vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2018-54-1-30-37vestifm-295Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSНЕУЛУЧШАЕМОСТЬ ТЕОРЕМЫ ДИРИХЛЕ ДЛЯ МНОГОЧЛЕНОВUNIMPOVABILITY OF DIRICHLET’S THEOREM FOR POLYNOMIALSЖурМ. А.ZhurM. A.

аспирант

Postgraduate Student

maksimzhur@gmail.comИнститут математики Национальной академии наук Беларуси, МинскInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus2018050420185413037Copyright © Жур М.А., 20182018Жур М.А.Zhur M.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/295

Основное содержание статьи имеет отношение к классам S-чисел в классификации Малера [1]. Существует ряд результатов по нахождению оценки снизу в теории диофантовых уравнений. К некоторым из них можно отнести оценку снизу при приближении рациональных чисел рациональными; оценку снизу при приближении алгебраических чисел, полученную Лиувиллем; более позднее улучшение результата – теорему Туэ – Зигеля – Рота [2]. Однако все они неэффективны в том смысле, что их доказательство не дает способа подсчета этой оценки. В таком случае данные результаты и их доказательства не подходят для оценки величины решений соответствующих диофантовых уравнений, но их можно использовать для оценки числа решений этих уравнений. В статье с применением методов метрической теории диофантовых приближений рассмотрены индивидуальные и глобальные оценки снизу для многочленов [3]. Получена новая глобальная оценка по неулучшаемости теоремы Дирихле с помощью метрического подхода при нахождении оценки снизу на заданном отрезке для многочленов степени не более n и дополнительным условием на модуль производной этого многочлена.

 

The article relates to the classes of S-numbers in Mahler’s classification [1]. There are a number of the wellknown results on finding lower bounds in the theory of Diophantine equations. Some of them include a lower bound for approximation of rational numbers; a lower bound for approximation of algebraic numbers obtained by Liouville; a later improvement of the result of Liouville known as the Thue – Siegel – Roth theorem [2]. However, the bounds described above are considered ineffective in the sense that their proof does not give a way how to calculate them. In this case, these results and their proofs cannot be used to estimate the magnitude of the solutions of the corresponding Diophantine equations, but can be used to estimate the number of solutions of these equations. In the article, using the methods of metric theory of Diophantine approximations, we have considered individual and global lower bounds for polynomials [3]. A new global bound has been obtained for the unimprovability of Dirichlet’s theorem using the metric approach for finding a lower bound in a given interval for polynomials of a degree of no more than n and an additional condition for the modulus of the derivative of this polynomial.

теорема Дирихледиофантовы приближенияпроблема Малерамера Лебегавысота многочленапринцип Дирихлемногочленлинейная формаDirichlet’s theoremDiophantine approximationMahler’s problemLebesgue’s measurepolynomial heightDirichlet’s principlepolynomiallinear formReferencesMahler, K. Über das Maß der Menge aller S¬Zahlen / K. Mahler // Math. Ann. – 1932. – Vol. 106, № 1. – P. 131–139.Mahler K. Über das Maß der Menge aller S-Zahlen. Mathematische Annalen, 1932, vol. 106, no. 1, pp. 131–139. Doi: 10.1007/bf01455882Касселс, Дж. В. С. Введение в теорию диофантовых приближений: пер. с англ. / Дж. В. С. Касселс; под. ред и с доп. А. О. Гельфонда. – М.: Иностр. лит., 1961. – 213 c.Cassels, J. W. S. An Introduction to Diophantine Approximation. Cambridge University Press, 1958. 213 p.Берник, В. И. Метрическая теорема о совместном приближении нуля значениями целочисленных многочленов / В. И. Берник // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1980. – Т. 44, вып. 1. – С. 24–25.Bernik, V. I. A metric theorem on the simultaneous approximation of a zero by the values of integral polynomials. Mathematics of the USSR-Izvestiya, 1980, vol. 6, no. 1, pp. 21–40. Doi: 10.1070/im1981v016n01abeh001292Шидловский, А. Б. Трансцендентные числа / А. Б. Шидловский. – М.: Наука, 1987. – 447 с.Shidlovskii A. B. Transcendental Numbers. Moscow, Nauka Publ., 1987. 447 p. (in Russian).Гельфонд, А. О. Трансцендентные и алгебраические числа / А. О. Гельфонд. – Изд. 3-е. – М.: URSS: Ленанд, 2015. – 224 с.Gel’fond A. O. Transcendental and Algebraic Numbers. 3 rd. ed. Moscow, URSS, Lenand Publ., 2015. 224 p. (in Rus sian).Спринджук, В. Г. Доказательство гипотезы Малера о мере множества S-чисел / В. Г. Спринджук // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1965. – Т. 29, вып. 2. – C. 379–436.Sprindzhuk V. G. Proof of Mahler’s conjecture on the measure of the set of S-numbers. American Mathematical Society Translations: Series 2, 1966, pp. 215–272. Doi: 10.1090/trans2/051/09Спринджук, В. Г. Проблема Малера в метрической теории чисел / В. Г. Спринджук. – Минск: Наука и техника, 1967. – 181 с.Sprindzhuk V. G. Mahler’s Problem in the Metric Number Theory. Minsk, Nauka i tekhnika Publ., 1967. 181 p. (in Russian).Schneider, Th. Einführung in die Transzendenten Zahlen / Th. Schneider. – Springer-Verlag, 1957. – 139 s.Schneider Th. Einführung in die Transzendenten Zahlen. Springer-Verlag, 1957. 139 s. Doi: 10.1007/978-3-642-94694-3

The authors declare that there are no conflicts of interest present.