vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2018-54-3-290-299vestifm-333Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSОбобщение теорем Ролля и Дарбу для функций двух переменныхExtensition of the Rolle and Darboux theorems to the functions of two variablesЗабрейкоП. П.ZabreikoP. P.

Забрейко Петр Петрович – доктор физико-математических наук, профессор кафедры функционального анализа и аналитической экономики механико-математического факультета.

пр. Независимости, 4, 220030, Минск.

Petr P. Zabreiko – Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor of the Department of Functional Analysis and Analytical Economics of the Faculty of Physics and the Faculty of Mathematics.

4, Nezavisimosti Ave., 220030, Minsk.

zabreiko@mail.ruКривко-КраськоА. В.Krivko-KraskoA. V.

Кривко-Красько Алексей Владимирович – кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры инновационного управления, Институт бизнеса Белорусского государственного университета.

ул. Московская, 5, 220007, Минск.

Aleksey V. Krivko-Krasko – Ph. D. (Physics and Mathematics), Assistant Professor, Assistant Professor of the Department of Innovation Management of the School of Business.

5, Moskovskaya Str., 220007, Minsk.

sbmt@mail.ruБелорусский государственный университетBelarusian State University201831102018543290299Copyright © Забрейко П.П., Кривко-Красько А.В., 20182018Забрейко П.П., Кривко-Красько А.В.Zabreiko P.P., Krivko-Krasko A.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/333

Как известно, классические теоремы Ролля и Дарбу для функции одной переменной устанавливают существование критической точки по поведению функции на концах отрезка. Возникает вопрос о возможности переноса теорем Ролля и Дарбу для функций двух переменных. Более точно, определяется ли существование критической точки в Ω̅ по поведению функции f на границе ∂Ω области Ω. Как было показано А. И. Перовым, такие обобщения можно получить с помощью понятия вращения. В настоящей работе устанавливаются более глубокие связи между теоремами Ролля, Дарбу и вращением векторного поля на границе  ∂Ω. Также приводятся некоторые новые формулы для вычисления вращения векторного поля на границе ∂Ω, на основе которых сформулированы утверждения о существовании критических точек.

As well known, the classical Rolle and Darboux theorems for a function of one variable establish the existence of a critical point in the behavior of a function at the ends of a closed interval. The question arises of the possibility of extension of the Rolle and Darboux theorems to functions of two variables. More precisely is the existence of a critical point in Ω̅ determined by the behavior of the function f on the boundary of the ∂Ω domain Ω. As shown by A. I. Perov, such extension can be obtained with the help of the concept of rotation. In this article, we establish deeper relations between the Rolle and Darboux theorems and the rotation of a vector field on the boundary ∂Ω. We also present some new formulas for calculating the rotation of a vector field on the boundary, on the basis of which statements about the existence of critical points are formulated.

теорема Роллятеорема Дарбуфункция двух переменныхкритическая точкавекторное полевращениеотносительное вращениеиндекс особой точкиэкстремум функцииRolle theoremDarboux theoremfunction of two variablescritical pointvector fieldrotationrelative rotationsingular point indexextremum of the functionReferencesФихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. / Г. М. Фихтенгольц. – М.: Гостехтеоретиздат, 1949. – Т. 1. – 690 с.Fihtengoltz G. М. Course on Differential and Integral Calculus. Vol. 1. Moscow, State Publishing House of Theoretical Literature. 690 p. (in Russian).Красносельский, М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений / М. А. Красносельский. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1966. – 332 с.Krasnoselskii М. А. The operator of translation along the trajectories of differential equations. Moscow, Science, The Main Edition of Physical and Mathematical Literature, 1966. 332 p. (in Russian).Векторные поля на плоскости / М. А. Красносельский [и др.]. – М.: Физматгиз, 1963. – 245 с.Krasnoselskii M. A., Perov A. I., Povolockii A. I., Zabreiko P. P. Plane Vector Fields. Moscow, State Publishing House of Physical and Mathematical Literature, 1963. 245 p. (in Russian).Красносельский, М. А. Геометрические методы нелинейного анализа / М. А. Красносельский, П. П. Забрейко. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1975. – 512 с.Krasnoselskii M. A., Zabreiko P. P. Geometric methods of nonlinear analysis. Мoscow, Science, The Main Edition of Physical and Mathematical Literature, 1975. 512 p. (in Russian).Перов, А. И. Об одном обобщении теоремы Ролля / А. И. Перов // Тр. семинара по функцион. анализу. – Воронеж: Воронеж. ун-т, 1958. – Вып. 6. – С. 94–98.Perov A. I. On a generalization of Rolle's theorem. Trudy seminara po funktsional'nomu analizu [Proceedings of the Seminar on Functional Analysis]. Voronezh, Voronezh University, 1958, no. 6, pp. 94–98 (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.