vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"vestifm-251Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSО СТАБИЛИЗАЦИИ КОЛИЧЕСТВА ОРБИТ КЭМЕРОНОВСКИХ МАТРИЦ БОЛЬШОГО РАНГАON THE STABILIZATION OF THE NUMBER OF ORBITS OF HIGH-RANK CAMERON MATRICESЛипницкийВ. А.LipnitskiV. A.

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики

D. Sc. (Engineering), Professor, Head of the Department of Mathematics

valipnitski@yandex.byСергейА. И.SergeyA. I.

аспирант

Postgraduate

sergej.a.i@mail.ruВоенная академия Республики БеларусьMilitary Academy of the Republic of BelarusГродненский государственный университет им. Я. КупалыYanka Kupala State University of Grodno201706082017026070Copyright © Липницкий В.А., Сергей А.И., 20172017Липницкий В.А., Сергей А.И.Lipnitski V.A., Sergey A.I.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/251

Назовем квадратную (0,1)-матрицу порядка n, среди элементов которой ровно n единиц, кэмероновской матрицей. Рассматриваются орбиты естественного действия группы Sn× Sn (квадрат симметрической группы степени n) на множестве кэмероновских матриц порядка n (независимое действие на строках и столбцах матриц). Установлено, что для фиксированного d < n число таких орбит для матриц ранга n – d постоянно при n ≥ 3d и растет с ростом n при n < 3d. Для каждой орбиты указан ее представитель в квазижордановой форме. 

A quadratic (0,1)-matrix of degree n with just n units among its elements will be called a Cameron matrix. The orbits of the natural action of the group Sn× Sn (the square of the symmetric group of degree n) on the set of Cameron matrices of degree n (an independent action on the rows and the columns of matrices) are considered. It is proved that for fixed d < n, the number of such orbits for matrices of rank n – d is constant for n ≥ 3d and grows with the growth of n if n < 3d. For each orbit, its representative in a quasi-Jordan form is indicated. 

