vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2018-54-4-468-479vestifm-354Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSПреобразование Маркова – Стилтьеса мер и некоторые его приложенияMarkov – Stieltjes transformation of measures and some of its applicationsКовалёваИ. С.KovalyovaI. S.

аспирант

Postgraduate Student

isida89@list.ruГомельский государственный университет им. Ф. Скорины, ГомельFrancisk Scorina Gomel State University, Gomel201811012019544468479Copyright © Ковалёва И.С., 20192019Ковалёва И.С.Kovalyova I.S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/354

В предшествующих работах А. Р. Миротина и автора статьи исследовались свойства преобразования Маркова – Стилтьеса функций в пространствах Харди и Лебега. Данная работа посвящена изучению преобразования Маркова – Стилтьеса мер c точки зрения теории функций и теории интегральных преобразований. Доказана голоморфность данного преобразования в комплексной области с разрезом вдоль луча [1,+∞), теорема единственности. Установлены необходимые и достаточные условия, при которых функции могут быть представлены в виде преобразований Маркова – Стилтьеса положительных и знакопеременных мер. Доказаны формула обращения и теорема непрерывности. Исследованы предельные значения преобразования Маркова – Стилтьеса мер на границе области, в частности, установлены аналоги формул Сохоцкого – Племеля. Кроме того, изучаются граничные значения преобразования Маркова – Стилтьеса меры μ, точнее, как эти граничные значения отражают свойства меры μ. Указаны приложения полученных результатов к теории самосопряженных операторов: получен ряд утверждений о граничном поведении резольвенты без использования спектральной теоремы. Установленные результаты могут также найти применение в теории обработки сигналов.

The paper is devoted to the study of the properties of the Markov – Stieltjes transformation of measures. In the works of J. Anderson, A. A. Pekarsky, N. S. Vyacheslavov, E. P. Mochalina et al., the functions of Markov – Stieltjes type were studied from the point of view of the approximation theory. In the works of A.R. Mirotin and the author, the Markov – Stieltjes transform of functions was studied as an operator in Hardy and Lebesgue spaces. In this paper, the general properties of the Markov – Stieltjes transform of measures are studied, the theorem of analyticity and the uniqueness theorem are proved, the Markov – Stieltjes transformations of positive and complex measures are described, the inversion formula and the continuity theorem are established, the boundary behavior of the given transformation is investigated. In particular, the analogues of the Sokhotsky – Plemelya formulas are established. Applications to the theory of self-conjugate operators are given. In addition, the results obtained can find use in the theory of functions and integral operators, as well as in the theory of information transfer, in particular, in the theory of signal processing.

интегральное преобразованиефункция Маркова – Стилтьесамераформула обращениятеорема непрерывностиграничное поведениесамосопрженный операторintegral transformMarkov – Stieltjes functionmeasureinversion formulacontinuity theoremboundary behaviorself-conjugate operatorReferencesМиротин, А. Р. Гармонический анализ на абелевых полугруппах / А. Р. Миротин. – Гомель: ГГУ им. Ф. Скорины, 2008. – 207 с.Mirotin A. R. Harmonic Analysis on Abelian Semigroups. Gomel, Gomel State University, 2008. 207 p. (in Russian).King, F. W. Hilbert transforms: in 2 vol. / F. W. King. – Cambridge University Press, 2009. – Vol. 1. – 858 p. https://doi. org/10.1017/CBO9780511721458King F. W. Hilbert Transforms. Vol. 1. Cambridge University Press, 2009. 858 p. https://doi.org/10.1017/CBO9780511721458Прудников, А. П. Интегралы и ряды: в 3 т. / А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев. – 2-е изд., испр. – М.: Физматлит, 2002. – Т. 1: Элементарные функции. – 632 с.Prudnikov A. P., Brychkov Yu. A., Marichev O. I. Integrals and Series. Vol. 1: Elementary functions. Moscow, Fizmatlit Publ., 2002. 632 p. (in Russian).Widder, D. V. The Laplace transform / D. V. Widder. – N. J.: Princeton Univ. Press, 1946. – 425 p. https://doi.org/10.1515/9781400876457Widder D. V. The Laplace transform. N. J., Princeton Univ. Press, 1946. 425 p. https://doi.org/10.1515/9781400876457Крейн, М. Г. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи / М. Г. Крейн, А. А. Нудельман. – М.: Наука, 1973. – 552 с.Kreyn M. G., Nudel’man A. A. Markov Moments Problem and Extremal Problems. Moscow, Nauka Publ., 1973. 552 p. (in Russian).Jaksic, V. Topics in spectral theory / V. Jaksic // Lecture Notes in Mathematics. Open Quantum Systems I. The Hamiltonian Approach. – 2006. – Vol. 1880. – P. 235–312. https://doi.org/10.1007/3-540-33922-1_6Jaksic V. Topics in spectral theory. Lecture Notes in Mathematics. Open Quantum Systems I. The Hamiltonian Approach, 2006, vol. 1880, pp. 235–312. https://doi.org/10.1007/3-540-33922-1_6Дынькин, Е. М. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики / Е. М. Дынькин, С. В. Кисляков, В. П. Хавин. – М.: ВИНИТИ, 1987. – Т. 15: Коммутативный гармонический анализ-1. – 304 с.Dyn’kin Ye. M., Kislyakov S. V., Khavin V. P. The Results of Science and Technology. Modern Problems of Mathematics. Vol. 15: Commutative harmonic analysis1. Moscow, All-Russian Institute of Scientific and Technical Information, 1987. 304 p. (in Russian).Кусис, П. Введение в теорию пространства HP / П. Кусис; под ред. В. П. Хавина. – М.: Мир, 1984. – 368 с.Koosis P. Introduction to the HP Space. Cambridge University Press, 1998. 290 p. https://doi.org/10.1017/cbo9780511470950.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.