vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"vestifm-264Research ArticleФИЗИКАPHYSICSЧАСТИЦА КОКСА ВО ВНЕШНЕМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ: АНАЛИЗ В ПРОСТРАНСТВЕ ЛОБАЧЕВСКОГОCOX PARTICLE IN THE APPLIED MAGNETIC FIELD: ANALYSIS IN LOBACHEVSKY SPACEВекоО. В.VekoO. V.

аспирант

Postgraduate

vekoolga@mail.ruВойноваЯ. А.VoynovaYa. A.

аспирант

Postgraduate

voinyuschka@mail.ruОвсиюкЕ. М.OvsiyukE. M.

кандидат физико- математических наук, доцент кафедры общей физики и методики преподавания физики

Ph. D. (Physics and Mathematics), Associate Professor

e.ovsiyuk@mail.ruРедьковВ. М.Red’kovV. M.

доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник центра теоретической физики 

D. Sc. (Physics and Mathematics), Chief Researcher, Center of Theoretical Physics

redkov@dragon.bas-net.byИнститут физики им. Б. И. Степанова Национальной академии наук БеларусиB. I. Stepanov Institute of Physics of the National Academy of Sciences of BelarusМозырский государственный педагогический университет им. И. П. ШамякинаMozyr State Pedagogical University named after I. P. Shamyakin201709102017035665Copyright © Веко О.В., Войнова Я.А., Овсиюк Е.М., Редьков В.М., 20172017Веко О.В., Войнова Я.А., Овсиюк Е.М., Редьков В.М.Veko O.V., Voynova Y.A., Ovsiyuk E.M., Red’kov V.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/264

Исследовано нерелятивистское уравнение Шредингера для скалярной частицы Кокса с внутренней структурой в присутствии магнитного поля на фоне пространства Лобачевского. Проведено разделение переменных. Уравнение, описывающее движение частицы вдоль оси z, оказывается существенно более сложным, чем при рассмотрении частицы Кокса в пространстве Минковского. Форма графика эффективной потенциальной функции свидетельствует о том, что здесь имеем ситуацию сложного потенциального барьера с необходимостью анализировать прохождение частицы через него. Уравнение приводится к уравнению с шестью регулярными особыми точками. В специально выбранных координатах физическим бесконечностям z = ± ∞ соответствуют особые точки 0 и 1 найденного уравнения. Решения этого уравнения построены в виде степенных рядов, сходимость которых исследована методом Пуанкаре – Перрона. Ряды сходятся во всей физической области переменной z ∈ (-∞,+∞). При рассмотрении обычной частицы в магнитном поле в пространстве Лобачевского возникает более простая задача, также с туннельным эффектом через потенциальный барьер, решаемая точно в терминах гипергеометрических функций.

 

The generalized Schrődinger equation for a scalar Cox particle is studied in the presence of a magnetic field on the background of Lobachevsky space. Separation of variables is performed. An equation describing the particle motion along the z axis appears to be much more complex than that when describing the Cox particle in Minkowski space. The form of the effective potential curve says that we have a quantum-mechanical problem of tunneling type. The derived equation has 6 regular singular points. Singular points 0 and 1 of the derived equation correspond to the physical domains z = ±∞. The solutions of the equation are constructed with the help of power series. Convergence of the series is examined by the Poincare – Perrone method. These series are convergent within the whole physical domain z ∈ (-∞,+∞). When considering an ordinary particle in Lobachevsky space, a simpler problem of tunneling type arises, which is exactly solved in terms of hypergeometric functions.

 

