vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2019-55-1-50-61vestifm-365Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSО разрешимости и построении решения задачи Валле – Пуссена для матричного уравнения Ляпунова второго порядка с параметромSolvability and construction of solution to the de la Vallee – Poussin problem for the second-order matrix Lyapunov equation with a parameterКашпарА. И.KashparA. I.

Помощник ректора.

пр. Мира, 43, 212000, г. Могилев.

Assistant Rector.

43, Mira Ave., 212000, Mogilev.

alex.kashpar@tut.byЛаптинскийВ. Н.LaptinskiyV. N.

Доктор физико- математических наук, профессор, главный научный сотрудник.

ул. Бялыницкого-Бирули, 11, 212030, г. Могилев.

 Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Chief Researcher.

11, Byalynitskii-Birulya Str., 212030, Mogilev.

lavani@tut.byБелорусско-Российский университет.Belarusian – Russian University.Институт технологии металлов Национальной академии наук Беларуси.Institute of Technology of Metals of the National Academy of Sciences of Belarus.2019250320195515061Copyright © Кашпар А.И., Лаптинский В.Н., 20192019Кашпар А.И., Лаптинский В.Н.Kashpar A.I., Laptinskiy V.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/365

Рассматриваются вопросы конструктивного анализа краевой задачи Валле – Пуссена для линейного матричного дифференциального уравнения Ляпунова второго порядка с параметром и переменными коэффициентами. Исходная задача сведена к эквивалентной интегральной задаче, для исследования разрешимости которой применяется модификация обобщенного принципа сжимающих отображений. Установлена связь используемого подхода с методом функций Грина. Получены коэффициентные достаточные условия однозначной разрешимости этой задачи. С помощью метода малого параметра Ляпунова – Пуанкаре разработан алгоритм построения решения. Исследованы сходимость, скорость сходимости этого алгоритма и дана конструктивная оценка области локализации решения. В качестве иллюстрации применения полученных результатов рассмотрена линейная задача стационарной теплопроводности для цилиндрической стенки, а также двумерная матричная модельная задача. С помощью разработанного общего алгоритма построены аналитические приближенные решения этих задач, и на основе их точных решений проведен сравнительный численный анализ.

The paper considers the issues of constructive analysis of the de la Vallee – Poussin boundary-value problem for the second-order linear matrix differential Lyapunov equation with a parameter and variable coefficients. The initial problem is reduced to an equivalent integral problem, and to study its solvability a modification of the generalized contraction mapping principle is used. A connection between the approach used and the Green’s function method is established. The coefficient sufficient conditions for the unique solvability of this problem are obtained. Using the Lyapunov – Poincaré small parameter method, an algorithm for constructing a solution has been developed. The convergence and the rate of convergence of this algorithm have been investigated, and a constructive estimation of the region of solution localization is given. To illustrate the application of the results obtained, the linear problem of steady heat conduction for a cylindrical wall, as well as a two-dimensional matrix model problem is considered. With the help of the developed general algorithm, analytical approximate solutions of these problems have been constructed and on the basis of their exact solutions a comparative numerical analysis has been carried out.

