vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2018-54-3-279-289vestifm-332Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSМетод функциональных интегралов для систем стохастических дифференциальных уравненийFunctional integrals method for systems of stochastic differential equationsАйрянЭ. А.AyryanE. A.

Айрян Эдик Арташевич – кандидат физико-математических наук, заведующий сектором, лаборатория информационных технологий.

ул.  Жолио-Кюри,  6,  141980, Дубна.

Edik A. Ayryan – Ph. D. (Physics and Mathematics), Head of the Sector of the Laboratory of Information Technologies.

6, Joliot-Curie Str., 141980, Dubna.

ayrjan@jinr.ruЕгоровА. Д.EgorovA. D.

Егоров Александр Дмитриевич – доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник.

ул. Сурганова, 11, 220072, Минск.

Alexandr D. Egorov – D. Sc. (Physics and Mathematics), Chief Researcher.

11, Surganov Str., 220072, Minsk.

egorov@im.bas-net.byКулябовД. С.KulyabovD. S.

Кулябов Дмитрий Сергеевич – доктор физико-математических наук, доцент, кафедра прикладной информатики и теории вероятностей, Российский университет дружбы народов.

ул. Миклухо-Маклая, 6, 117198, Москва.

Dmitry S. Kulyabov – D. Sc. (Physics and Mathema- tics), Assistant Professor, Department of Applied Probability and Informatics, RUDN University.

6, Mikluho-Maklaya Str., 117198,  Moscow.

kulyabov_ds@rudn.universityМалютинВ. Б.MalyutinV. B.

Малютин Виктор Борисович – доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник.

ул. Сурганова, 11, 220072, Минск.

Victor B. Malyutin – D. Sc. (Physics and Mathematics), Leading Researcher.

11, Surganov Str., 220072, Minsk.

malyutin@im.bas-net.byСевастьяновЛ. А.SevastyanovL. A.

Севастьянов Леонид Антонович – доктор физико- математических наук, профессор, кафедра прикладной информатики и теории вероятностей, Российский университет дружбы народов.

ул. Миклухо-Маклая, 6, 117198, Москва.

Leonid A. Sevastyanov – D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Department of Applied Probability and In- formatics, RUDN University.

6, Mikluho-Maklaya Str., 117198, Moscow.

sevastianov_la@rudn.universityОбъединенный институт ядерных исследованийJoint Institute for Nuclear ResearchИнститут математики Национальной академии наук БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of BelarusОбъединенный институт ядерных исследований; Российский университет дружбы народовJoint Institute for Nuclear Research; RUDN University201831102018543279289Copyright © Айрян Э.А., Егоров А.Д., Кулябов Д.С., Малютин В.Б., Севастьянов Л.А., 20182018Айрян Э.А., Егоров А.Д., Кулябов Д.С., Малютин В.Б., Севастьянов Л.А.Ayryan E.A., Egorov A.D., Kulyabov D.S., Malyutin V.B., Sevastyanov L.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/332

Рассматриваются системы стохастических дифференциальных уравнений, для которых риманово многообразие, порождаемое диффузионной матрицей, имеет нулевую кривизну. Предлагается метод вычисления характеристик решения рассматриваемых систем стохастических дифференциальных уравнений, который основывается на представлении функции плотности вероятности перехода через функциональный интеграл. Для вычисления возникающих функциональных интегралов используется разложение действия относительно классической траектории, для которой действие принимает экстремальное значение. Классическая траектория находится как решение многомерного уравнения Эйлера – Лагранжа.

Systems of stochastic differential equations, for which the Riemannian manifold generated by a diffusion matrix has zero curvature, are considered in this article. The method for approximate evaluation of characteristics of the solution of the systems of stochastic differential equations is proposed. This method is based on the representation of the probability density function through the functional integral. To compute functional integrals we use the expansion of action with respect to a classical trajectory, for which the action takes an extreme value. The classical trajectory is found as the solution of the multidimensional Euler – Lagrange equation.

