vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2019-55-1-7-21vestifm-362Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSКлассическое решение смешанной задачи для уравнения типа Клейна – Гордона – Фока с характеристическими косыми производными в граничных условияхClassical solution of the mixed problem for the Klein – Gordon – Fock type equation with characteristic oblique derivatives at boundary conditionsКорзюкВ. И.KorzyukV. I.

Академик, профессор, доктор физико-математических наук.

ул. Сурганова, 11, 220072, г. Минск; пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск.  

Academician, Professor, Dr. Sc. (Physics and Mathematics).

11, Surganov Str., 220072, Minsk; 4, Nezavisimosti Ave., 220030, Minsk.

korzyuk@bsu.byhttps://orcid.org/0000-0001-6839-7997СтолярчукИ. И.StolyarchukI. I.

Соискатель.

пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск.  

Postgraduate Student.

4, Nezavisimosti Ave., 220030, Minsk.

 

ivan.telkontar@gmail.comИнститут математики Национальной академии наук Беларуси; Белорусский государственный университет.Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus; Belarusian State University.Белорусский государственный университет.Belarusian State University.201925032019551721Copyright © Корзюк В.И., Столярчук И.И., 20192019Корзюк В.И., Столярчук И.И.Korzyuk V.I., Stolyarchuk I.I.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/362

Рассматривается смешанная задача для уравнения типа Клейна – Гордона – Фока в полуполосе с первыми косыми производными в граничных условиях. При ее решении с помощью метода характеристик возникают эквивалентные интегральные уравнения Вольтерры второго рода. Для полученных интегральных уравнений доказано существование единственного решения в классе дважды непрерывно дифференцируемых функций при заданной гладкости начальных данных. Также показано, что для гладкости решения исходной задачи необходимо и достаточно выполнения условий согласования заданных функций при их достаточной гладкости. Метод характеристик сводится к разбиению всей области решения на подобласти, в каждой из которых строятся решения подзадач с использованием начальных и граничных условий. Полученные решения затем склеиваются в общих точках, порождая условия склейки, которые и являются условиями согласования. Для случая, когда направления косых производных в граничных условиях совпадают с характеристическими направлениями, доказывается усиление требований на гладкость заданных функций. Данный подход позволяет строить как точные, так и приближенные решения. Точные решения могут быть найдены тогда, когда удается разрешить эквивалентные интегральные уравнения Вольтерры. В противном случае можно найти приближенное решение задачи либо в аналитическом, либо в численном виде. При этом при построении приближенного решения существенными оказываются условия согласования, которые необходимо учитывать при использовании численных методов решения задачи.

The mixed problem for the one-dimensional Klein – Gordon – Fock type equation with oblique derivatives at boundary conditions in the half-strip is considered. The solution of this problem is reduced to solving the second-type Volterra integral equations. Theorems of existence and uniqueness of the solution in the class of twice continuously differentiable func tions were proven for these equations when initial functions are smooth enough. It is proven that fulfilling the matching conditions on the given functions is necessary and sufficient for existence of the unique smooth solution, when initial functions are smooth enough. The method of characteristics is used for the problem analysis. This method is reduced to splitting the ori ginal definition area into subdomains. The solution of the subproblem can be constructed in each subdomain with the help of the initial and boundary conditions. The obtained solutions are then glued in common points, and the obtained glued сonditions are the matching conditions. Intensification of smoothness requirements for source functions is proven when the di rections of the oblique derivatives at boundary conditions are matched with the directions of the characteristics. This approach can be used in constructing both the analytical solution, when the solution of the integral equation can be found explicitly, and the approximate solution. Moreover, approximate solutions can be constructed in numerical and analytical form. When a numerical solution is constructed, the matching conditions are significant and need to be considered while developing numerical methods.

