vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2018-54-1-62-68vestifm-299Research ArticleФИЗИКАPHYSICSКАСП-СИНГУЛЯРНОСТЬ ТРАЕКТОРИИ БЛОХОВСКОГО ВЕКТОРА КУБИТА ВО ВНЕШНЕМ ПЕРИОДИЧЕСКОМ СВЕТОВОМ ПОЛЕCUSP-SINGULARITY OF THE TRAJECTORY OF THE QUBIT’S BLOCH VECTOR UNDER AN EXTERNAL PERIODIC LIGHT FIELDЕфимоваА. В.EfimovaA. V.

научный сотрудник Центра «Квантовая оптика и квантовая информатика»

Researcher of the Centre “Quantum Optics and Quantum Information”

efimovaalexandra@yandex.ruИнститут физики им. Б. И. Степанова Национальной академии наук Беларуси, МинскB. I. Stepanov Institute of Physics of the National Academy of Sciences of Belarus, Minsk2018050420185416268Copyright © Ефимова А.В., 20182018Ефимова А.В.Efimova A.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/299

Исследована квантовая динамика двухуровневой квантово-механической системы, подверженной внешнему монохроматическому воздействию вне рамок приближения вращающейся волны. Показано, что при условии точного резонанса на траекториях векторов Блоха при различных начальных условиях проявляются особые точки, которые классифицируются как касп-сингулярности. Обнаружено, что в таких точках мгновенная ось вращения, относительно которой происходит вращение вектора Блоха, меняет направление на противоположное, и происходит остановка движения. При ненулевой частотной расстройке касп-сингулярности исчезают. Численный анализ особенностей траекторий вектора Блоха без приближения вращающейся волны дополнен исследованием, основанным на использовании методов Флоке. В рамках данного подхода получены и проанализированы рекуррентные соотношения для спектральных компонент амплитуд вероятностей. Найдено аналитическое выражение для двух значений квазиэнергий с точностью до четвертого порядка по величине энергии взаимодействия. Показано, что для получения сингулярного поведения траекторий вектора Блоха достаточно ограничиться четырьмя спектральными гармониками в разложении Флоке. Полученные результаты важны для достижения точности при выполнении когерентных преобразований с двухуровневыми системами в случаях, когда приближение вращающейся волны не применимо.

The quantum dynamics of a two-level quantum-mechanical system subjected to the external monochromatic action beyond the rotating wave approximation was investigated. It was shown that under the condition of exact resonance on the trajectories of the Bloch vectors, special points are manifested under different initial conditions. These points are classified as cusps singularities. It is revealed that at such points, the instantaneous rotation axis, relative to which the Bloch vector rotates, reverses its direction. There is a movement stop. For a nonzero frequency detuning, the cusp singularities vanish. A numerical analysis of the singularities of the trajectories of the Bloch vector without rotating wave approximation was supplemented by a study based on the use of the Floquet methods. Within the framework of this approach, recurrence relations for the spectral components of the probability amplitudes were obtained and analyzed. An analytic expression was found for the two values of quasi-energies within a fourth order of magnitude in the interaction energy. It was shown that to obtain a singular behavior of the trajectories of the Bloch vector, it is sufficient to confine by four spectral harmonics in the Floquet expansion. The results obtained are important for achieving the accuracy when performing coherent transformations with two-level systems in the cases where the rotating wave approximation is inapplicable.

