vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"vestifm-246Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSК ТЕОРИИ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ ЭРМИТА – БИРКГОФА НЕЛИНЕЙНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВTO THE THEORY OF HERMITE – BIRKHOFF INTERPOLATION OF NONLINEAR ORDINARY DIFFERENTIAL OPERATORSЯновичЛ. А.YanovichL. A.

член-корреспондент, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник

Corresponding Member, D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Chief Researcher

yanovich@im.bas-net.byИгнатенкоМ. В.IgnatenkoM. V.

кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры вебтехнологий и компьютерного моделирования

Ph. D. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Associate Professor of Web-Technologies and Computer Simulation De partment

ignatenkomv@bsu.byИнститут математики Национальной академии наук БеларусиБеларусьInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of BelarusBelarusБелорусский государственный университетБеларусьBelarusian State UniversityBelarus20170608201702723Copyright © Янович Л.А., Игнатенко М.В., 20172017Янович Л.А., Игнатенко М.В.Yanovich L.A., Ignatenko M.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/246

Данная статья посвящена задаче построения и исследования обобщенных интерполяционных формул Эрмита – Биркгофа для операторов, заданных на функциональных пространствах. Построение операторных интерполяционных формул основано на интерполяционных полиномах для скалярных функций относительно произвольной чебышевской системы. Приведенные формулы содержат интегралы Стилтьеса и дифференциалы Гато интерполируемого оператора и являются инвариантными для операторных многочленов специального класса. Получено явное представление погрешности операторного интерполирования обобщенными многочленами Эрмита – Биркгофа. На основе обобщенных интерполяционных формул Эрмита – Биркгофа построены интерполяционные многочлены для обыкновенных дифференциальных операторов произвольного порядка, заданных в пространстве непрерывно дифференцируемых функций. Рассмотрены также некоторые частные случаи формул Эрмита – Биркгофа такого вида для различных чебышевских систем скалярных функций. Полученные результаты могут быть использованы в теоретических исследованиях как основа построения приближенных методов решения некоторых нелинейных операторных уравнений, встречающихся в нелинейной динамике, математической физике. 

This article is devoted to the problem of construction and research of generalized interpolation formulas of Hermite – Birkhoff type for operators given on the function spaces. The construction of operator interpolation formulas is based on interpolation polynomials for scalar functions with respect to the arbitrary Chebyshev system of functions. The given formulas contain the Stieltjes integrals and the Gateaux differentials of an interpolated operator and are invariant for the special-class operator polynomials. An explicit representation of the error of the generalized Hermite – Birkhoff operator interpolation is obtained. On the basis of the generalized interpolation Hermite – Birkhoff formulas the interpolation polynomials for ordinary differential operators of arbitrary order given in the space of continuously differentiable functions are constructed. Some special cases of the Hermite – Birkhoff formulas of this type for various Chebyshev systems of scalar functions are also considered. The obtained results can be used in theoretical research as a basis for constructing approximate methods of solving some nonlinear operator equations that occur in nonlinear dynamics, mathematical physics.