матричное дифференциальное уравнениекраевая задачаоднозначная разрешимостьалгоритм построения решенияmatrix differential equationboundary-value problemunique solvabilityalgorithm for constructing solutionsReferencesСансоне, Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Дж. Сансоне. – М.: Иностр. лит., 1953. – Т. 1. – 348 с.Sansone G. Equazioni differeziali nel campo reale [Ordinary Differential Equations]. Bologna, N. Zanichelli, 1948. 875 p. (in Italiano).Хартман, Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман. – М.: Мир, 1970. – 720 с.Hartman F. Ordinary Differential Equations. NY, John Wiley & Sons, 1964. 624 p. https://doi.org/10.1137/1.9780898719222Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике / В. С. Авдуевский [и др.]. – М.: Машиностроение, 1975. – 624 с.Avduevskii V. S., Galitseiskii B. M., Glebov G. A., Danilov Iu. I., Dreitser G. A., Kalinin E. K., Koshkin V. K., Mikhailov T. V., Molchanov A. M., Ryzhov Iu. A., Solntsev V. P. Fundamentals of Heat Transfer in Aviation and Rocket and Space Technology. Moscоw, Mashinostroenie Publ., 1970. 624 p. (in Russian).Теория тепломассообмена / С. И. Исаев [и др.]; под ред. А. И. Леонтьева. – М.: Высш. шк., 1979. – 495 с.Isaev S. I., Kozhinov I. A., Kofanov V. I., Leont'ev A. I., Mironov B. M., Nikitin V. M., Petrazhitskii G. B., Khvostov V. I., Chukaev A. G., Shishov E. V., Shkola V. V. Theory of Heat and Mass Transfer. Moscоw, Vysshaia Shkola Publ., 1979. 495 p. (in Russian).Murty, K. N. Two (multi) point nonlinear Lyapunov systems associated with annth order nonlinear system of differential equations – existence and uniqueness / K. N. Murty, G. W. Howell, G. V. R. L. Sarma // Math. Probl. in Engineering – 2000. – Vol. 6, № 4. – P. 395–410. https://doi.org/10.1155/s1024123x00001393Murty K. N., Howell G. W., Sarma G. V. R. L. Two (multi) point nonlinear Lyapunov systems associated with an nth order nonlinear system of differential equations – existence and uniqueness. Mathematical Problems in Engineering, 2000, vol. 6, no. 4, pp. 395–410. https://doi.org/10.1155/s1024123x00001393Murty, K. N. Two (multi) point nonlinear Lyapunov systems — Existence and uniqueness / K. N Murty, G. W. Howell, S. Sivasundaram // J. Math. Analysis and Applications. – 1992. – Vol. 167, № 2. – P. 505–515. https://doi.org/10.1016/0022-247x(92)90221-xMurty K. N, Howell G. W., Sivasundaram S. Two (multi) point nonlinear Lyapunov systems – Existence and uniqueness. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1992, vol. 167, no. 2, pp. 505–515. https://doi.org/10.1016/0022-247x(92)90221-xДеревенский, В. П. Матричные двусторонние линейные дифференциальные уравнения // Мат. заметки – 1994 – Т. 55, вып. 1. – С. 35–42.Derevenskii V. P. Matrix two-sided linear differential equations. Mathematical Notes, 1994, vol. 55, no. 1. pp. 24-29. https://doi.org/10.1007/bf02110760Деревенский, В. П. Матричные линейные дифференциальные уравнения высших порядков // Дифференц. уравнения – 1993. – T. 29, № 4 – С. 711–714.Derevenskii V. P. Matrix linear differential equations of higher orders. Differentsial'nye uravneniia = Differential equations, 1993, vol. 29, no. 4, pp. 711–714 (in Russian).Деревенский, В. П. Матричные линейные дифференциальные уравнения второго порядка // Дифференц. уравнения – 1995. – Т. 31, № 11 – С. 1926–1927.Derevenskii V. P. Matrix linear differential equations of the second order. Differentsial'nye uravneniia = Differential equations, 1995, vol. 31, no. 11, pp. 1926–1927 (in Russian).Лаптинский, В. Н. Конструктивный анализ краевой задачи Валле – Пуссена для линейного матричного уравнения Ляпунова второго порядка. Ч. 1 / В. Н. Лаптинский, А. И. Кашпар. – Могилев: Белорус.-Рос. ун-т, 2015. – 48 с. – (Препринт / Ин-т технол. металлов НАН Беларуси; № 35).Laptinskii V. N., Kashpar A. I. Constructive analysis of boundary value problem de la Vallee Poussin for linear matrix equation Lyapunov second order. Preprint, Part I. Mogilev, Belarusian-Russian University Publ., 2015. 48 р. (in Russian).Лаптинский, В. Н. Конструктивный анализ управляемых колебательных систем / В. Н. Лаптинский. – Минск: И-нт мат. НАН Беларуси, 1998. – 300 с.Laptinskii V. N. Constructive Analysis of Controlled Oscillatory Systems. Minsk, Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus Publ., 1998. 300 p. (in Russian).Канторович, Л. В. Функциональный анализ / Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. – М.: Наука, 1977. – 744 с.Kantorovich L. V., Akilov G. P. Functional Analysis. Moscоw, Nauka Publ., 1977. 744 р. (in Russian).Рисс, Ф. Лекции по функциональному анализу / Ф. Рисс, Б. Секефальви-Надь. – М.: Иностр. лит., 1954. – 500 с.Riess F., Sz.-Nad B. Leçons Dʹnalyse Fonctionnelle. Budapest, Akadémia Kiadó, 1972.Приближенное решение операторных уравнений / М. А. Красносельский [и др.]. – М. : Наука, 1969. – 456 с.Krasnosel'skii M. A., Vainikko G. M., Zabreiko P. P., Rutitskii Ia. B., Stetsenko V. Ia. Approximate Solution of Operator Equations. Moscоw, Nauka Publ., 1969. 456 р. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.