vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2018-54-2-149-163vestifm-314Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSОБОБЩЕННЫЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ ЭРМИТА – БИРКГОФА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХGENERALIZED INTERPOLATION HERMITE – BIRKHOFF POLYNOMIALS FOR ARBITRARY-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL OPERATORShttps://orcid.org/0000-0002-8029-1842ИгнатенкоМ. В.IgnatenkoM. V.

Игнатенко Марина Викторовна – кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры веб-технологий и компьютерного моделирования.

пр.Независимости, 4, 220030, г.Минск.

Marina V. Ignatenko –Ph.D. (PhysicsandMathematics), Associate Professor, Associate Professor of Web Technologies and Computer Simulation Department.

4, Nezavisimosti Ave., 220030, Minsk.

ignatenkomv@bsu.byЯновичЛ. А.YanovichL. A.

Янович Леонид Александрович– член-корреспондент, доктор физико-математических наук, профессор,г лавныйнаучныйсотрудник.

ул.Сурганова, 11, 220072, г.Минск.

Leonid A. Yanovich – Corresponding Member, D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Chief Researcher.  

11, Surganov Str., 220072, Minsk.

Белорусский государственный университет.БеларусьBelarusian State University.BelarusИнститут математики Национальной академии наук Беларуси.БеларусьInstitute of Mathematics of the National Aca demy of Sciences of Belarus.Belarus201830062018542149163Copyright © Игнатенко М.В., Янович Л.А., 20182018Игнатенко М.В., Янович Л.А.Ignatenko M.V., Yanovich L.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/314

Рассматривается проблема построения и исследования обобщенных интерполяционных формул Эрмита – Биркгофа для дифференциальных операторов произвольного порядка в частных производных, заданных в пространстве непрерывно-дифференцируемых функций многих переменных. Построение операторных многочленов основано на интерполяционных полиномах для скалярных функций относительно произвольной чебышевской системы, а также на обобщенных интерполяционных формулах Эрмита – Биркгофа, полученных авторами ранее для операторов общего вида в функциональных пространствах. Приведенные операторные формулы имеют различную структуру и содержат интегралы Стилтьеса и дифференциалы Гато интерполируемого оператора. Получено явное представление погрешности операторного интерполирования. Рассмотрены некоторые частные случаи обобщенных формул Эрмита – Биркгофа для дифференциальных операторов в частных производных. Представленные результаты могут быть использованы в теоретических исследованиях как основа построения приближенных методов решения некоторых нелинейных операторно-дифференциальных уравнений, встречающихся в математической физике.

This article is devoted to the problem of construction and research of the generalized Hermite – Birkhoff interpolation formulas for arbitrary-order partial differential operators given in the space of continuously differentiable functions of many variables. The construction of operator interpolation polynomials is based both on interpolation polynomials for scalar functions with respect to an arbitrary Chebyshev system, and on the generalized Hermite – Birkhoff interpolation formulas obtained earlier by the authors for general operators in functional spaces. The presented operator formulas contain the Stieltjes integrals and the Gateaux differentials of an interpolated operator. An explicit representation of the error of operator interpolation was obtained. Some special cases of the generalized Hermite – Birkhoff formulas for partial differential operators are considered. The obtained results can be used in theoretical research as the basis for constructing approximate methods for solution of some nonlinear operator-differential equations found in mathematical physics.