операторный многочленоператорное интерполированиеобобщенное интерполирование типа Эрмита – Биркгофадифференциальный оператордифференциал Гатоинтеграл Стилтьесапогрешность интерполяцииoperator polynomialoperator interpolationgeneralized Hermite – Birkhoff-type interpolationdifferential operatordifferential of Gateauxintegral of Stieltjesinterpolation errorReferencesМысовских, И. П. Лекции по методам вычислений / И. П. Мысовских. – СПб: изд-во С.-Петерб. ун-та, 1998. – 470 с.Mysovskikh I. P. Lectures on numerical methods. St. Petersburg, Publishing House of St. Petersburg University, 1998. 470 p. (in Russian).Турецкий, А. Х. Теория интерполирования в задачах / А. Х. Турецкий. – Минск: Выш. шк., 1968. – 317 с.Turetskii A. Kh. The theory of interpolation in problems. Minsk, Vysheishaya shkola, 1968. 317 p. (in Russian).Shi, Y. G. Theory of Birkhoff Interpolation / Y. G. Shi. – New York: Nova Science Publishers, 2003. – 253 p.Shi Y. G. Theory of Birkhoff Interpolation. New York, Nova Science Publishers, 2003. 253 р.Nazarzadeh, A. Another case of incidence matrix for bivariate Birkhoff interpolation / A. Nazarzadeh, Kh. Rahsepar Fard, A. Mahmoodi // J. Comput. Appl. Math. – 2016. – № 2 (122). – P. 55–70.Nazarzadeh A., Rahsepar Fard KH., Mahmoodi A. Another case of incidence matrix for bivariate Birkhoff interpolation. Zhurnal obchislyuval'noї ta prikladnoї matematiki = Journal of Computational and Applied Mathematics, 2016, no. 2 (122), рр. 55–70.Zhao, T. G. On Two Birkhoff-Type Interpolations with First- and Second-Order Derivative / T. G. Zhao, Y. J. Li //J. Appl. Math. Phys. – 2016. – № 4. – P. 1269–1274.Zhao T. G., Li Y. J. On Two Birkhoff-Type Interpolations with First- and Second-Order Derivative. Journal of Applied Mathematics and Physics, 2016, no. 4, рр. 1269–1274. Doi: 10.4236/jamp.2016.47133Янович, л. а. Обобщенная интерполяционная задача Абеля – Гончарова / Л. А. Янович, В. В. Дорошко // Вестн. фонда фундам. исслед. – 1999. – № 4. – С. 34–44.Yanovich L. A., Doroshko V. V. Generalized interpolation problem of Abel – Goncharov. Vestnik fonda fundamental'nykh issledovanii [Vestnik of the Foundation for Fundamental Research], 1999, vol. 4, pp. 34–44. (in Russian).Янович, Л. А. Интерполяционные операторные многочлены Эрмита – Биркгофа в пространстве гладких функций / Л. А. Янович, М. В. Игнатенко // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2009. – т. 53, № 5. – С. 15–21.Yanovich L. A., Ignatenko M. V. Interpolation operator polynomials of Hermite – Birkhoff in the space of smooth functions. Doklady Natsional'noi akademii nauk Belarusi [Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus], 2009, vol. 53, no. 5, pp. 15–21. (in Russian).Янович, Л. А. Специальный случай интерполяционной задачи Эрмита – Биркгофа для операторов в пространстве гладких функций / Л. А. Янович, М. В. Игнатенко // актуальные проблемы анализа: сб. науч. тр. – Гродно: ГрГУ, 2009. – С. 198–215.Yanovich L. A., Ignatenko M. V. A special case of the Hermite – Birkhoff interpolation problem for operators in the space of smooth functions. Aktual'nye problemy analiza. Sbornik nauchnykh trudov [Actual problems of analysis Collection of Scientific Papers]. Grodno, Grodno State University, 2009, pp. 198–215. (in Russian).Худяков, А. П. Интерполяционные формулы Эрмита – Биркгофа относительно алгебраической и тригонометрической систем функций с одним специальным узлом / А. П. Худяков, А. А. Трофимук // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2017. – № 1. – С. 14–28.Khudyakov A. P., Trofimuk A. A. The Hermite – Birkhoff interpolation formulas for algebraic and trigonometric systems of functions with one special node. Vestsі Natsyyanal'nai akademіі navuk Belarusі. Seryya fіzіka-matematychnykh navuk [Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series], 2017, no. 1, pp. 14–28. (in Russian).Янович, л. а. Обобщенная интерполяционная задача Эрмита – Биркгофа для операторов / Л. А. Янович, М. В. Игнатенко // аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений: сб. науч. тр. 5-й междунар. конф. – Минск, Ин-т математики НаН Беларуси, 2010. – т. 1. – С. 140–147.Yanovich L. A., Ignatenko M. V. Generalized interpolation problem of Hermite – Birkhoff for operators. Analiticheskie metody analiza i differentsial'nykh uravnenii: Sbornik nauchnykh trudov 5-i mezhdunarodnoi konferentsii [Analytical methods of analysis and differential equations: Collection of Scientific Papers of the 5th International Conference]. Minsk, Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus, 2010, vol. 1, pp. 140–147. (in Russian).Янович, Л. А. Формулы операторного интерполирования, основанные на интерполяционных многочленах для числовых функций / Л. А. Янович, В. В. Дорошко // Вычислительная математика и математические проблемы механики: тр. Укр. мат. конгресса. – Киев, 2002. – С. 137–145.Yanovich L. A., Doroshko V. V. Formulas of operator interpolation based on interpolation polynomials for scalar functions. Vychislitel'naya matematika i matematicheskie problemy mekhaniki: Trudy Ukrainskogo matematicheskogo kongressa [Computational Mathematics and Mathematical Problems in Mechanics: Proceedings of the Ukrainian Mathematical Congress]. Kiev, 2002, pp. 137–145. (in Russian).Янович, Л. А. Об одном классе интерполяционных многочленов для нелинейных обыкновенных дифференциальных операторов / Л. А. Янович, М. В. Игнатенко // Математическое моделирование. – 2014. – т. 26, № 11. – С. 90–96.Yanovich L. A., Ignatenko M. V. On a class of interpolation polynomials for nonlinear ordinary differential operators. Matematicheskoe Modelirovanie [Mathematical Models and Computer Simulations], 2014, vol. 26, no. 11, pp. 90–96.Янович, Л. А. Об одном классе формул операторного интерполирования Эрмита – Биркгофа в пространстве дифференцируемых функций / л. а. Янович, М. В. Игнатенко // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. на - вук. – 2005. – № 2. – С. 11–16.Yanovich L. A., Ignatenko M. V. On a class of Hermite – Birkhoff operator interpolation formulas in the space of differentiable functions. Vestsі Natsyyanal'nai akademіі navuk Belarusі. Seryya fіzіka-matematychnykh navuk [Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series], 2005, no. 2, p. 11–16. (in Russian).Евграфов, М. А. Интерполяционная задача Абеля – Гончарова / М. А. Евграфов. – М.: ГИттл, 1954. – 128 с.Evgrafov M. A. Abel – Goncharov interpolation problem. Мoscow, State Publishing House of Technical and Theoretical Literature, 1954. 127 p. (in Russian).Makarov, V. L. Methods of Operator Interpolation / V. L. Makarov, V. V. Khlobystov, L. A. Yanovich // Праці Ін-ту математики НаН України. – Київ, 2010. – Vol. 83. – P. 1–517.Makarov V. L., Khlobystov V. V., Yanovich L. A. Methods of Operator Interpolation. Pratsі іnstitutu matematiki NAN Ukraїni [Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine], Kiev, 2010, vol. 83, pp. 1–517.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.