системы стохастических дифференциальных уравненийOnsager–Machlup функционалыфункциональные интегралыsystems of stochastic differential equationsOnsager – Machlup functionalsfunctional integralsReferencesGardiner, C. W. Handbook of Stochastic Methods: For Physics, Chemistry, and the Natural Sciences / C. W. Gardiner. – 2nd ed. – Springer-Verlag, 1986. – 442 p. https://doi.org/10.1007/978-3-662-02452-2Gardiner C. W. Handbook of Stochastic Methods: For Physics, Chemistry, and the Natural Sciences. 2nd ed. Springer-Verlag, 1986, 442 p. https://doi.org/10.1007/978-3-662-02452-2Van Kampen, N. G. Stochastic Processes in Physics and Chemistry / N. G. Van Kampen. – 3rd ed. – Amsterdam, 2007. – 463 p.Van Kampen N. G. Stochastic Processes in Physics and Chemistry. 3rd ed. Amsterdam, 2007. 463 p.Гихман, И. И. Стохастические дифференциальные уравнения / И. И. Гихман, A. В. Скороход. – Киев: Наук. думка, 1968. – 354 с.Gikhman I. I., Skorokhod A. V. Stochastic Differential Eqations. Kiev, Naukova Dumka Publ., 1968. 354 p. (in Russian).Кузнецов, Д. Ф. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений. 2 / Д. Ф. Кузнецов. – С.-Петербург: Изд-во Политехн. ун-та, 2006. – 764 с.Kuznetsov D. F. Numerical Integration of Stochastic Differential Equations. 2. S.-Peterburg, Polytechnic University Publishing House, 2006. 764 p. (in Russian).Kloeden, P. E. Numerical Solution of Stochastic Differential Equations / P. E. Kloeden, E. Platen. – Berlin: Springer, 1992. – 636 p. https://doi.org/10.1007/978-3-662-12616-5Kloeden P. E., Platen E. Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. Berlin, Springer, 1992. 636 p. https://doi.org/10.1007/978-3-662-12616-5Kloeden, P. E. Numerical Solution of Stochastic Differential Equations Through Computer Experiments / P. E. Kloeden, E. Platen, H. Schurz. – Berlin: Springer, 1994. – 309 p.Kloeden P. E., Platen E. and Schurz H. Numerical Solution of Stochastic Differential Equations Through Computer Experiments. Berlin, Springer, 1994. 309 p.Onsager, L. Fluctuations and irreversible processes / L. Onsager, S. Machlup // Phys. Rev. – 1953. Vol. 91, № 6. – P. 1505–1512. https://doi.org/10.1103/physrev.91.1505Onsager L., Machlup S. Fluctuations and Irreversible Processes. Physical Review, 1953, vol. 91, no. 6, pp. 1505–1512. https://doi.org/10.1103/physrev.91.1505Langouche, F. Functional Integration and Semiclassical Expansions / F. Langouche, D. Roekaerts, E. Tirapegui. – Dordrecht: D. Reidel Pub. Co., 1982. – 315 p. https://doi.org/10.1007/978-94-017-1634-5Langouche F., Roekaerts D., Tirapegui E. Functional Integration and Semiclassical Expansions. Dordrecht: D. Reidel Pub. Co., 1982. 315 p. https://doi.org/10.1007/978-94-017-1634-5Wio, H. S. Path Integration to Stochastic Process: an Introduction / Horacio S. Wio. – World Scientific Publishing Company, 2012. – 176 p. https://doi.org/10.1142/8695Wio H. S. Application of Path Integration to Stochastic Process: an Introduction. World Scientific Publishing Company, 2013. 