vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2018-54-4-441-453vestifm-351Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSАнализ G-сети с ненадежными линиями обслуживанияAnalysis of G-network with unreliable service systemsКопатьД. Я.KopatsD. Ya.

аспирант

Postgraduate Student

dk80395@mail.ruМаталыцкийМ. А.MatalytskiM. A.

доктор физикоматематических наук, профессор, профессор кафедры фундаментальной и прикладной математики факультета математики и информатики

D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Professor of the Department of Fundamental and Applied Mathematics, Faculty of Mathematics and Computer Science

m.matalytski@gmail.comГродненский государственный университет им. Я. Купалы, ГродноБеларусьYanka Kupala State University of Grodno, GrodnoBelarus201811012019544441453Copyright © Копать Д.Я., Маталыцкий М.А., 20192019Копать Д.Я., Маталыцкий М.А.Kopats D.Y., Matalytski M.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/351

В настоящей статье объектом исследования является марковская сеть с положительными и отрицательными заявками и ненадежными линиями обслуживания с однолинейными системами массового обслуживания (СМО). Дисциплины обслуживания заявок в системах – FIFO («первым пришел – первым обслуживается») и время обслуживания заявок в каждой линии СМО сети распределены по экспоненциальному закону со своими параметрами для каждой СМО. Линии обслуживания в каждой СМО подвержены случайным поломкам, при этом время их исправной работы имеет показательное распределение с различными для каждой СМО параметрами. После поломки линия немедленно начинает восстанавливаться, и время восстановления также имеет показательное распределение, параметры которого различны для каждой СМО. Целью исследования является нахождение нестационарных вероятностей состояний сети. Для этого предложен модифицированный метод последовательных приближений, совмещенный с методом рядов, что позволяет снять условие высокой нагрузки. Доказаны свойства последовательных приближений. На основании полученных данных с помощью компьютера рассчитан модельный пример, который иллюстрирует нахождение зависящих от времени вероятностей состояний сети. Полученные результаты могут быть применены при моделировании различных информационных систем и сетей.

In this paper, the object of research is Markov’s network with positive and negative customers and unreliable service lines with single-line queuing systems (QS). The discipline of service of customers in the systems – FIFO (“first come first served”) and the service time of customers in each line of the QS network are distributed according to the exponential law with their parameters for each QS. The service lines in each QS are defeated by accidental breakdowns, and the time of correct operation of the service line in each SMO has an exponential distribution, with different parameters for each QS. After the breakdown, the line immediately begins to recover, and the recovery time also has an exponential distribution, the parameters of which are different for each QS. The aim of the study is to find the non-stationary probabilities of network states. To find them, a modified method of successive approximations combined with the method of series is proposed. This method allows one to remove the condition of high load. The properties of successive approximations are proved. On the basis of the obtained data, using a computer, a model example illustrating the finding of the time-dependent probabilities of network states is calculated. The results of this work can be applied to the modeling of various information systems and networks.

марковская сетьненадежные СМОнестационарный режимнестационарные верятности состоянийMarkov networkunreliable QSnon-stationary regimenon-stationary probability of statesReferencesGelenbe, E. Product-form queueing networks with negative and positive customers / E. Gelenbe // J. Appli. Probability. – 1991. – Vol. 28, №. 3. – P. 656–663. https://doi.org/10.2307/3214499Gelenbe E. Product-form queueing networks with negative and positive customers. Journal of Applied Probability, 1991, vol. 28, no. 1, pp. 656–663. https://doi.org/10.2307/3214499Маталыцкий, М. А. Стохастические сети с ограниченным временем ожидания заявок и ненадежным обслуживанием: монография / М. А. Маталыцкий, С. Э. Статкевич. – Гродно: ГрГУ, 2014. – 248 с.Matalytski M. A., Statkevich S. E. Stochasic Networks with Limited Waiting Times for Customers and Unreliable Services. Grodno, State University of Grodno, 2014. 248 p. (in Russian).Статкевич, С. Э. Исследование сети массового обслуживания с ненадежными системами в переходном режиме / С. Э. Статкевич, М. А. Маталыцкий // Вестн. Том. гос. ун-та. Сер. управление, вычисл. техника и информатика. – 2012. – № 1. – С. 112–125.Statkevich S. E., Matalytski M. A. Investigation queueing network with unreliable systems in transient mode. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya upravlenie, vychislitel’naya tekhnika i informatika = Vesnik of Tomsk State Univercity, Series Management, Computer Technology and Informatics, 2012, no. 1, pp. 112–125 (in Russian).Matałycki, M. Analiza asymptotyczna wykładniczej sieci zawodnych systemów kolejkowych / M. Matałycki, S. Statkiewicz // Studia Informatica. – 2012. – Vol. 33, № 3-А. – P. 29−36.Matalytski M., Statkiewicz S. Asimptotic analysis of open network unreliable systems in transient mode. Studia Informatica, 2012, vol. 33, no. 3-А, pp. 29−36.Маталыцкий, М. А. Исследование марковских HM-сетей с разнотипными заявками многих классов методом последовательных приближений, совмещенным с методом рядов / М. А. Маталыцкий // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2008. – № 4. – С. 113–119.Matalyski M. Investigation of Markov HM-network with with multi-type applications of many classes by the method of successive approximations, combined with the method of series Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2008, no. 4, pp. 113–119 (in Russian).Косарева, Е. В. О нахождении доходов в HM-сетях с ограниченным временем ожидания заявок методом последовательных приближений, совмещенным с методом рядов / Е. В. Косарева, М. А. Маталыцкий, К. В. Розов // Весн. Гродз. дзярж. ун-та імя Янкі Купалы. Сер. 2, Матэматыка. Фізіка. Інфарматыка, выліч. тэхніка і ўпраўленне. – 2012. – № 3. – С. 125–130.Kosareva E. V., Matalytski M. A. On finding incomes in HM-networks with a limited waiting time of applications using the method of successive approximations, combined with the method of series. Vesnіk Grodzenskaga dzyarzhaўnaga ўnіversіteta іmya Yankі Kupaly. Seryya 2. Matematyka. Fіzіka. Іnfarmatyka, vylіchal’naya tekhnіka і ўpraўlenne = Vesnik of Yanka Kupala State University of Grodno. Series 2. Mathematics. Physics. Informatics, Сomputer Technology and its Сontro, 2012, no. 3, pp. 125–130 (in Russian).Науменко, В. В. Исследование в переходном режиме сети со случайным временем ожидания положительных и отрицательных заявок / В. В. Науменко, Д. Я. Копать, М. А. Маталыцкий // Весн. Гродз. дзярж. ун-та імя Янкі Купалы. Сер. 2, Матэматыка. Фізіка. Інфарматыка, выліч. тэхніка і ўпраўленне.  2017.  Т. 7, № 1.  С. 154–163.Naumenko V. V., Kopats D. Ya., Matalytsky M. A. Research in the transient mode of the network with a random waiting time for positive and negative applications. Vesnіk Grodzenskaga dzyarzhaўnaga ўnіversіteta іmya Yankі Kupaly. Seryya 2. Matematyka. Fіzіka. Іnfarmatyka, vylіchal’naya tekhnіka і ўpraўlenne = Vesnik of Yanka Kupala State University of Grodno. Series 2. Mathematics. Physics. Informatics, Сomputer Technology and its Сontro, 2017, vol. 7, no. 1, pp. 154–163 (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.