vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2018-54-4-454-459vestifm-352Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSРазностные схемы и итерационные методы для многомерных эллиптических уравнений со смешанными производнымиFinite-difference schemes and iterative methods for multidimensional elliptic equations with mixed derivativesВолковВ. М.VolkovV. M.

доктор физико-математических наук, профессор

D. Sc. (Physics and Mathematics), Professor

v.volkov@tut.byПроконинаЕ. В.PrakoninaA. U.

старший преподаватель

Senior Lecturer

helen.prokonina@mail.ruБелорусский государственный университет, МинскBelarusian State University201811012019544454459Copyright © Волков В.М., Проконина Е.В., 20192019Волков В.М., Проконина Е.В.Volkov V.M., Prakonina A.U.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/352

Рассмотрены разностные схемы и итерационные методы для решения задач анизотропной диффузии, описываемых многомерными эллиптическими уравнениями со смешанными производными. На примере модельной двумерной задачи с разрывными коэффициентами показано, что спектральные свойства разностной задачи и эффективность ее переобусловливания при итерационной реализации зависят от способа аппроксимации смешанных производных. На основе сравнительного численного анализа выявлена наиболее адекватная схема аппроксимации смешанных производных, обеспечивающая максимальную скорость сходимости итерационного метода би-сопряженных градиентов с переобусловливателями Фурье – Якоби и неполной LU-факторизации. Показано, что свойство монотонности разностной схемы не гарантирует ее преимущество при итерационной реализации. Более того, в условиях сильной анизотропии не удается обеспечить выполнение сеточного принципа максимума.

Finite difference schemes and iterative methods of solving anisotropic diffusion problems governing multidimensional elliptic PDE with mixed derivatives are considered. By the example of the test problem with discontinuous coefficients, it is shown that the spectral characteristics of the finite difference problem and the efficiency of their preconditioning depend on the mixed derivatives approximation method. On the basis of the comparative numerical analysis, the most adequate approximation formulas for the mixed derivatives providing a maximum convergence rate of the bi-conjugate gradients method with the incomplete LU factorization and the Fourier – Jacobi preconditioners are discovered. It is shown that the monotonicity of the finite difference scheme does not guarantee advantages at their iterative implementation. Moreover, the grid maximum principle is not provided under the conditions of essential anisotropy.

разностные схемыэллиптические уравнениясмешанные производныеитерационные методысеточный принцип максимумаfinite difference schemeselliptic equationsmixed derivativesiterative methodsgrid maximum principleReferencesТихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. – М.: Наука, 1977. – 735 c.Tikhonov A. N., Samarskii A. A. Equations of Mathematical Physics. Moscow, Nauka Publ., 1977. 735 p. (in Russian).Самарский, A. A. Теория разностных схем / А. А. Самарский. – М.: Наука, 1989. – 432 c.Samarskii A. A. The Theory of Finite Difference Schemes. Moscow, Nauka Publ., 1989. 432 p. (in Russian).Ciarlet, P. G. The Finite Element Method for Elliptic Problems / P. G. Giarlet. – SIAM, 2002. – 530 р. https://doi.org/10.1137/1.9780898719208Ciarlet P. G. The Finite Element Method for Elliptic Problems. SIAM, 2002. 530 p. https://doi.org/10.1137/1.9780898719208Шишкин, Г. И. Аппроксимация решений сингулярно возмущенных краевых задач с параболическим пограничным слоем // Журн. вычисл. математики и мат. физики. – 1989. – Т. 29, №. 7. – С. 963–977.Shishkin G. I. Approximation of the solutions of singularly perturbed boundary-value problems with a parabolic boundary layer. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1989, vol. 29, no. 4, pp. 1–10. https://doi.org/10.1016/0041-5553(89)90109-2Монотонные разностные схемы для уравнений со смешанными производными / А. А. Самарский [и др.]. // Мат. моделирование. – 2001. – Т. 13, № 2.– С. 17–26.Samarskii A. A., Mazhukin V. I., Matus P. P., Shishkin G. I. Monotone difference schemes for equations with mixed derivative. Computers and Mathematics with Applications, vol. 44, no. 3–4, pp. 501–510. https://doi.org/10.1016/s0898-1221(02)00164-5Rybak, I. V. Monotone and conservative difference schemes for elliptic equations with mixed derivatives // I. V. Rybak // Mathematical Modelling and Analysis. – 2004. – Vol. 9, №. 2. – P. 169–178.Rybak I. V. Monotone and conservative difference schemes for elliptic equations with mixed derivatives. Mathematical Modelling and Analysis, 2004, vol. 9, no. 2, pp. 169–178.3D Finite-Difference BiCG Iterative Solver with the Fourier-Jacobi Preconditioner for the Anisotropic EIT/EEG Forward Problem / S. Turovets [et al.] // Comput. Math. Methods in Medicine. – 2014. – Vol. 2014. – P. 1–12. https://doi.org/10.1155/ 2014/426902Turovets S., Volkov V., Zherdetsky A., Prakonina A., Malony A. D. 3D Finite-Difference BiCG Iterative Solver with the Fourier-Jacobi Preconditioner for the Anisotropic EIT/EEG Forward Problem. Computational and Mathematical Methods in Medicine, 2014, vol. 2014, pp. 1–12. https://doi.org/10.1155/2014/426902Templates for the solution of linear systems: building blocks for iterative methods / R. Barrett [et al.]. – SIAM, 1994. https://doi.org/10.1137/1.9781611971538.ch2Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods. SIAM, 1994. https://doi.org/10.1137/1.9781611971538.ch2Мартыненко, С. И. Универсальная многосеточная технология для численного решения дифференциальных уравнений в частных производных на структурированных сетках / С. И. Мартыненко // Вычисл. методы и программирование. – 2000. – Т. 1, №. 1. – С. 83–102.Martynenko S. I. Robust multigrid technique for solving partial differential equations on structured grids. Vychislitel’nye metody i programmirovanie = Numerical Methods and Programming, 2000, vol. 1, no. 1, pp. 83–100. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.