операторный многочленоператорное интерполированиеобобщенное интерполирование типа Эрмита – Биркгофадифференциальный оператордифференциал Гатоинтеграл Стилтьесапогрешность интерполяцииoperator polynomialoperator interpolationgeneralized Hermite – Birkhoff interpolationdifferential opera- torGateaux differentialStieltjes integralinterpolation errorReferencesЯнович, Л. А. Обобщенная интерполяционная задача Эрмита – Биркгофа для операторов / Л. А. Янович, М. В. Игнатенко // Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений: сб. науч. тр. 5-й междунар. конф. – Минск, Ин-т математики НАН Беларуси, 2010. – Т. 1. – С. 140–147.Yanovich L. A., Ignatenko M. V. Generalized interpolation problem of Hermite – Birkhoff for operators. Analiticheskie metody analiza i differentsial'nykh uravnenii: Sbornik nauchnykh trudov 5-i mezhdunarodnoi konferentsii [Analytical methods of analysis and differential equations]: Collection of Scientific Papersof the 5-th International Conference]. Minsk, Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus, 2010, vol. 1, pp. 140–147 (in Russian).Янович, Л. А. К теории интерполирования Эрмита – Биркгофа нелинейных обыкновенных дифференциальных операторов / Л. А. Янович, М. В. Игнатенко // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2017. – № 2. – С. 7–23.Yanovich L. A., Ignatenko M. V. On the theory of Hermite – Birkhoff interpolation of nonlinear ordinary differential operators. Vestsi Natsyyanal'nai akademii navuk Belarusi. Seryya fizika-matematychnykh navyk = Proceeding of the National Academy of Sciences of Belarus, Physics and Mathematics Series, 2017, no 2, pp. 7–23 (in Russian).Игнатенко, М. В. К теории интерполирования дифференциальных операторов произвольного порядка в частных производных / М. В. Игнатенко // Тр. Ин-та математики Нац. акад. наук Беларуси. – 2017. – Т. 25, № 2. – C. 11–20.Ignatenko M. V. To the interpolation theory of arbitrary order partial differential operators. Trudy Instituta matematiki Natsional'noy akademii nauk Belarusi = Proceeding of the Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus, 2017, vol. 25, no 2, pp. 11–20 (in Russian).Евграфов, М. А. Интерполяционная задача Абеля – Гончарова / М. А. Евграфов. – М.: ГИТТЛ, 1954. – 128 с.Evgrafov M. A. Abel – Goncharov interpolation problem. Moscow, State Publishing House of Technical and Theretical Literature, 1954. 127 p. (in Russian).Янович, Л. А. Об одном классе интерполяционных многочленов для нелинейных обыкновенных дифференциальных операторов / Л. А. Янович, М. В. Игнатенко // Мат. моделирование. – 2014. – Т. 26, № 11. – С. 90–96.Yanovich L. A., Ignatenko M. V. On a class of interpolation polynomials for nonlinear ordinary differential operators. Matematicheskoe Modelirovanie = Mathematical Models and Computer Simulations, 2014, vol. 26, no. 11, pp. 90–96 (in Russian).Янович, Л. А. Обобщенная интерполяционная задача Абеля – Гончарова / Л. А. Янович, В. В. Дорошко // Вестн. фонда фундам. исслед. – 1999. – № 4. – С. 34–44.Yanovich L. A., Doroshko V. V. Generalized interpolation problem of Abel – Goncharov. Vestnik fonda fundamental'nykh issledovanii = Vestnik of the Foundation for Fundamental Research, 1999, vol. 4, pp. 34–44 (in Russian).Янович, Л. А. Формулы операторного интерполирования, основанные на интерполяционных многочленах для числовых функций / Л. А. Янович, В. В. Дорошко // Вычислительная математика и математические проблемы механики: тр. Укр. мат. конгресса. – Киев, 2002. – С. 137–145.Yanovich L. A., Doroshko V. V. Formulas of operator interpolation based on interpolation polynomials for scalar functions. Vychislitel'naya matematika i matematicheskie problemy mekhaniki: Trudy Ukrainskogo matematicheskogo kongressa [Computational Mathematics and Mathematical Problems in Mechanics: Proceedings of the Ukrainian Mathematical Congress]. Kiev, 2002, pp. 137–145 (in Russian).