vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2019-55-1-62-68vestifm-366Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSОптимизация спектральных характеристик разностных схем для нестационарного уравнения ШредингераOptimizing the spectral characteristics of the finite-difference schemes for the unsteady Schrödinger equationГуревскийА. Н.HureuskiA. N.

Старший преподаватель кафедры веб-технологий и компьютерного моделирования.

пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск.

Senior Lecturer of the Department Web-Technologies and Computer Modeling.

4, Nezavisimosti Ave., 220030, Minsk.

gurevski@bsu.byБелорусский государственный университет.Belarusian State University.2019250320195516268Copyright © Гуревский А.Н., 20192019Гуревский А.Н.Hureuski A.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/366

Исследована спектральная согласованность двухслойной схемы с весами для нестационарного уравнения Шредингера. Показано, что семейство консервативных разностных схем на шеститочечном шаблоне на каждом шаге по времени эквивалентно последовательности двух сопряженных фазовых фильтров первого порядка с комплекснозначным полюсом. На основе численного анализа получены приближенные аналитические зависимости оптимальных значений параметров схемы с весами от соотношения шагов сетки, при которых достигается минимальная погрешность функции передачи соответствующего цифрового фильтра в заданном спектральном диапазоне. Показано, что среднеквадратичная погрешность функции передачи дискретных моделей с оптимальными параметрами на фиксированном частотном интервале многократно меньше соответствующих характеристик схемы четвертого порядка точности, которая обеспечивает наилучшую спектральную согласованность в лишь бесконечно узком спектральном диапазоне. Полученные результаты могут быть использованы при конструировании эффективных численных алгоритмов численного анализа как линейных, так и нелинейных задач для уравнений шредингеровского типа.

The spectral consistency of the finite-difference theta-method for the unsteady Schrödinger equation is investigated. Optimal sampling parameters providing a minimum error for a given spectral range are obtained. It is shown that the op ti mized scheme provides a reduction (by a factor of 5–6) in the error of the approximate solution in comparison with the 4th order accuracy scheme. It is shown that the 4th order scheme provides the best spectral consistency only in the case if the spectral range length tends to zero. The conditions for equivalence between the finite-difference scheme and the scheme in the form of two first-order conjugated IIR filters are found. The obtained scheme is the best scheme in the class of conservative finite difference schemes for solving the Schrödinger equation. Practical issues arising in the process of implementing a numerical solution are considered. The obtained results can be efficiently used for solving linear and non-linear Schrödinger equations.

разностные схемыуравнение Шредингераспектральное разрешениерекурсивный цифровой фильтрfinite-difference schemesSchrödinger equationspectral resolutionIIR filterReferencesСамарский, А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. – М.: Наука, 1989. – 616 с.Samarskii A. A. The theory of Finite Difference schemes. Moscow, Nauka Publ., 1989. 616 p. (in Russian).Lele, S. K. Compact finite difference schemes with spectral-like resolution / S. K. Lele // J. Comput. Phys. – 1992. – Vol. 103, № 1. – P. 16–42. https://doi.org/10.1016/0021-9991(92)90324-rLele S. K. Compact finite difference schemes with spectral-like resolution. Journal of Computational Physics, 1992, vol. 103, no. 1, pp. 16–42. https://doi.org/10.1016/0021-9991(92)90324-rВолков, В. М. Оптимизация компактных разностных схем спектрального разрешения для нестационарного уравнения Шредингера на основе методов цифровой обработки сигналов / В. М. Волков, А. Н. Гуревский, И. В. Жукова // Вестн. БГУ. – 2015. – № 3. – С. 84–89.Volkov V. M., Gurevskii A. N., Zhukova I. V. Optimization of compact finite difference schemes with spectral-like resolutionа for the non-stationary Schrodinger equation on the base of digital signal processing methods. Vestnik BGU. Seriya 1. Fizika. Matematika. Informatika = Vestnik BSU. Series 1: Physics. Mathematics. Informatics, 2015, no. 3, pp. 84–89 (in Russian)Волков, В. М. Спектральная согласованность разностных схем для уравнения теплопроводности / В. М. Волков, А. Н. Гуревский // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2017. – № 3. – С. 7–14.Volkov V. M., Hureuski A. N. Spectpal-like resolution of finite-difference schemes for the heat conduction equation. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2017, no. 3, pp. 7–14 (in Russian).Сергиенко, А. Г. Цифровая обработка сигналов / А. Г. Сергиенко. – СПб.: БХВ-Петербург, 2011. – 768 с.Sergienko A. G. Digital signal processing. Saint Petersburg, BHV-Petersburg Publ., 2011. 768 p. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.