176 p. https://doi.org/10.1142/8695Bennati, E. A path integral approach to derivative security pricing I: formalism and analytical results / E. Bennati, M. Rosa-Clot, S. Taddei // Int. J. Theor. Appl. Finan. – 1999. – Vol. 2, № 4. – P. 381–407. https://doi.org/10.1142/s0219024999000200Bennati E., Rosa-Clot M., Taddei S. A path integral approach to derivative security pricing I: formalism and analytical results. International Journal of Theoretical and Applied Finance, 1999, vol. 2, no. 4, pp. 381–407. https://doi.org/10.1142/s0219024999000200Graham, R. Path integral formulation of general diffusion processes / R. Graham // Z. Phys. B: Condens. Matter and Quanta. – 1977. – Vol. 26, № 3. – P. 281–290. https://doi.org/10.1007/bf01312935Graham R. Path integral formulation of general diffusion processes. Zeitschrift fur Physik B Condensed Matter and Quanta, 1977, vol. 26, no. 3, pp. 281–290. https://doi.org/10.1007/bf01312935Graham, R. Lagrangian for diffusion in curved phase space / R. Graham // Phys. Rev. Lett. – 1977. – Vol. 38, № 2. – P. 51–53. https://doi.org/10.1103/physrevlett.38.51Graham R. Lagrangian for diffusion in curved phase space. Physical Review Letters, 1977, vol. 38, no. 2, pp. 51–53. https://doi.org/10.1103/physrevlett.38.51Применение функциональных интегралов к стохастическим уравнениям / Э. А. Айрян [и др.] // Мат. моделирование. – 2016. – T. 28, № 11. – C. 113–125.Ayryan E. A., Egorov A. D., Kulyabov D. S., Malyutin V. B., Sevastyanov L. A. Application of functional integrals to stochastic equations. Mathematical Models and Computer Simulations, 2017, vol. 9, no. 3, pp. 339–348. https://doi.org/10.1134/s2070048217030024Глимм, Дж. Математические методы квантовой физики. Подход с использованием функциональных интегралов: пер. с англ. / Дж. Глимм, А. Джаффе. – М.: Мир, 1984. – 448 с.Glimm J., Jaffe A. Quantum Physics. A Functional Integral Point of View. Berlin, Heidelberg, New York, Springer, 1981. https://doi.org/10.1007/978-1-4684-0121-9Feynman, R. P. Quantum Mechanics and Path Integrals / R. P. Feynman, A. R. Hibbs. – New York: McGraw-Hill, 1965. – 365 p.Feynman R. P., Hibbs A. R. Quantum Mechanics and Path Integrals. New York, McGraw-Hill, 1965. 365 p.Крылов, В. И. Вычислительные методы высшей математики: в 2 т. / В. И. Крылов, В. В. Бобков, П. И. Монастырный. – Минск: Выш. шк., 1975. – Т. 2. – 584 с.Krylov V. I., Bobkov V. V., Monastyrnyi P. I. Numerical Methods of Higher Mathematics. Vol. 2. Minsk, Vysheishaya Shkola Publ., 1975. 584 p. (in Russian).Кулябов, Д. С. Введение согласованного стохастического члена в уравнение модели роста популяций / Д. С. Кулябов, А. В. Демидова // Вестн. РУДН. Сер. Математика. Информатика. Физика. – 2012. – № 3. – С. 69–78.Kulyabov D. S. and Demidova A. V. Introduction of self-consistent term in stochastic population model equation. Vestnik RUDN. Seriya Matematika. Informatika. Fizika = RUDN Journal of Mathematics, Information Sciences and Physics, 2012, no. 3, pp. 69–78 (in Russian).Влияние стохастизации на одношаговые модели / А. В. Демидова [и др.] // Вестн. РУДН. Сер. Математика. Информатика. Физика. – 2014. – № 1. – С. 71−85.Demidova A. V., Gevorkian M. N., Egorov A. D., Kuliabov D. S., Korolkova A. V., and Sevastianov L. A. Influence of stochastization on one-step models, Vestnik RUDN. Seriya Matematika. Informatika. Fizika = RUDN Journal of Mathematics, Information Sciences and Physics, 2014, no. 1, pp. 71–85 (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.