vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2018-54-1-44-49vestifm-297Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSО ВЫЧИСЛЕНИИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ИНТЕГРАЛОВ, ПОРОЖДЕННЫХ НЕКОТОРЫМИ НЕРЕЛЯТИВИСТСКИМИ ГАМИЛЬТОНИАНАМИEVALUATION OF FUNCTIONAL INTEGRALS GENERATED BY SOME NONRELATIVISTIC HAMILTONIANSМалютинВ. Б.MalyutinV. B.

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник

Ph. D. (Physics and Mathematics), Leading Researcher

malyutin@im.bas-net.byИнститут математики Национальной академии наук Беларуси, МинскInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus, Minsk2018050420185414449Copyright © Малютин В.Б., 20182018Малютин В.Б.Malyutin V.B.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/297

Получены численные результаты для функциональных интегралов по условной мере Винера, порожденных гамильтонианом гармонического осциллятора, гамильтонианом ангармонического осциллятора и гамильтонианом одномерной прямоугольной потенциальной ямы, с помощью метода, основанного на разложении по собственным функциям гамильтониана, порождающего функциональный интеграл. Вычисление собственных значений, используемых в разложении, основано на подсчете числа совпадений знаков у следующих друг за другом членов последовательности Штурма. Потому этот метод устойчив к накоплению погрешностей и хорошо реализуется на ЭВМ. Предложенный метод эффективнее известных ранее методов при вычислении функциональных интегралов по пространству функций, заданных на отрезках большой длины.

The numerical results for functional integrals with respect to the conditional Wiener measure, generated by the Hamiltonian of a harmonic oscillator, the Hamiltonian of an anharmonic oscillator and the Hamiltonian of a one-dimensional rectangular well, are obtained in the work. Numerical results are obtained using the method based on the expansion in eigenfunctions of the Hamiltonian generating a functional integral. Evaluation of eigenvalues used in the expansion is based on counting the number of matches of signs of terms of the Sturm sequence. Therefore this method is stable to the accumulation of errors and is well implemented on a computer. The proposed method is more effective than the previously known methods for evaluation of functional integrals over the space of functions given on long intervals.

функциональные интегралыгармонический осцилляторангармонический осциллятородномерная прямоугольная потенциальная ямаfunctional integralsharmonic oscillatoranharmonic oscillatorone-dimensional rectangular wellReferencesЯнович, Л. A. Приближенное вычисление континуальных интегралов по гауссовым мерам / Л. А. Янович. – Минск: Наука и техника, 1976. – 382 с.Yanovich L. A. Approximate Evaluation of Continual Integrals with Respect to Gaussian Measures. Minsk, Nauka i tekhnika Publ., 1976. 382 p. (in Russian).Eгоров, A. Д. Приближенные методы вычисления континуальных интегралов / А. Д. Eгоров, П. И. Соболевский, Л. А. Янович. – Минск: Наука и техника, 1985. – 309.Egorov A. D., Sobolevsky P. I., Yanovich L. A. Approximate Methods of Evaluation of Continual Integrals. Minsk, Nauka i tekhnika Publ., 1985. 309 p. (in Russian).Egorov, A. D. Functional Integrals: Approximate Evaluation and Applications / A. D. Egorov, P. I. Sobolevsky, L. A. Yanovich. – Dordrecht: Kluwer Academic Pablishers, 1993. – 400 p.Egorov A. D., Sobolevsky P. I., Yanovich L. A. Functional Integrals: Approximate Evaluation and Applications. Dordrecht, Kluwer Academic Pablishers, 1993. 400 p. Doi: 10.1007/978-94-011-1761-6Егоров, А. Д. Введение в теорию и приложения функционального интегрирования / А. Д. Егоров, Е. П. Жидков, Ю. Ю. Лобанов. – М.: Физматлит, 2006. – 400 с.Egorov A. D., Zhidkov Е .P., Lobanov Yu. Yu. Introduction to Theory and Applications of Functional Integration. Мoscow, Fizmatlit Publ., 2006. 400 p. (in Russian).Решение краевых задач методом Монте-Карло / Б. С. Елепов [и др.]. – Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1980. – 174 с.Elepov B. S., Kronberg А. А., Мikhailov G. А., Sabelfeld K. K. Solution of Boundary Value Problems by Monte-Carlo Method. Novosibirsk, Science Publ., 1980. 174 p. (in Russian).Сабельфельд, К. К. О приближенном вычислении винеровских континуальных интегралов методом Монте-Карло / К. К. Сабельфельд // Журн. вычисл. математики и мат. физики. – 1979. – Т. 19, № 1. – C. 29–43.Sabelfeld K. K. Approximate evaluation of Wiener continual integrals by Monte-Carlo method. Zhurnal vychislitel’noi matematiki i matematicheskoi fiziki = Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1979, vol. 19, no. 1, pp. 29–43 (in Russian).Малютин, В. Б. Вычисление функциональных интегралов с помощью последовательностей Штурма / В. Б. Малютин // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2016. – № 4. – C. 32–37.Malyutin V. B. Evaluation of functional integrals using Sturm sequences. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Ma-the matics series, 2016, no. 4, pp. 32–37 (in Russian).Wilkinson, J. H. The Algebraic Eigenvalue Problem / J. H. Wilkinson. – Oxford, 1965. – 662 p.Wilkinson J. H. The Algebraic Eigenvalue Problem. Oxford, 1965. 662 p.Glimm, J. Quantum Physics. A Functional Integral Point of View / J. Glimm, A. Jaffe. – Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag 1981. – 417 p.Glimm J., Jaffe A. Quantum Physics. A Functional Integral Point of View. New York, Springer-Verlag, 1981. 417 p. Doi: 10.1007/978-1-4684-0121-9Risken, H. The Fokker-Plank Equation: Methods of Solution and Applications / H. Risken. – Springer-Verlag. 1984. – 413 p.Risken H. The Fokker-Plank Equation: Methods of Solution and Applications. Springer-Verlag, 1984. 413 p. Doi: 10.1007/978-3-642-96807-5

The authors declare that there are no conflicts of interest present.