кубитприближение вращающейся волнывектор Блохаотстройка от резонансаметоды Флоке и непрерывных дробейматрица эволюцииqubitrotating wave approximationBloch vectoroff-tuning from resonanceFloquet and continued-fraction methodsevolution matrixdipole transition operatorReferencesBraak, D. Integrability of the Rabi model / D. Braak // Phys. Rev. Lett. – 2011. – Vol. 107, № 10. – P. 100401-1–100401-4.Braak D. Integrability of the Rabi model. Physical Review Letters, 2011, vol. 107, no. 10, pp. 100401-1–100401-4. Doi: 10.1103/physrevlett.107.100401Irish, E. K. Generalized rotating-wave approximation for arbitrarily large coupling / E. K. Irish // Phys. Rev. Lett. – 2007. – Vol. 99, № 17. – P. 173601-1–173601-4.Irish E. K. Generalized rotating-wave approximation for arbitrarily large coupling. Physical Review Letters, 2007, vol. 99, no. 17, pp. 173601-1–173601-4. Doi: 10.1103/physrevlett.99.173601Аллен, Л. Оптический резонанс и двухуровневые атомы / Л. Аллен, Дж. Эберли; пер. Т. М. Ильиновой, М. С. Стрижевской. – М.: Мир, 1978. – 224 с.Allen L., Eberly J. Optical resonance and two-level atoms. John Wiley and Sons LTD, 1975. 233 p.Могилевцев, Д. С. Методы квантовой оптики структурированных резервуаров / Д. С. Могилевцев, С. Я. Килин. – Минск: Белорус. наука, 2007. – 174 с.Mogilevtsev D. S., Kilin S. Ya. Quantum optics methods for structured reservoirs. Minsk, Belaruskaya navuka Publ., 2007. 174 p. (in Russian).Abdel-Aty, M. Dynamics of Bloch vectors and channel capacity of two non-identical charge qubits / M. Abdel-Aty, N. Metwally, A.-S. F. Obama // Phys. Lett. A. – 2009. – Vol. 373, № 10. – P. 927–933.Abdel-Aty M., Metwally N., Obama A.-S. F. Dynamics of Bloch vectors and channel capacity of two non-identical charge qubits. Physics Letters A, 2009, vol. 373, no. 10, pp. 927–933. Doi: 10.1016/j.physleta.2009.01.017Dandoloff, R. Geometry of entangled states, Bloch spheres and Hopf fibrations / R. Dandoloff, R. Mosseri // J. Phys. A: Math. Gen. – 2001. – Vol. 34, № 47. – P. 10243–10252.Dandoloff R., Mosseri R. Geometry of entangled states, Bloch spheres and Hopf fibrations. Journal of Physics A: Mathematical and General, 2001, vol. 34, no. 47, pp. 10243–10252. Doi: 10.1088/0305-4470/34/47/324Benenti, G. Nonperturbative interpretation of the Bloch vector’s path beyond the rotating-wave approximation / G. Be-nenti, S. Siccardi, G. Strini // Phys. Rev. A. – 2013. – Vol. 88. – P. 033814-1–033841-8.Benenti G., Siccardi S., Strini G. Nonperturbative interpretation of the Bloch vector’s path beyond the rotating-wave approximation. Physical Review A, 2013, vol. 88, pp. 033814-1–033841-8. Doi: 10.1103/physreva.88.033814Мэтьюз, Дж. Математические методы физики / Дж. Мэтьюз, Р. Уокер. – М.: Атомиздат, 1972. – 398 с.Mathews J., Walker R. Mathematical Methods of Physics. New York, Benjamin, 1964. 475 p.Hänggi P. Driven quantum systems / P. Hänggi // Quantum Transport and Dissipation / T. Dittrich [et al.]. – New York: WILEY-VCN, 1999. – P. 249–286.Dittrich T., Hänggi P., Ingold G.-L., Kramer B., Schoen G., Zwerger W. Quantum Transport and Dissipation. Chapter 5. Driven quantum systems. New York, WILEY-VCN, 1999, pp. 249–286.Давыдов, А. С. Квантовая механика / А. С. Давыдов. – 3-е изд., стер. – СПб.: БХВ-Петербург, 2011. – 703 с.Davydov A. S. Quantum mechanics. 3nd ed. Saint Petersburg: BKhV-Peterburg Publ., 2011. 703 p. (in Russian).Скалли, М. О. Квантовая оптика: пер. с англ. / М. О. Скалли, М. С. Зубайри; под ред. В. В. Самарцева. – М.: Физматлит, 2003. – 512 с.Scully M. O., Zubairy M. S. Quantum Optics. Cambridge University Press, 1997. 630 p. Doi: 10.1017/CBO9780511813993Ефимова, А. В. Сингулярность траекторий блоховского вектора без использования приближения вращающейся волны / А. В. Ефимова // Современные проблемы физики: междунар. шк.-конф. молодых ученых и специалистов, Минск, 8–10 июня 2016 г. / Нац. акад. наук Беларуси, Ин-т физики им. Б. И. Степанова; редкол.: В. В. Машко [и др.]. – Минск, 2016. – С. 41–45.Efimova A. V. Singularity of Bloch vector’s paths without using the rotating wave approximation. Sovremennye prob lemy fiziki: Mezhdunarodnaya shkola-konferentsiya molodykh uchenykh i spetsialistov. Minsk, 8–10 iyunya 2016 g. [Modern problems of physics, international school-conf. of young scientists and specialists, Minsk, 8–10 June 2016]. Minsk, 2016, pp. 41–45 (in Russian).Зельдович, Я. Б. Квазиэнергия квантовой системы, подвергающейся периодическому воздействию / Я. Б. Зельдович // Журн. эксперим. и теорет. физики. – 1966. – Т. 51, вып. 5. – С. 1492–1495.Zel’dovich Ya. B. The quasienergy of an quantum-mechanical system subjected to a periodic action. Journal of Experimental and Theoretical Physics, 1967, vol. 24, no. 5, pp. 1006–1008.Ритус, В. И. Сдвиг и расщепление атомных уровней полем электромагнитной волны / В. И. Ритус // Журн. эксперим. и теорет. физики. – 1966. – Т. 51, вып. 5. – С. 1544–1549.Ritus V. I. Shift and splitting of atomic energy levels by the field of an electromagnetic wave. Journal of Experimental and Theoretical Physics, 1967, vol. 24, no. 5, pp. 1041–1044.Feranchuk, I. D. Two-level system in a one-mode quantum field: numerical solution on the basis of the operator method / I. D. Feranchuk, L. I. Komarov, A. P. Ulyanenkov // J. Phys. A: Math. Gen. – 1996. – Vol. 29, № 14 – P. 4035–4047.Feranchuk I. D., Komarov L. I., Ulyanenkov A. P. Two-level system in a one-mode quantum field: numerical solution on the basis of the operator method. Journal of Physics A: Mathematical and General, 1996, vol. 29, no. 14, pp. 4035–4047. Doi: 10.1088/0305-4470/29/14/026

The authors declare that there are no conflicts of interest present.