vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"vestifm-259Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSСПЕКТРАЛЬНАЯ СОГЛАСОВАННОСТЬ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИSPECTPAL-LIKE RESOLuTION OF FINITE-DIFFERENCE SCHEMES FOR THE HEAT CONDUCTION EQUATIONВолковВ. М.VolkovV. M.

доктор физико-математических наук, доцент, профессор, кафедра веб-тех-нологий и компьютерного моделирования

Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Assistant Professor, Professor of the Department of Web-Tech nologies and Computer Modeling

v.volkov@tut.byГуревскийА. Н.HureuskiA. N.

аспирант

Postgraduate

alexey.gurevskiy@gmail.comБелорусский государственный университетBelarusian State University20170910201703714Copyright © Волков В.М., Гуревский А.Н., 20172017Волков В.М., Гуревский А.Н.Volkov V.M., Hureuski A.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/259

Исследована спектральная согласованность схемы с весами для уравнения теплопроводности. Поcредством аналогии между частотными характеристиками уравнения теплопроводности и фильтра низкой частоты найдено эквивалентное представление разностной схемы в виде пары рекурсивных цифровых фильтров первого порядка с компенсированной групповой задержкой. На основе спектральной согласованности получены оценки точности дискретной модели фильтрации. Найдены оптимальные значения коэффициентов фильтра, обеспечивающие минимальную среднеквадратичную погрешность его частотной характеристики в заданном спектральном диапазоне. Примечательно, что оптимальное соотношение пространственно-временных шагов сетки в схеме с весами совпадает с соотношением, которое обеспечивает схема фильтрации с коэффициентами, отвечающими минимальной средне-квадратичной погрешности частотной характеристики в заданном спектральном диапазоне. Показано, что оптимизированная модель фильтрации обеспечивает многократное уменьшение среднеквадратичной погрешности частотной характеристики (в 5–7 раз) по сравнению с разностной схемой 6-го порядка точности. Значение шага по времени в оптимизированной схеме фильтрации несколько больше, по сравнению с его значением в разностной схеме 6-го порядка точности и стремится к последнему, когда диапазон наилучшего спектрального разрешения стремится к нулю. Полученные результаты могут быть использованы для оптимизации соотношения шагов сетки в разностных методах для уравнения теплопроводности.

 

 

 

 

The spectral resolution of the finite-difference theta-method for the heat conduction equation is investigated. By analogy between the frequency response of the heat conduction equation and a low pass filter, we have found an equivalent representation of the finite-difference scheme in the form of two first-order IIR filters with zero group delay. On the basis of the spectral consistency, the error estimate of the discrete filtering model is obtained. The optimal parameters of the IIR filters providing a minimum error of the frequency response within a given spectral range are found. It is remarkable that the optimal ratio of spatial and temporal steps for the theta-method coincides with the ratio provided by the filtering model with co efficients corresponding to a minimum root-mean-square error of the frequency response for the given spectral range. It is shown that the optimized scheme provides a manifold (by a factor of 5–7) reduction in the root-mean-square error of the frequency response in comparison with the 6th order accuracy theta-method. The optimal time step is a little bit larger in comparison with its value in the 6th order accuracy scheme and tends to the last one when the spectral resolution range tends to zero. The obtained results can be used to optimize discretization parameters using the finite-difference methods for the heat conduction equation.

разностные схемыуравнение теплопроводностиспектральное разрешениерекурсивный цифровой фильтрfinite-difference schemesheat conduction equationspectral-like resolutionIIR filterReferencesLele, S. K. Compact finite difference schemes with spectral-like resolution / S. K. Lele // J. Comput. Phys. – 1992. – Vol. 103, №. 1. – P. 16–42.Lele S. K. Compact finite difference schemes with spectral-like resolution. Journal of Computational Physics, 1992, vol. 103, no. 1, pp. 16–42. Doi: 10.1016/0021-9991(92)90324-rTam, C. K. W. Dispersion-relation-preserving finite difference schemes for computational acoustics / C. K. W. Tam, J. C. Webb // J. Comput. Phys. – 1993. – Vol. 107, №. 2. – P. 262–281.Tam C. K. W., Webb J. C. Dispersion-relation-preserving finite difference schemes for computational acoustics. Journal of Computational Physics, 1993, vol. 107, no. 2, pp. 262–281. Doi: 10.1006/jcph.1993.1142Волков, В. М. Консервативные разностные схемы с улучшенными дисперсионными свойствами для нелинейных уравнений шредингеровского типа / В. М. Волков // Дифференц. уравнения. – 1993. – т. 29, №. 7. – С. 1156–1162.Volkov V. M. Conservative difference schemes with improved dispersion properties for nonlinear equations of Schrö-dinger type. Differential Equations, 1993, vol. 29, no. 7, pp. 1004–1009.Сергиенко, а. Г. Цифровая обработка сигналов / А. Г. Сергиенко. – СПб.: БХВ-Петербург, 2011. – 768 с.Sergienko A. G. Digital signal processing. Saint Petersburg, BHV-Petersburg Publ., 2011. 768 p. (in Russian).Improved split-step method for efficient fiber simulations / M. Plura [et al.] // Electron. Lett. – 2001. – Vol. 37, № 5. – P. 286–287.Plura M., Kissing J., Gunkel M., Lenge J., Elbers J.-P., Glingener C., Schulz D., Voges E. Improved split-step method for efficient fiber simulations. Electronics Letters, 2001, vol. 37, no. 5, pp. 286–287. Doi: 10.1049/el:20010212Волков, В. М. Метод дробных шагов с использованием рекурсивных цифровых фильтров для решения нелинейных уравнений Шредингера / В. М. Волков, А. С. Циунчик // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2009. – Т. 53, № 5. – С. 22–25.Volkov V. M., Tsiunchik H. S. Split-step method with the use of infinite impulse response filters for solving nonlinear Schrodinger equations. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Be-larus, 2009, vol. 53, no. 5, pp. 22–25 (in Russian).Волков, В. М. Оптимизация компактных разностных схем спектрального разрешения для нестационарного уравнения Шредингера на основе методов цифровой обработки сигналов / В. М. Волков, А. Н. Гуревский, И. В. Жукова / Вестн. БГУ. Сер. 1, Физика. Математика. Информатика. – 2015. – № 3. – С. 84–89.Volkov V. M., Gurevskii A. N., Zhukova I. V. Optimization of compact finite difference schemes with spectral-like resolutionа for the non-stationary Schrodinger equation on the base of digital signal processing methods. Vestnik BGU. Ser. 1. Fizika. Matematika. Informatika = Vestnik BSU. Series 1: Physics. Mathematics. Informatics, 2015, no. 3, pp. 84–89 (in Russian).Самарский, а. а. теория разностных схем / А. А. Самарский. – М.: Наука, 1989. – 616 с.Samarskii A. A. The theory of Finite Difference schemes. Moscow, Nauka Publ., 1989. 616 p. (in Russian).Саульев, В. К. О методах повышения точности и двухсторонних приближениях к решению параболических уравнений / В. К. Саульев // Докл. АН СССР. – 1958. – т. 118. – С. 1088.Saul’ev V. K. About the methods for increasing accuracy and about double-side approximations for solving parabo lic equations. Doklady Akademii nauk SSSR = Doklady of the Academy of Sciences of the USSR, 1958, vol. 118, p. 1088 (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.