Рассматриваются конечномерные стохастические дифференциальные уравнения с дробными броуновскими движениями, имеющими различные индексы Харста, большие 1/3, и со сносом. Данные разнородные составные компоненты уравнений объединены в единый процесс. Решения уравнений понимаются в интегральном смысле, а интегралы, в свою очередь, являются потраекторными интегралами Губинелли [1] и, таким образом, реализуют известный подход в теории грубых траекторий (rough path) [2]. Указаны условия, обеспечивающие существование и единственность решений рассматриваемых стохастических дифференциальных уравнений. Такие условия оказываются достаточными для получения результатов, касающихся непрерывной зависимости от начальных данных. В работе доказывается потраекторная непрерывная зависимость от начальных условий и правых частей решений рассматриваемых стохастических дифференциальных уравнений. Полученный результат не зависит от вероятностных свойств дробных броуновских движений и поэтому легко переносится на произвольные процессы, непрерывные по Гельдеру с показателем, большим 1/3. При этом возникающая в оценке константа получается экспо ненциально зависящей от норм дробных броуновских движений. С учетом последнего факта и доказанного потраекторного результата впоследствии выводится логарифмическая непрерывная зависимость в среднем от начальных условий и правых частей решений рассматриваемых стохастических дифференциальных уравнений, представляющая собой основной результат настоящей статьи.
In the present acticle we consider finite-dimensional stochastic differential equations with fractional Brownian motions having different Hurst indices larger than 1/3 and a drift. These heterogeneous components of the equations are combined into a single process. The solutions of the equations are understood in the integral sense, and the integrals in turn are Gubinelli’s rough path integrals [1] realizing the well-known approach of the rough paths theory [2]. The existence and uniqueness conditions of the solutions of these stochastic differential equations are specified. Such conditions are sufficient to obtain the results related the continuous dependence on the initial data. In this article, we have first proved a continuous dependence on the initial conditions and the right-hand sides of the solutions of the stochastic differential equations under consideration for almost all their trajectories. The result obtained does not depend on the probabilistic properties of fractional Brownian motions, and therefore it can be easily generalized to the case of arbitrary Holder-continuous processes with an exponent greater than 1/3. In this case, the constant arising in the estimates appears to be exponentially dependent on the norms of fractional Brownian motions. Taking into account the last fact and the proved result, an expected logarithmic continuous dependence on the initial conditions and the right-hand sides of the solutions of the stochastic differential equations con - si dered is subsequently derived. This is the major result of this article.