vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"vestifm-262Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSВЫДЕЛЕНИЕ СИСТЕМ С ВОЗМУЩЕННЫМ ЛИНЕЙНЫМ ЦЕНТРОМ, ИМЕЮЩИХ НЕ БОЛЕЕ ОДНОГО ПРЕДЕЛЬНОГО ЦИКЛАCONSTRUCTION OF THE SYSTEMS WITH A PERTURBED LINEAR CENTER HAVING NO MORE THAN ONE LIMIT CYCLEКузьмичА. В.KuzmichA. V.

старший преподаватель кафедры фундаментальной и прикладной математики факультета математики и информатики

Senior Lecturer of the Department of Fundamental and Applied Mathematics, Faculty of Mathematics and Informatics

andrei-ivn@mail.ruГриньА. А.HrynA. A.

доктор физико- математических наук, доцент, заведующий кафедрой математического анализа, дифференциальных уравнений и алгебры факультета математики и информатики

D. Sc. (Physics and Mathematics), Assistant Professor, Head of the Department of Mathematical Analysis, Differential Equations and Algebra, Faculty of Mathematics and Informatics

grin@grsu.byГродненский государственный университет им. Я. КупалыYanka Kupala State University of Grodno201709102017034048Copyright © Кузьмич А.В., Гринь А.А., 20172017Кузьмич А.В., Гринь А.А.Kuzmich A.V., Hryn A.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/262

Рассматривается задача выделения систем с возмущенным линейным центром специального вида, имеющих не более одного предельного цикла во всей фазовой плоскости при всех действительных значениях пара-метра возмущения μ. Для решения поставленной задачи предлагается способ построения функций Дюлака – Черкаса в виде полинома второй степени относительно фазовой переменной y, коэффициенты которого гладко зависят от второй фазовой переменной x и непрерывно – от параметра μ. Построение функции Дюлака – Черкаса основано на редукции вспомогательного полинома Φ(x,y,μ) к функции Φ0(x,μ), зависящей только от переменной x и параметра μ. Предложен регулярный способ такой редукции. Представлены примеры выделенных систем, которые имеют единственный предельный цикл во всей фазовой плоскости.

 

 

 

 

The problem under our consideration is to construct systems with a perturbed linear center of special form that have no more than one limit cycle in the entire phase plane for all real values of the perturbation parameter μ. To solve this problem, we have proposed a method for constructing a Dulac – Cherkas function as a second-degree polynomial with respect to a phase variable y, whose coefficients smoothly depend on the second-phase variable x and continuously depend on the parameter μ. The construction of the Dulac – Cherkas function is based on reducing the auxiliary polynomial Φ(x,y,μ) to the function Φ0(x,μ) depending only on the variable x and the parameter μ. A regular method for such reduction is proposed. Examples of the constructed systems having a unique limit cycle in the entire phase plane are presented.

 

 

 

 

