vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2018-54-4-391-403vestifm-345Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSКлассическое решение смешанной задачи для уравнения типа Клейна – Гордона – Фока в полуполосе с косыми производными в граничных условияхClassical solution of the mixed problem for the Klein – Gordon – Fock type equation in the half-strip with curve derivatives at boundary conditionsКорзюкВ. И.KorzyukV. I.

академик, профессор, доктор физико-математических наук

Academician, D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor

korzyuk@bsu.byhttps://orcid.org/0000-0001-6839-7997СтолярчукИ. И.StolyarchukI. I.

соискатель

Postgraduate Student

ivan.telkontar@gmail.comИнститут математики Национальной академии наук Беларуси; Белорусский государственный университетInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus; Belarusian State UniversityБелорусский государственный университетBelarusian State University201809012019544391403Copyright © Корзюк В.И., Столярчук И.И., 20192019Корзюк В.И., Столярчук И.И.Korzyuk V.I., Stolyarchuk I.I.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/345

Рассматривается смешанная задача для уравнения типа Клейна – Гордона – Фока в полуполосе с первыми косыми производными в граничных условиях. При решении указанной задачи с помощью метода характеристик возникают эквивалентные интегральные уравнения Вольтерры второго рода. Для полученных интегральных уравнений доказано существование единственного решения в классе дважды непрерывно дифференцируемых функций при заданной гладкости исходных данных. Показывается, что для гладкости решения поставленной задачи необходимо и достаточно выполнения условий согласования заданных функций при их достаточной гладкости. Метод характеристик сводится к разбиению всей области решения на подобласти, в каждой из которых строятся решения подзадач с использованием начальных и граничных условий. Полученные решения затем склеиваются в общих точках, порождая условия склейки, которые и являются условиями согласования. В настоящей работе рассматривается случай, когда направления производных в граничных условиях не совпадают с характеристическими направлениями. Данный подход позволяет строить как точные решения, так и приближенные. Точные решения могут быть найдены в том случае, если удастся разрешить эквивалентные интегральные уравнения Вольтерры. В противном случае можно найти приближенное решение задачи либо в аналитическом, либо в численном виде. Наряду с этим при построении приближенного решения существенными оказываются условия согласования, которые необходимо учитывать при использовании численных методов решения задачи.

The mixed problem for the one-dimensional Klein – Gordon – Fock type equation with curve derivatives at boundary conditions is considered in the half-strip. The solution of this problem is reduced to solving the second-type Volterra integral equations. Theorems of existence and uniqueness of the solution in the class of twice continuously differentiable functions were proven for these equations when initial functions are smooth enough. It is proven that the fulfillment of the matching conditions on the given functions is necessary and sufficient for the existence of the unique smooth solution when initial functions are smooth enough. The method of characteristics is used for the problem analysis. This method is reduced to splitting the original area of definition to the subdomains. The solution of the subproblem can be constructed in each subdomain with the help of the initial and boundary conditions. Then, the obtained solutions are glued in common points, and the obtained glued conditions are the matching conditions. This approach can be used in constructing as an analytical solution when a solution of the integral equation can be found in an explicit way, so an approximate solution. Moreover, approximate solutions can be constructed in numerical or analytical form. When a numerical solution is built, the matching conditions are essential and they need to be considered while developing numerical methods.

уравнение Клейна – Гордона – Фокаметод характеристиккосые производныеклассическое решениесмешанная задачаусловия согласованияKlein – Gordon – Fock equationcharacteristics methodcurve derivativesclassical solutionmixed problemmatching conditionsReferencesБоголюбов, Н. Н. Квантовые поля / Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков. – 3-е изд., доп. – М., ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 384 с.Bogolyubov N. N., Shirkov D. V. The Quantum Fields. Moscow, Fizmatlit Publ., 2005. 384 p. (in Russian).Иваненко, Д. Д. Классическая теория поля (новые проблемы) / Д. Д. Иваненко, А. А. Соколов. – 2-е изд. – М.; Л.: Гостехтеоретиздат, 1951. – 479 с.Ivanenko D. D., Sokolov A. A. Classical Field Theory (New Problems). Moscow, Leningrad, Gostekhteoretizdat Publ., 1951. 479 p. (in Russian).Барановская, С. Н. Смешанная задача для уравнения колебания струны с зависящей от времени косой производной в краевом условии / С. Н. Барановская, Н. И. Юрчук // Дифференц. уравнения. – 2009. – Т. 45, № 8. – С. 1188–1191.Baranovskaya S. N., Yurchuk N. I. Mixed problem for the string vibration equation with a time-dependent oblique derivative in the boundary condition. Differential Equations, 2009, vol. 45, no. 8, pp. 1212–1215. https://doi.org/10.1134/ s0012266109080126Новиков, Е. Н. Необходимые и достаточные условия колебаний ограниченной струны при косых производных в граничных условиях / Ф. Е. Ломовцев, Е. Н. Новиков // Дифференц. уравнения. – 2014. – Т. 50, № 1. – С. 126–129.Lomovtsev F. E., Novikov E. N. Necessary and sufficient conditions for the vibrations of a bounded string with directional derivatives in the boundary conditions. Differential Equations, 2014, vol. 50, no. 1, pp. 128–131. https://doi.org/10.1134/ S0374064114010178Корзюк, В. И. Классическое решение смешанной задачи для волнового уравнения с интегральным условием / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2016. – Т. 6, № 60. – С. 22–27.Korzyuk V. I., Stolyarchuk I. I. Classical solution to the mixed problem for the wave equation with the integral condition. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2016, vol. 60, no. 6, pp. 22–27 (in Russian).Корзюк, В. И. Первая смешанная задача для уравнения Клейна – Гордона – Фока в полуполосе / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Дифференц. уравнения. – 2014. – Т. 50, № 8. – С. 1105–1117.Korzyuk V. I., Stolyarchuk I. I. Classical solution of the first mixed problem for the Klein-Gordon-Fock equation in a half-strip. Differential Equations, 2014, vol. 50, no. 8, pp. 1098–1111. https://doi.org/10.1134/S0374064114080081Михлин, С. Г. Курс математической физики / С. Г. Михлин. – 2-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2002. – 575 с.Mikhlin S. G. Course of Mathematical Physics. 2nd ed. Saint Petersburg, Lan’ Pybl., 2002. 575 p. (in Russian).Корзюк, В. И. Классическое решение смешанной задачи для уравнения Клейна – Гордона – Фока с нелокальными условиями / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2017. – Т. 61, № 6. – С. 20–27.Korzyuk V. I., Stolyarchuk I. I. Classical solution to the mixed problem for the Klein-Gordon-Fock equation with the unlocal conditions. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2017, vol. 61, no. 6, pp. 20–27 (in Russian).Корзюк, В. И. Классическое решение смешанной задачи для уравнения Клейна – Гордона – Фока с нелокальными условиями / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Тр. Ин-та математики. – 2018. – Т. 26, № 1. – С. 56–72.Korzyuk V. I., Stolyarchuk I. I. Classical solution to the mixed problem for the Klein – Gordon – Fock equation with the unlocal conditions. Trudy Instituta matematiki = Proceedings of the Institute of Mathematics, 2018. vol. 26, no. 1, pp. 56–72 (in Russian).Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям: пер. с нем. / Э. Камке. – 6-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2003. – 576 с.Kamke E. Gewöhnliche Differentialgleichungen. St. Petersburg, Lan’ Publ., 2003, 589 p. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.