бинарная матрицакласс эквивалентностиорбитадвудольный графкомпонента связностиbinary matrixequivalence classorbitbipartite graphconnected componentReferencesCameron, P. J. Problems on permutation groups [Electronic resource] / P. J. Cameron. – Mode of access: http://www. matchs.qmul.ac.uk/~pjc/pgprob.html. – Date of access: 15.12.2013.Cameron P. J. Problems on permutation groups. Available at: http://www.matchs.qmul.ac.uk/~pjc/pgprob.html. (accessed 15 December 2013).Cameron, P. J. Product action / P. J. Cameron, D. A. Gewurz, F. Merola // Discrete Math. – 2008. –Vol. 308, №. 2/3. –P. 386–394.Cameron P. J., Gewurz D. A., Merola F. Product action. Discrete Mathematics, 2008, vol. 308, no. 2-3, pp. 386–394. Doi: 10.1016/j.disc.2006.11.054Конопелько, В. К. Классификация точечных образов и классическая проблема разбиения чисел / В. К. Ко¬нопелько, В. А. Липницкий, Н. В. Спичекова // Докл. БГУИр. – 2010. – № 8 (54). – С. 127–131.Konopel’ko V. K., Lipnitskii V. A., Spichekova N. V. Classification of point patterns and the classical problem of partition of integers. Doklady BGUIR [Proceedings of BSUIR], 2010, no. 8 (54), pp. 127–131. (in Russian).Липницкий, В. А. Классификация точечных образов. История и современность / В. А. Липницкий, А. И. Сер¬гей, Н. В. Спичекова // Технические средства защиты информации: тез. докл. XI Белорус.¬рос. науч.¬техн. конф., 5–6 мая 2013 г. Минск. – Минск: БГУИр, 2013. – С. 42.Lipnitskii V. A., Sergei A. I., Spichekova N. V. Classification of point patterns. History and modern-state-of-art. Tekhnicheskie sredstva zashchity informatsii: tezisy dokladov XI Belorussko-rossiiskoi nauchno-tekhnicheskoi konferentsii [Information protection software: Book of Abstracts of XI Belarusian-Russian Scientific and Technical Conference, 5–6 маy 2013, Minsk]. Minsk, Belarusian State University of Informatics and Radioelectronics, 2013, pp. 42. (in Russian).Цветков, В. Ю. Предсказание, распознавание и формирование образов многоракурсных изображений с по¬движных объектов / В. Ю. Цветков, В. К. Конопелько, В. А. Липницкий. – Минск: Изд. центр БГУ, 2014. – 224 с.Tsvetkov V. Yu., Konopel’ko V. K., Lipnitskii V. A. Prediction, recognition and formation of patterns of many-position images with movable objects. Minsk, Publishing Center of the Belarusian State University, 2014. 224 p. (in Russian).Конопелько, В. К. Формирование и обработка образов в помехоустойчивом кодировании и передаче изобра¬жений / В. К. Конопелько, В. Ю. Цветков. – Минск: Бестпринт, 2015. – 247 с.Konopel’ko V. K., Tsvetkov V. Yu. Formation and processing of images in anti-jamming coding and image transmission. Minsk, Bestprint Publ., 2015. 247 p. (in Russian).The¬Line Encyclopedia of Integer Sequences [Electronic resource]. – Mode of access: http://oeis.org/. – Date of access: 15.12.2013.The-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Available at: http://oeis.org/. (accessed 15 December 2013).Сергей, А. И. Подсчет классов эквивалентности бинарных матриц / А. И. Сергей, В. А. Липницкий // Ин¬формационные компьютерные технологии: проектирование, разработка, применение: сб. науч. ст. – Гродно: ГрГУ, 2013. – 378 с.Sergei A. I., Lipnitskii V. A. Equivalence class counting of binary matrices. Informatsionnye komp’yuternye tekhnologii: proektirovanie, razrabotka, primenenie: sbornik nauchnykh statei [Information computer technologies: designing, development, application: Collection of Scientific Works]. Grodno, Grodno State University, 2013. 378 p. (in Russian).Сергей А. И. Оптимизированный алгоритм генерации представителей классов эквивалентности бинарных матриц / А. И. Сергей, В. А. Липницкий // Управление инновациями: теория, методология, практика: материалы XII Междунар. науч.¬практ. конф. – Новосибирск: Изд¬во ЦрНС, 2015. – С. 101–105.Sergei A. I., Lipnitskii V. A. Optimized generation algorithms of the equivalence class of binary matrices. Upravlenie innovatsiyami: teoriya, metodologiya, praktika: materialy XII Mezhdunarodnoi nauchno-prakticheskoi konferentsii [Innovation control: theory, methodology, experience: Proceedings of XII International Scientific and Practical Conference]. No-vosibirsk, Center for the Development of Scientific Cooperation (CRNS), 2015, pp. 101–105. (in Russian).Сергей, А. И. Эффективный алгоритм формирования представителей орбит при действии квадрата симметрической группы на (0, 1)-матрицах матриц / А. И. Сергей, В. А. Липницкий // Технические средства защиты информации: тез. докл. XII Белорус.-рос. науч.-техн. конф., 28–29 мая 2014 г., Минск. – Минск: БГУИР, 2014. – С. 37–38.Sergei A. I., Lipnitskii V. A. Effective algorithm of formation of orbit representatives under the action of the symmetric group square based on (0, 1)-matrices of matrices. Tekhnicheskie sredstva zashchity informatsii: Tezisy dokladov XII Belorussko-rossiiskoi nauchno-tekhnicheskoi konferentsii [Information protection software: Book of Abstracts of the XII Belarusian-Russian Scientific and technical Conference, 28–29 маy 2014, Minsk]. Minsk, Belarusian State University of Informatics and Radioelectronics, 2014, pp. 37–38. (in Russian).Конопелько, В. К. Действие квадрата симметрической группы на специальном классе (0, 1)-матриц. Отсутствие полных орбит / В. К. Конопелько, В. А. Липницкий, Н. В. Спичекова // Докл. БГУИР. – 2010. – № 5 (51). – С. 40–46.Konopel’ko V. K., Lipnitskii V. A., Spichekova N. V. Action of the square of the symmetric group based on a special class of (0, 1)-matrices. Abasence of complete orbits. Doklady BGUIR [Proceedings of BSUIR], 2010, no. 5 (51), pp. 40–46. (in Russian).Конопелько, В. К. Общие семейства в орбитальной классификации точечных образов / В. К. Конопелько, В. А. Липницкий, Н. В. Спичекова // телекоммуникации: сети и технологии, алгебраическое кодирование и безопасность данных: материалы междунар. науч.-техн. семинара. – Минск: БГУИР, 2011. – С. 17–25.Konopel’ko V. K., Lipnitskii V. A., Spichekova N. V. General families in the orbit classification of point patterns. Telekommunikatsii: seti i tekhnologii, algebraicheskoe kodirovanie i bezopasnost’ dannykh: materialy mezhdunarodnogo nauchno-tekhnicheskogo seminara [Proceedings of МНтС “Telecommunications: networks and technologies, algebraic coding and data security”]. Minsk, Belarusian State University of Informatics and Radioelectronics, 2011, pp. 17–25. (in Russian).Оре, О. теория графов / О. Оре. – М.: Наука, 1980. – 336 с.Оре О. Graph theory. Moscow: Nauka Publ., 1980. 336 p. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.