возмущенный линейный центробобщенная система Куклесапредельный цикл16-я проблема Д. Гильбертафункция Дюлака – Черкасабифуркацияperturbed linear centergeneralized Kukles systemlimit cycle16th Hilbert problemDulac – Cherkas functionbifurcationReferencesТеория бифуркации динамических систем на плоскости / А. А. Андронов [и др.]. – М.: Наука, 1967.– 488 с.Andrtonov A. A., Leontovich E. A., Gordon I. I., Majer A.G. The theory of bifurcation of dynamical systems in the plane. Moskow, Nauka Publ., 1967. 488 p. (in Russian).Han, M. Normal Forms, Melnikov Functions and Bifurcation of Limit Cycles / M. Han, P. Yu // Appl. Math. Sci. – 2012. – Vol. 181. – P. 401.Han M., Yu. P. Normal Forms, Melnikov Functions and Bifurcation of Limit Cycles. Applied Mathematical Sciences, 2012, vol. 181, p. 401. Doi: 10.1007/978-1-4471-2918-9Куклес, И. С. О некоторых случаях отличия фокуса от центра / И. С. Куклес // Докл. АН СССР.– 1944.– т. 42, № 5. – С. 208–211.Kukles I. S. On some cases of the distinction of focus from the center. Doklady Akademii nauk SSSR [Doklady of the Academy of Sciences of the USSR], 1944, vol. 42, no. 5, pp. 208–211 (in Russian).Limit cycles for the Kukles system / H. Zang [et al.] // J. Dynamical and Control Systems. – 2008. – Vol. 14, № 2. – P. 283–298.Zang H., Zhang T., Tian Y., Tade M. Limit cycles for the Kukles system. Journal of Dynamical and Control Systems, 2008, vol. 14, no. 2, pp. 283–298. Doi: 10.1007/s10883-008-9036-xГринь, А. А. Функция Дюлака для систем Льенара / А. А. Гринь, Л. А. Черкас // Тр. Ин-та математики НАН Беларуси. – 2000. – т. 4. – С. 29–38.Grin а. а., Cherkas L. A. Dulac function for Lienard systems. Trudy Instituta matematiki [Proceedings of the Institute of Mathematics], 2000, vol. 4, pp. 29–38 (in Russian).Черкас, Л. А. О функции Дюлака для системы Куклеса / Л. А. Черкас, А. А. Гринь // Дифференц. уравнения. – 2010.– т. 46, № 6.– С. 811–819.Cherkas L. A., Grin A. A. On a Dulac function for the Kukles system. Differential equations, 2010, vol. 46, no. 6, pp. 818–826. Doi: 10.1134/s0012266110060066Grin, A. A. On some classes of limit cycles of planar dynamical systems / A. A. Grin, K. Schneider // Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems Series A: Mathematical Analysis. – 2007. – Vol. 14, № 5. – P. 641–656.Grin A. A., Schneider K. On some classes of limit cycles of planar dynamical systems. Dynamics of continuous, discrete and impulsive systems Series A: Mathematical Analysis, 2007, vol. 14, no. 5, pp. 641–656.Черкас, Л. А. Функция Дюлака полиномиальных автономных систем на плоскости / Л. А. Черкас // Дифференц. уравнения. – 1997. – т. 33, № 5. – С. 689–699.Cherkas L. A. Dulac function for polynomial autonomous systems in plane. Differential equations, 1997, vol. 33, no. 5, pp. 689–699 (in Russian).Черкас, Л. А. Об оценке числа предельных циклов системы льенара с малым параметром / Л. А. Черкас, О. Н. Ма лышева // Дифференц. уравнения.– 2011.– т. 47, № 2. – С. 225–230.Cherkas L. A., Malysheva O. N. How to estimate the number of limit cycles in Lienard systems with a small parameter. Differential equations, 2011, vol. 47, no. 2, pp. 224–230. Doi: 10.1134/s001226611102008xGrin, A. A. On the construction of a class of generalized Kukles systems having at most one limit cycle / A. A. Grin, K. Schneider // J. Math. Analysis and Applications. – 2013. – Vol. 408, № 2. – P. 484–497.Grin A. A., Schneider K. On the construction of a class of generalized Kukles systems having at most one limit cycle. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2013, vol. 408, no. 2, pp. 484–497. Doi: 10.1016/j.jmaa.2013.05.052Гринь, А. А. О существовании предельного цикла в одном классе обобщенных систем Куклеса / А. А. Гринь, А. В. Кузьмич // Вестн. ГрГУ им. Я. Купалы. Сер. 2, Математика. Физика. Информатика, вычислительная техника и управление. – 2013. – № 3. – С. 33–40.Grin A. A., Kuzmich A. V. About existence of a limit cycle in a class of generalized Kukles systems. Vestnik GrGU im. Ianki Kupaly. Ser. 2. Matematika. Fizika. Informatika, vychslitel’naya technika I upravlenie = Vestnik of Yanka Kupala State University of Grodno. Series 2. Mathematics. Physics. Informatics, Computer Technology and its Control, 2013, no. 3, pp. 33–40 (in Russian).Черкас, Л. А. Конструктивные методы исследования предельных циклов автономных систем второго порядка (численно-алгебраический подход) / Л. А. Черкас, А. А. Гринь, В. И. Булгаков. – Гродно: ГрГУ, 2013. – 489 с.Cherkas L. A., Grin A. A., Bulgakov V. I. Constructive methods of investigation of limit cycles of second order autonomous systems (numerical-algebraic approach). Grodno, Grodno State University, 2013, 489 p. (in Russian).Cherkas, L. A. Dulac-Cherkas functions for generalized Lienard systems / L. A. Cherkas, A. A Grin, K. Schneider [Electronic resourсe] // Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations. – 2011. – № 35. – P. 1–23. – Mode of access: http://www.math.uszeged.hu/ejqtde/Cherkas L. A., Grin A. A., Schneider K. Dulac-Cherkas functions for generalized Lienard systems. Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations, 2011, no. 35, pp. 1–23. Doi: 10.14232/ejqtde.2011.1.35

The authors declare that there are no conflicts of interest present.