vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"vestifm-247Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSОДНОРОДНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА РИМАНА С МЕРОМОРФНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ДЛЯ БЕСКОНЕЧНО СВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙHOMOGENEOUS RIEMANN BOUN DARY VALUE PROBLEM WITH MEROMORPHIC COEFFICIEN TS FOR INFINITELY CONNECTED DOMAINЮхимукМ. М.YukhimukM. M.

старший преподаватель кафедры высшей математики

Senior Lecturer of the Department of Higher Mathematics

umm@tut.byБрестский государственный технический университетBrest State Technical University201706082017022435Copyright © Юхимук М.М., 20172017Юхимук М.М.Yukhimuk M.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/247

В исследованиях эффективных свойств двумерных композиционных материалов наиболее изученным является случай материалов с периодической микроструктурой. Это связано с возможностью представления решений соответствующих краевых задач через значения некоторых эллиптических функций. В данной работе рассматривается однородная краевая задача Римана для бесконечно связных областей и мероморфных коэффициентов. В замкнутой форме дается решение задачи в классе кусочно-аналитических функций, допускающих мероморфное продолжение на всю комплексную плоскость. Как частный случай решается вопрос существования и единственности двоякопериодических решений задачи с эллиптическим коэффициентом. Приводится пример задачи, имеющей единственное, с точностью до произвольного числового множителя, решение, и пример задачи, решение которой зависит от произвольных независимых параметров. Полученные результаты могут служить базой для исследования случая, когда коэффициенты задачи являются различными для каждого из контуров, а также при решении неоднородной задачи Римана с мероморфными коэффициентами и свободными членами в бесконечно связных областях. 

Homogeneous Riemann boundary value problem with meromorphic coefficients for infinitely connected domains is considered. In the closed form the problem is solved in the class of piece-wise analytic functions, possessing meromorphic continuation to the whole complex plane. Special attention is paid to the existence of doubly periodic solutions to the problem with elliptic coefficients. The example of the problem having a unique solution up to an arbitrary constant multiplier is presented, as well as of the problem with a solution depending on a number of arbitrary parameters. The obtained results can be used for solving of an inhomogeneous Riemann boundary value problem with meromorphic coefficients in an infinitely connected domain in the general statement.

краевая задача Риманамероморфный коэффициентбесконечно связная областьэллиптические функцииRiemann boundary value problemmeromorphic coefficientinfinitely connected domainelliptic functionsReferences. Ахиезер, Н. И. О некоторых формулах обращения сингулярных интегралов / Н. И. Ахиезер // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1945. – т. 9. – С. 275–290.Akhiezer N. I. On some inversion formulas for singular integrals. Izvestiya AN SSSR. Seriya matematicheskaya [Mathematics of the USSR - Izvestiya], 1945, vol. 9, pp. 275–290. (in Russian).Говоров, Н. В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом / Н. В. Говоров. – М.: Наука, 1986. – 240 с.Govorov N. V. Riemann's boundary problem with infinite index. Moscow, Nauka Publ., 1986. 240 p. (in Russian).Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. – М.: Наука, 1977. – 640 с.Gakhov F. D. Boundary value problems. Moscow, Nauka Publ., 1977. 640 p. (in Russian).Mityushev, V. V. Analytical Methods for Heat Conduction in Composites and Porous Media / V. V. Mityushev, E. V. Pesetskaya, S. V. Rogosin // Cellular and Porous Materials: Thermal Properties Simulation and Prediction / eds.: A. Öchsner, G. Murch, M. de Lemos. – Amsterdam: Wiley-VCH, 2007. – P. 124–167.Mityushev V. V., Pesetskaya E. V., Rogosin S. V. Analytical Methods for Heat Conduction in Composites and Porous Media. Öchsner A., Murch G., de Lemos M. (eds.). Cellular and Porous Materials: Thermal Properties Simulation and Prediction. Amsterdam, Wiley-VCH, 2007, pp. 124–167. Doi: 10.1002/9783527621408.ch5Чибрикова, л. И. О граничных задачах для прямоугольника / Л. И. Чибрикова // Учен. зап. Казан. ун-та. – 1964. – т. 123, кн. 10. – С. 15–39.Chibrikova L. I. Boundary value problems for a rectangle. Uchenye zapiski Kazanskogo universiteta [Bulletin of the Kazan University], 1964, vol. 123, book 10, pp. 15–39. (in Russian).Аксентьева, Е. П. Задача Римана в случае двоякопериодического расположения дуг. I / Е. П. Аксентьева, И. Г. Салехова // Учен. зап. Казан. ун-та. – 2008. – т. 150, кн. 4. – С. 66–79.Aksent'eva E. P., Salekhova I. G. Riemann problem in a case of doubly periodic arrangements of arches. I. Uchenye zapiski Kazanskogo universiteta [Bulletin of the Kazan University], 2008, vol. 150, book 4, pp. 66–79. (in Russian).Зверович, Э. И. Краевые задачи теории аналитических функций в гёльдеровских классах на римановых поверхностях / Э. И. Зверович // Успехи мат. наук. – 1971. – т. 26, вып. 1 (157). – С. 113–179.Zverovich E. I. Boundary value problems in the theory of analytic functions in Hölder classes on Riemann surfaces. Russian Mathematical Surveys, 1971, vol. 26, no. 1, pp. 117–192. Doi: 10.1070/RM1971v026n01ABEH003811Зверович, Э. И. Ядро Беенке – Штейна и решение в замкнутой форме краевой задачи Римана на торе / Э. И. Зверович // Докл. аН СССР. – 1969. – т. 188, № 1. – С. 27–30.Zverovich E. I. The Behnke – Stein kernel and closed-form solution of Riemann’s boundary value problem on the torus. Doklady Akademii nauk SSSR [Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR], 1969, vol. 188, no. 1, pp. 27–30. (in Russian).Дегтяренко, Н. а. Двоякопериодический мероморфный аналог ядра Коши и некоторые его применения / Н. а. Дегтяренко // Изв. высш. учеб. заведений. Математика. – 1999. – № 8. – С. 11–19.Degtyarenko N. A. A doubly periodic meromorphic analogue of the Cauchy kernel and some of its applications. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedenii. Matematika [Russian Mathematics], 1999, no. 8, pp. 11–19. (in Russian).Ахиезер, Н. И. Элементы теории эллиптических функций / Н. И. Ахиезер. – М.: Наука, 1970. – 304 с.Akhiezer N. I. Elements of theory of elliptic functions. Moscow, Nauka Publ., 1970. 304 p. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.