vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2019-55-1-22-31vestifm-363Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSОб индексе Пуанкаре плоских полиномиальных полей третьей и четвертой степениPoincaré index of plane polynomial fields of third and fourth degreeЗабрейкоП. П.ZabreikoP. P.

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры функционального ана лиза и аналитической экономики механико-математического факультета.

пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск.

 Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor of the Department of Functional Analysis and Analytical Economics, Faculty of Physics and the Faculty of Mathematics.

4, Nezavisimosti Ave., 220030, Minsk.

zabreiko@mail.ruКривко-КраськоА. В.Krivko-KraskoA. V.

Кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры инновационного управления, Институт бизнеса.

 ул. Московская, 5, 220007, г. Минск.

Ph. D. (Physics and Mathematics), Assistant Professor, Assistant Professor of the Department of Innovation Management, School of Business.

 

sbmt@mail.ruБелорусский государственный университет.Belarusian State University.2019250320195512231Copyright © Забрейко П.П., Кривко-Красько А.В., 20192019Забрейко П.П., Кривко-Красько А.В.Zabreiko P.P., Krivko-Krasko A.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/363

Выписываются условия изолированности нулевой особой точки плоских полиномиальных полей третьей и четвертой степени через коэффициенты компонент этих полей. Как оказалось, данные условия существенно зависят от наибольшего общего делителя компонент плоских полиномиальных полей: в некоторых случаях только от его степени, а в некоторых – дополнительно от наличия у него ненулевых вещественных нулей. Соот вет ствующие рассуждения строятся на понятии результанта и субрезультантов компонент поля. В случае изолированности особой точки для ее индекса предлагаются достаточно простые формулы через субрезультанты и коэффициенты компонент.

The conditions of isolation of a zero singular point of plane polynomial fields of third and fourth degree are considered in terms of the coefficients of the components of these fields. The isolation conditions depend on the greatest common divisor of the components of polynomial fields: in some cases only on its degree, and in some cases, additionally, on the presence of nonzero real zeros. The reasoning, which allows one to write out the isolation conditions, is based on the concept of the resultant and subresultants of components of plane polynomial fields. If the zero singular point is isolated, its index is calculated through the values of subresultants and coefficients of components.

индекс Пуанкаре особой точкирезультантсубрезультантынаибольший общий делительизолированные особые точкиsingular point indexPoincaré indexresultantsubresultantgreatest common divisorisolated singular pointReferencesВекторные поля на плоскости / М. А. Красносельский [и др.]. – М.: Физматгиз, 1963. – 245 с.Krasnoselskii M. A., Perov A. I., Povolockii A. I., Zabreiko P. P. Plane Vector Fields. Moscow, State Publishing House of Physical and Mathematical Literature, 1963. 245 p. (in Russian).Сенчакова, Н. В. О вычислении индекса Пуанкаре нулевой особой точки векторных полей с однородными компонентами / Н. В. Сенчакова // Вестн. Ярослав. ун-та. – 1975. – Вып. 12. – С. 103–124.Senchakova N. V. On Poincaré index calculation of zero singular point fo vector fields with homogeneous components. Vestnik Yaroslavskogo Universiteta [Bulletin of Yaroslavl University], 1975, no. 12, pp. 38–45 (in Russian).Бохер, М. Введение в высшую алгебру / М. Бохер. – М.: Л.: ОНТИ, 1933. – 291 с.Bocher М. Introduction to Higher Algebra. New York, Macmillan Co., 1907.Черевичный, П. Т. Формулы для вычисления индекса особой точки уравнения y′ = P3(x,y)/Q3(x,y) по коэффициентам / П. Т. Черевичный // Дифференц. уравнения. – 1970. – Т. 6, № 7. – С. 1318–1319.Cherevichnyi P. T. Formulas for calculating index of singular point for the equation y′ = P3(x,y)/Q3(x,y) with its coefficients. Differentsial'nye uravneniya = Differential Equations, 1970, vol. 6, no 7, pp. 1318–1319 (in Russian).Черевичный, П. Т. Три теоремы об индексе Пуанкаре для уравнения y′ = P4(x,y)/Q4(x,y) / П. Т. Черевичный // Дифференц. уравнения. – 1973. – Т. 9, № 4. – С. 778–779.Cherevichnyi P. T. Three theorems about the Poincaré index for the equation y′ = P4(x,y)/Q4(x,y). Differentsial'nye uravneniya = Differential Equations, 1973, vol. 9, no 4, pp. 778–779 (in Russian).Красносельский, М. А. Геометрические методы нелинейного анализа / М. А. Красносельский, П. П. Забрейко. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1975. – 512 с.Krasnoselskii M. A., Zabreiko P. P. Geometrical Methods of Nonlinear Analysis. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1984.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.