vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"vestifm-260Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSАСИМПТОТИКА СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОР-ФУНКЦИЙ ОПЕРАТОРОВ, АППРОКСИМИРУЮЩИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С δ-ОБРАЗНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИASYMPTOTIC BEHAVIOR OF THE VECTOR-FUNCTIONS OF OPERATORS APPROXIMATING THE DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH δ-SHAPED COEFFICIENTSКотМ. Г.KotM. G.

аспирант

Postgraduate

mtorkaylo@mail.ruБелорусский государственный университетBelarusian State University201709102017031526Copyright © Кот М.Г., 20172017Кот М.Г.Kot M.G.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/260

Уравнения и системы, которые записываются в виде L0u= − u∆+a(ε) δu =f    возникают в разных приложениях и интенсивно изучаются. Входящее в это уравнение произведение δu не определено в классической теории обобщенных функций, поэтому одной из основных задач является придание смысла выражению в левой части уравнения, т. е. фактически построение оператора, который соответствует данному формальному выражению. Это достигается с помощью специальных аппроксимаций оператора умножения на δ-функцию. Для исследования уравнений с δ-образными коэффициентами мы применили подход, основными этапами которого являются: построение аппроксимаций рассматриваемого выражения с помощью операторов конечного ранга; нахождение явного вида резольвенты аппроксимирующего семейства; нахождение предела резольвенты и выделение случаев резонанса, когда предельный оператор не совпадает с –∆; описание спектра построенных предельных операторов; исследование поведения собственных значений аппроксимирующих операторов. Цель настоящей работы заключается в нахождении асимптотики собственных вектор-функций для аппроксимаций, построенных в [2]. Таким образом, основным результатом данного исследования является построение асимптотики собственных вектор-функций в различных случаях резонанса.

 

The equations can be written as L0u= − u∆+a(ε) δu =f which appear in different applications and are studied intensively. In this equation, δu is not determined in the classical theory of generalized functions, so one of the main objectives is to give meaning to the expression on the left-hand side of the equation, that is, it is an actual construction of the operator that corresponds to a given formal expression. This is achieved by special approximations of multiplication of the operator by the δ-function. To study equations with δ-shaped coefficients we have applied the approach, the main steps of which are: constructing the approximations of the considered expressions with operators of finite rank; finding the explicit form approximating a resolvent family; determining a resolvent limit and allocating resonance cases; describing the spectrum of the constructed limit of operators; studying the behavior of the eigenvalues of approximating operators. The purpose of this work is to find the asymptotic behavior of vector-functions for approximations, built in [2]. Thus, the main result of this work is the construction of the asymptotic behavior of the vector-functions in different cases of resonance.

 

обобщенная функциясобственные значениясобственные вектор-функцииметод Ньютонаасимптотикарезонансоператорgeneralized functioneigenvaluesbehavior of vector-functionsNewton’s methodasymptotic behaviorresonanceoperatorReferencesРешаемые модели в квантовой механике / С. Альбеверио [и др.]. – М.: Мир, 1991. – 568 с.Albeverio S., Gesztesy F., Hoegh-Krohn R., Holden H., Exner P. Solvable models in quantum mechanics. Berlin, Springer, 1988. 458 p. Doi: 10.1007/978-3-642-88201-2Кот, М. Г. О резольвентной сходимости операторов, аппроксимирующих систему уравнений δ-образными коэффициентами / М. Г. Кот // Вестн. БГУ. Сер. 1, Физика. Математика. Информатика. – 2015. – № 3. – С. 111–117.Kot M. G. About resolvent convergence of operator approximating systems of equations with δ-shaped coefficints. Vestnik BGU. Seriya 1, Fizika. Matematika. Informatika = Vestnik BSU. Series 1: Physics. Mathematics. Informatics, 2015, no. 3, pp.111–117 (in Russian).Антоневич, А. Б. Аппроксимации операторов с дельта-образными коэффициентами / А. Б. Антоневич, Т. А. Романчук // актуальные проблемы математики: сб. науч. тр. ГрГУ им. Я. Купалы; редкол.: е. а. Ровба [и др.]. – Гродно: ГрГУ, 2008. – С. 11–28.Antonevich A. B., Romanchuk T. A. Approximation operators with delta -shaped coefficints. Aktualnye problemy matematiki: sbornik nauchnyh trudov [Actual problems of mathematics: the collection of scientific papers]. Grodno, Grodno State University, 2008, pp. 11–28 (in Russian).Антоневич, А. Б. Уравнения с дельта-образными коэффициентами: метод конечномерных аппроксимаций / А. Б. Антоневич, Т. А. Романчук. – Саарбрюккен: Laplambert, 2012. – 148 с.Antonevich A. B., Romanchuk T. A. Equations with delta-shaped coefficients: method of finite-dimensional approximations. Saarbrücken, Laplambert, 2012. 148 p. (in Russian).Кот, М. Г. асимптотика собственных значений операторов, аппроксимирующих дифференциальные уравнения с δ-образными коэффициентами / М. Г. Кот // Журн. Бел. гос. ун-та. Математика. Информатика. – 2017. – № 1. – С. 3–10.Kot M. G. Asymptotics of the eigenvalues of approximating differential equations with δ-different coefficients. Zhurnal Belorusskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika. Informatika = Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics, 2017, no. 1, pp. 3–10 (in Russian).Кащенко, И. С. асимптотическое разложение решений уравнений: метод указания / И. С. Кащенко. – Ярославль: ЯрГУ, 2011. – 44 с.Kaschenko I. S. The asymptotic expansion of the solutions of equations: the method of guidance. Yaroslavl, Yaroslavl State University, 2011. 44 p. (in Russian).Васильев, В. а. асимптотика экспоненциальных интегралов, диаграмма Ньютона и классификация точек минимума / В. А. Васильев // Функциональный анализ и его приложения. – 1977. – т. 11, вып. 3. – С. 1–11.Vasil’ev V. A. Asymptotic exponential integrals, Newton’s diagram and classification of minimum points. Functional Analysis and Its Applications, 1977, vol. 11, no. 3, pp. 163–172. Doi: 10.1007/bf01079460Забрейко, П. П. Диаграммы Ньютона и алгебраические кривые / П. П. Забрейко, А. В. Кривко-Красько // Тр. Ин-та математики НАН Беларуси. – 2014. – т. 22, № 2. – С. 32–45.Zabreiko P. P, Krivko-Kras’ko A. V. Newton diagrams and algebraic curves. Trudy Instituta matematiki = Proceedings of the Institute of Mathematics, 2014, vol. 22, no. 2, pp. 32–45 (in Russian).Забрейко, П. П. Диаграммы Ньютона и алгебраические кривые. II / П. П. Забрейко, А. В. Кривко-Красько // Тр. Ин-та математики НАН Беларуси. – 2015. – т. 23, № 1. – С. 64–75.Zabreiko P. P, Krivko-Kras’ko A. V. Newton diagrams and algebraic curves II. Trudy Instituta matematiki = Proceedings of the Institute of Mathematics, 2015, vol. 23, no. 1, pp. 64–75 (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.