Янович, Л. А. Об одном классе формул операторного интерполирования Эрмита – Биркгофа в пространстве дифференцируемых функций / Л. А. Янович, М. В. Игнатенко // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2005. – № 2. – С.11–16.Yanovich L. A., Ignatenko M. V. On a class of Hermite-Birkhoff operator interpolation formulas in the space of differentiable functions. Vestsi Natsyyanal'nai akademii navuk Belarusi. Seryya fizika-matematychnykh navyk = Proceeding of the National Academy of Sciences of Belarus, Physics and Mathematics Series, 2005, no 2, pp. 11–16 (in Russian).Янович, Л. А. Интерполяционные операторные многочлены Эрмита – Биркгофа в пространстве гладких функций / Л. А. Янович, М. В. Игнатенко // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2009. – Т. 53, № 5. – С.15–21.Yanovich L. A., Ignatenko M. V. Interpolation operator polynomials of Hermite – Birkhoff in the space of smooth functions. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2009, vol. 53, no. 5, pp. 15–21 (in Russian).Янович, Л. А. Специальный случай интерполяционной задачи Эрмита – Биркгофа для операторов в пространстве гладких функций / Л. А. Янович, М. В. Игнатенко // Актуальные проблемы анализа: сб. науч. тр. – Гродно: ГрГУ, 2009. – С. 198–215.Yanovich L. A., Ignatenko M. V. A special case of the Hermite-Birkhoff interpolation problem for operators in the space of smooth functions. Aktual'nyye problemy analiza. Sbornik nauchnykh trudov [Actual problems of analysis. Collection of Sceintific Papers]. Grodno, Grodno State University, 2009, pp. 198–215 (in Russian).Худяков, А. П. Интерполяционные формулы Эрмита – Биркгофа относительно алгебраической и тригонометрической систем функций с одним специальным узлом / А. П. Худяков, А. А. Трофимук // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2017. – № 1. – С. 14–28.Khudyakov A. P., Trofimuk A. A. The Hermite-Birkhoff interpolation formulas for algebraic and trigonometric systems of functions with one special node. Vestsi Natsyyanal'nai akademii navuk Belarusi. Seryya fizika-matematychnykh navyk = Proceeding of the National Academy of Sciences of Belarus, Physics and Mathematics Series, 2017, no 1, pp. 14–28 (in Russian).Shi, Y. G. Theory of Birkhoff Interpolation / Y. G. Shi. – New York: Nova Science Publishers, 2003. – 253 p.Shi Y. G. Theory of Birkhoff Interpolation. New York, Nova Science Publishers, 2003. 253 р.Nazarzadeh, A. Another case of incidence matrix for bivariate Birkhoff interpolation / A. Nazarzadeh, Kh. Rahsepar Fard, A. Mahmoodi // Journal of Numerical & Applied Mathematics. – 2016. – № 2 (122). – P. 55–70.Nazarzadeh A., Rahsepar Fard Kh., Mahmoodi A. Another case of incidence matrix for bivariate Birkhoff interpolation. Zhurnal obchislyuval’noї ta prikladnoї matematiki = Journal of Numerical & Applied Mathematics, 2016, no. 2 (122), рр. 55–70.Zhao, T. G. On Two Birkhoff-Type Interpolations with First- and Second-Order Derivative / T. G. Zhao, Y. J. Li // J. Appl. Math. Phys. – 2016. – Vol. 4, № 7. – P. 1269–1274. https://doi.org/10.4236/jamp.2016.47133Zhao T. G., Li Y. J. On Two Birkhoff-Type Interpolations with First- and Second-Order Derivative. Journal of Applied Mathematics and Physics, 2016, vol. 4, no. 7, рр. 1269–1274. https://doi.org/10.4236/jamp.2016.47133Makarov, V. L. Methods of Operator Interpolation / V. L. Makarov, V. V. Khlobystov, L. A. Yanovich. – Київ: Iнститут математики НАН Украiни, 2010. – 516 с. – (Праці Ін-ту математики НАН України, Vol. 83: Математика та ii застосування).Makarov V. L., Khlobystov V. V., Yanovich L. A. Methods of Operator Interpolation. Proceedings of the Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine. Vol. 83: Mathematics and ii applications. Kiev, 2010. 516 p.Янович, Л. А. Основы теории интерполирования функций матричных переменных / Л. А. Янович, М. В. Игнатенко. – Минск: Беларус. навука, 2016. – 281 с.Yanovich L. A., Ignatenko M. V. Bases of the theory of interpolation of functions of matrix variables. Minsk, Belarusian science, 2016. 281 р. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.