vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"vestifm-261Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSАБ НАБЛІЖЭННІ ФУНКЦЫІ|sin x| РАЦЫЯНАЛЬНЫМІ АПЕРАТАРАМІ ФЕЕРАAPPROXIMATION OF |sin x| BY RATIONAL OPERATORS OF FEJÉR TYPEРоўбаЯ. А.RovbaE. A.

доктор физико-математических наук, профессор кафедры фундаментальной и прикладной математики факультета математики и информатики

D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor of the Department of Fundamental and Applied Mathematics, Faculty of Mathematics and Informatics

rovba.ea@gmail.comКазлоўскаяН. Ю.KozlovskayaN. Yu.

студентка 5-го курса

5th year student

Kozlowskaya_Natalya@tut.byГродзенскі дзяржаўны ўніверсітэт імя Янкі КупалыYanka Kupala State University of Grodno201709102017032739Copyright © Роўба Я.А., Казлоўская Н.Ю., 20172017Роўба Я.А., Казлоўская Н.Ю.Rovba E.A., Kozlovskaya N.Y.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/261

Рацыянальныя шэрагі Фур’е былі пабудаваны М. М. Джрбашанам у 1956 г. У прыватнасці, знойдзе-на кампактнае прадстаўленне іх ядра Дзірыхле. На гэтай аснове В. М. Русак увёў рацыянальныя аператары Феера, Джэксана і Вале Пусэна. Частковыя сумы рацыянальных шэрагаў Фур’е, аператары Вале Пусэна і Джэксана знайшлі шырокае прымяненне для адшукання класаў функцый, рацыянальная апраксімацыя якіх лепшая за палінаміяльную ў сэнсе парадку. Рацыянальныя аператары Феера заставаліся недаследаванымі. Таму ўяўляе інтарэс даследаваць іх апраксімацыйныя характарыстыкі для элементарных функцый. Перыядычная функцыя | sin x | адыгрывае практычна такую жа ролю, што і функцыя |x| . У дадзенай рабоце з дапамогай метаду вываду параметра ў камплексную плоскасць атрыманы некаторыя дакладныя і асімптатычныя судачыненні для набліжэнняў функцыі | sin x | з дапамогай рацыянальных аператараў Феера. Паказана ў прыватнасці, што такія набліжэнні адлюстроўваюць асаблівасці рацыянальнай апраксімацыі.

 

Rational Fourier series were constructed by M. M. Dzhrbashian in 1956. A compact representation of their Dirichlet kernel was also found. Later V. N. Rusak introduced rational operators of Fejér, de la Vallée Poussin and Jackson type. Partial sums of rational Fourier series, operators of de la Vallée Poussin and Jackson type are widely used for finding classes of functions, for which rational approximation is better than polynomial approximation. But in our opinion, rational operators of Fejér type are still unexpolred, so it’s interesting to investigate their approximation characteristics for elementary functions. The periodic function | sin | x plays almost the same role in approximation theory as the function |x |. In this article, we have obtained some exact and asymptotic ratios for approximation of | sin x | by Fejér-type rational operators.

 

рацыянальныя аператыры Феерарацыянальная апраксімацыяFejér-type rational operatorsrational approximationReferencesДжрбашян, М. М. К теории рядов Фурье по рациональным функциям / М. М. Джрбашян // Изв. АН Арм. ССР. Сер. физ.-мат. наук. – 1956. – т. 9, № 7. – С. 3–28.Dzhrbashian M. M. To Fourier series theory about rational functions. Izvestiya Akademii Nauk Armyanskoi SSR. Ser. fiziko-matematicheskikh nauk [Procedings of the Academy of Sciences of the Armenian SSR. Series of physical and mathematical sciences], 1956, vol. 9, no.7, pp. 3–28 (in Russian).Русак, В. Н. Рациональные функции как аппарат приближения / В. Н. Русак. – Минск: Изд-во БГУ им. В. И. Ленина, 1979. – 176 с.Rusak V. N. Rational functions as approximation apparatus. Minsk, 1979, 176 p. (in Russian).Petrushev, P. P. Rational approximation of real functions / P. P. Petrushev, V. A. Popov. – Cambridge University Press, 1987. – 384 p.Petrushev P. P., Popov V. A. Rational approximation of real functions. Cambridge University Press, 1987, 384 p. Doi: 10.1017/cbo9781107340756Ровба, е. а. Интерполяция и ряды Фурье в рациональной аппроксимации / Е. А. Ровба. – Гродно: ГрГУ, 2001. – 106 с.Rovba E. A. Interpolation and Fourier series in rational approximation. Grodno, Grodno State University, 2001, 106 p. (in Russian).Ровба, Е. А. О приближении функции | sin x | рациональными рядами Фурье / Е. А. Ровба // Мат. заметки. – 1989. – Т. 46. – С. 52–59.Rovba E. A. An approximation of | sin | x by rational Fourier series. Mathematical Notes of the Academy of Sciences of the USSR, 1989, vol. 46, no. 4, pp. 788–794. Doi: 10.1007/bf01158146Микулич, Е. Г. Точные оценки равномерных приближений функции | sin x| частными сумами рядов Фурье по рациональным функциям / Е. Г. Микулич // Вестн. БГУ. Сер. 1, Физика. Математика. Информатика. – 2011. – № 1. – С. 84–90.Mikulich E. G. Sharp estimates for uniform approximation of | sin x| by partial sums of Fourier series about rational functions. Vestnik BGU. Seriya 1, Fizika. Matematika. Informatika = Vestnik BSU. Series 1: Physics. Mathematics. Informatics, 2011, no. 1, pp. 84–90 (in Russian).Русак, В. Н. О приближении рациональными дробями / В. Н. Русак // Докл. АН БССР. – 1964. – Т. 8, № 7. – С. 432–435.Rusak V. N. An approximation by rational fractions. Doklady Akademii nauk BSSR [Doklady of the Academy of Sciences of the BSSR], 1964, vol. 8, no. 7, pp. 432–435 (in Russian).Ахиезер, Н. И. Лекции по теории аппроксимации / Н. И. Ахиезер. – М.: Наука, 1965. – 408 с.Akhiezer N. I. Lectures on the theory of approximation. Moscow, Nauka Publ., 1965, 408 p. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.