уравнение Клейна – Гордона – Фокаметод характеристиккосые производныеклассическое решениесмешанная задачаусловия согласованияKlein – Gordon – Fock type equationmethod of characteristicsoblique derivativesclassical solutionmixed problemmatching conditionsReferencesБоголюбов, Н. Н. Квантовые поля / Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков. – 3-е изд., доп. – М., ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 384 с.Ivanenko D. D., Sokolov A. A. Classical Field Theory (New Problems). Moscow, Leningrad, Gostekhteoretizdat Publ., 1951. 479 p. (in Russian).Иваненко, Д. Д. Классическая теория поля (новые проблемы) / Д. Д. Иваненко, А. А. Соколов. – 2-е изд. – М.; Л.: Гостехтеоретиздат, 1951. – 479 с.Baranovskaya S. N., Yurchuk N. I. Mixed problem for the string vibration equation with a time-dependent oblique derivative in the boundary condition. Differential Equations, 2009, vol. 45, no. 8, pp. 1212–1215. https://doi.org/10.1134/s0012266109080126Барановская, С. Н. Смешанная задача для уравнения колебания струны с зависящей от времени косой производной в краевом условии / С. Н. Барановская, Н. И. Юрчук // Дифференц. уравнения. – 2009. – Т. 45, № 8. – С. 1188–1191.Lomovtsev F. E., Novikov E. N. Necessary and sufficient conditions for the vibrations of a bounded string with directional derivatives in the boundary conditions. Differential Equations, 2014, vol. 50, no. 1, pp. 128–131. https://doi.org/10.1134/S0374064114010178Новиков, Е. Н. Необходимые и достаточные условия колебаний ограниченной струны при косых производных в граничных условиях / Ф. Е. Ломовцев, Е. Н. Новиков // Дифференц. уравнения. – 2014. – Т. 50, № 1. – С. 126–129.Korzyuk V. I., Stolyarchuk I. I. Classical solution to the mixed problem for the wave equation with the integral condition. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2016, vol. 60, no. 6, pp. 22–27 (in Russian).Корзюк, В. И. Классическое решение смешанной задачи для волнового уравнения с интегральным условием / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2016. – Т. 6, № 60. – С. 22–27.Korzyuk V. I., Stolyarchuk I. I. Classical solution of the first mixed problem for the Klein-Gordon-Fock equation in a half-strip. Differential Equations, 2014, vol. 50, no. 8, pp. 1098–1111. https://doi.org/10.1134/S0374064114080081Корзюк, В. И. Первая смешанная задача для уравнения Клейна – Гордона – Фока в полуполосе / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Дифференц. уравнения. – 2014. – Т. 50, № 8. – С. 1105–1117.Korzyuk V. I., Stolyarchuk I. I. Classical solution of the mixed problem for the Klein – Gordon – Fock type equation in the half-strip with curve derivatives at boundary conditions. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2018, vol. 54, no. 4, pp. 391–403 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2018-54-4-391-403Корзюк, В. И. Классическое решение смешанной задачи для уравнения Клейна – Гордона – Фока в полуполосе с косыми производными в граничных условиях / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Весц. Нац. акад. навук Беларуci. Сер. фiз.-мат. навук — 2018. – Т. 54, № 4. – С. 391–403. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2018-54-4-391-403Mikhlin S. G. Course of Mathematical Physics. 2nd ed. Saint Petersburg, Lan' Pybl., 2002. 575 p. (in Russian).Михлин, С. Г. Курс математической физики / С. Г. Михлин. – 2-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2002. – 575 с.Korzyuk V. I., Stolyarchuk I. I. Classical solution to the mixed problem for the Klein-Gordon-Fock equation with the unlocal conditions. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2017, vol. 61, no. 6, pp. 20–27 (in Russian).Корзюк, В. И. Классическое решение смешанной задачи для уравнения Клейна – Гордона – Фока с нелокальными условиями / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2017. – Т. 61, № 6. – С. 20–27.Korzyuk V. I., Stolyarchuk I. I. Classical solution to the mixed problem for the Klein-Gordon-Fock equation with the unlocal conditions. Trudy Instituta matematiki = Proceedings of the Institute of Mathematics, 2018. vol. 26, no. 1, pp. 56–72 (in Russian).Корзюк, В. И. Классическое решение смешанной задачи для уравнения Клейна – Гордона – Фока с нелокальными условиями / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Тр. Ин-та математики. – 2018. – Т. 26, № 1. – С. 56–72.Корзюк, В. И. Классическое решение смешанной задачи для уравнения Клейна – Гордона – Фока с нелокальными условиями / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Тр. Ин-та математики. – 2018. – Т. 26, № 1. – С. 56–72.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.