakov A.A. Stochastic Differential Equations. Minsk, Belarusian State University, 2014. 231 p. (In Russian).Васьковский, М. М. Существование β-мартингальных решений стохастических эволюционных функциональных уравнений параболического типа с измеримыми локально ограниченными коэффициентами / М. М. Васьковский // Дифференц. уравнения. – 2012. – T. 48, № 8. – C. 1080–1095.Vas’kovskii М.М. Existence of β-martingale solutions of stochastic evolution functional equations of parabolic type with measurable locally bounded coefficients. Differential Equations, 2012, vol. 48, no. 8, pp. 1065–1080. Doi: 10.1134/ s0012266112080022

The authors declare that there are no conflicts of interest present.