уравнение Шредингераспин 0внутренняя структура частицы Коксапространство Лобачевскогомагнитное полеразделение переменныхточные решенияметод Пуанкаре – ПерронаSchrődinger equationspin zerointrinsic structure of the Cox particleLobachevsky spacemagnetic fieldseparation of variablestunneling effectexact solutionsPoincare – Perrone methodReferencesCox, W. Higher-rank representations for zero-spin field theories / W. Cox // J. Phys. Math. Gen. – 1982. – Vol. 15, № 2. – P. 627–635.Cox W. Higher-rank representations for zero-spin field theories. Journal of Physics A: Mathematical and General, 1982, vol. 15, no. 2, pp. 627–635. Doi: 10.1088/0305-4470/15/2/029Schweber, S. S. An Introduction to Relativistic Quantum Field Theory / S. S. Schweber. – NewYork: Harper&Row, Publ., Inc., 1961. – 905 p.Schweber S. S. An Introduction to Relativistic Quantum Field Theory. New York, Harper&Row, Publishers, Inc., 1961. 905 p.Овсиюк, е. М. Скалярная частица с внутренней структурой в электромагнитном поле в искривленном пространстве-времени / Е. М. Овсиюк. О. В. Веко, К. В. Казмерчук // Проблемы физики, математики и техники. – 2014. – № 3 (20). – С. 32–36.Ovsiyuk E. M., Veko O. V., Kazmerchuk K. V. Scalar particle with intrinsic structure in electromagnetic field in curved space. Problemy fiziki, matematiki i tekhniki = Problems of Physics, Mathematics and Technics, 2014, no. 3 (20), pp. 32–36 (in Russian).Quantum mechanical scalar particle with intrinsic structure in external magnetic and electric fields: influence of geometrical background / O. V. Veko [et al.] // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. – 2014. – Vol. 17, № 4. – P. 464–466.Veko O. V., Kazmerchuk K. V., Kisel V. V., Ovsiyuk E. M., Red’kov V. M. Quantum mechanical scalar particle with intrinsic structure in external magnetic and electric fields: influence of geometrical background. Nonlinear Phenomena in Complex Systems, 2014, vol. 17, no. 4, pp. 464–466.Ovsiyuk, E. M. Spin zero Cox’s particle with an intrinsic structure: general analysis in external electromagnetic and gravitational fields / E. M. Ovsiyuk // Ukr. J. Phys. – 2015. – Vol. 60, № 6. – P. 485–496.Ovsiyuk E. M. Spin zero Cox’s particle with an intrinsic structure: general analysis in external electromagnetic and gravitational fields. Ukrainian Journal of Physics, 2015, vol. 60, no. 6, pp. 485–496. Doi: 10.15407/ujpe60.06.0485Veko, O. V. Cox’s particle in magnetic and electric fields on the background of hyperbolic Lobachevsky geometry /Veko O. V. Cox’s particle in magnetic and electric fields on the background of hyperbolic Lobachevsky geometry. Kurochkin Yu., Red’kov V. (eds.) Proceedings of the IX International Conference «Methods of non-Euclidean geometry in physics and mathematics», Bolyai – Gauss – Lobachevsky-9 (BGL-9), Minsk, 27–30 November 2015. Minsk, 2015, pp. 284–294.O. V. Veko // Proc. of the IX Int. Conf. «Methods of non-Euclidean geometry in physics and mathematics», Bolyai–Gauss– Lobachevsky-9 (BGL-9), Minsk, 27–30 Nov. 2015 / ed. by Yu. Kurochkin, V. Red’kov. – Minsk, 2015. – P. 284–294.Veko O. V. Cox’s particle in magnetic and electric fields on the background of hyperbolic Lobachevsky geometry. Nonlinear Phenomena in Complex Systems, 2016, vol. 19, no. 1, pp. 50–61.Veko, O. V. Cox’s particle in magnetic and electric fields on the background of hyperbolic Lobachevsky geometry / O. V. Veko // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. – 2016. – Vol. 19, № 1. – P. 50–61.Veko O. V., Ovsiyuk E. M., Red’kov V. M. Cox nonrelativistic particle of intrinsic structure in the electric field: analysis in the Lobachevsky space. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2017, no. 2, pp. 71–81 (in Russian).Веко, О. В. Нерелятивистская частица Кокса с внутренней структурой в электрическом поле: анализ в пространстве лобачевского / О. В. Веко, Е. М. Овсиюк, В. М. Редьков // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фiз.-мат. навук. – 2017. – № 2. – C. 71–81.Ronveaux A. Heun’s Differential Equation. Oxford, Oxford University Press, 1995. 380 p.Ronveaux, A. Heun’s Differential Equation / A. Ronveaux. – Oxford: Oxford University Press, 1995. – 380 p.Slavyanov S. Yu., Lay W. Special Functions. A Unified Theory Based on Singularities. Oxford, Oxford University Press, 2000. 312 p.Slavyanov, S. Yu. Special Functions. A Unified Theory Based on Singularities / S. Yu. Slavyanov, W. Lay. – Oxford: Oxford University Press, 2000. – 312 p.Landau L. D., Lifshits E. M. Quantum mechanics (non-relativistic theory). 3rd ed. Moscow, Nauka Publ., 1974. 752 p. (in Russian).Ландау, Л. Д. Квантовая механика (нерелятивистская теория) / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. – Изд. 3-е, пере-раб. и доп. – М.: Наука, 1974. – 752 с.Ландау, Л. Д. Квантовая механика (нерелятивистская теория) / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. – Изд. 3-е, пере-раб. и доп. – М.: Наука, 1974. – 752 с.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.