vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2019-55-2-135-151vestifm-380Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSМетоды интегрирования стохастических дифференциальных уравнений смешанного типа, управляемых дробными броуновскими движениямиIntegration methods of mixed-type stochastic differential equations with fractional Brownian motionshttps://orcid.org/0000-0001-5769-3678ВаськовскийМ. М.Vas’kovskiiM. M.

Васьковский Максим Михайлович – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики

пр. Независимости, 4, 220072, г. Минск, Республика Беларусь

Maksim M. Vas’kovskii – Ph. D. (Physics and Mathematics), Associate Professor of the Department of Higher Mathematics

4, Nezavisimosti Ave., 220072, Minsk, Republic of Belarus

vaskovskii@bsu.byКачанИ. В.KachanI. V.

Качан Илья Вадимович – аспирант, ассистент кафедры высшей математики

пр. Независимости, 4, 220072, г. Минск, Республика Беларусь

Ilya V. Kachan – Postgraduate Student, Assistant of the Department of Higher Mathematics

4, Nezavisimosti Ave., 220072, Minsk, Republic of Belarus

ilyakachan@gmail.comБелорусский государственный университетBelarusian State University201928062019552135151Copyright © Васьковский М.М., Качан И.В., 20192019Васьковский М.М., Качан И.В.Vas’kovskii M.M., Kachan I.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/380

Разработаны новые методы точного интегрирования стохастических дифференциальных уравнений смешанного типа, содержащих стандартное броуновское движение, дробное броуновское движение с показателем Харста H> 1/2 и снос. Решения уравнений понимаются в интегральном смысле, где, в свою очередь, интеграл по стандартному броуновскому движению понимается как интеграл Ито, а интеграл по дробному броуновскому движению – как потраекторный интеграл Янга. Полученные в статье методы интегрирования можно отнести к двум типам. Методы первого типа основаны на приведении уравнений к уравнениям более простого вида, в частности к простейшим и линейным неоднородным уравнениям. В работе получены необходимые и достаточные условия приводимости, применимые к одномерным уравнениям, а также приведены примеры, охватывающие, в частности, стохастические уравнения Бернулли. Метод второго типа основан на переходе к уравнению Стратоновича и применим к многомерным уравнениям. В дополнение к указанным методам интегрирования получены аналоги дифференциальных уравнений Колмогорова для математических ожиданий и плотностей распределений решений в предположении, что коэффициенты стохастического дифференциального уравнения смешанного типа порождают коммутирующие дифференциальные потоки.

In the present, article new methods of exact integration of mixed-type stochastic differential equations with standard Brownian motion, fractional Brownian motion with the Hurst exponent H> 1/2 and the drift term have been constructed. Solutions of these equations are understood in integral sense where, in turn, the standard Brownian motion integral is the Ito integral and the fractional Brownian motion integral is the pathwise Young integral. The constucted integration methods can be attributed to two types. The first-type methods are based on reducing the equations to simpler equations, in particular – to the simplest equations and the linear inhomogeneous equations. In the article, necessary and sufficient conditions of reducing the equations applicable to one-dimensional equations have been obtained and the examples particularly covering the stochastic Bernoulli-type equations have been given. The second-type method is based on going to the Stratonovich equation and is applicable to multidimensional equations. In addition to the mentioned integration methods, the analogues of the differential Kolmogorov equation have been obtained for mathematical expectations and the solution probability density, assuming that coefficients of the mixed-type stochastic differential equation generate commuting flows.

дробное броуновское движениеформула Итостохастическое дифференциальное уравнениеметоды точного интегрированияинтеграл Итоинтеграл Янгаfractional Brownian motionIto formulastochastic differential equationexact integration methodsIto integralYoung integralReferencesStochastic Calculus for Fractional Brownian Motion and Applications / F. Biagini [et al.]. – London: Springer-Verlag, 2008. – 330 p. https://doi.org/10.1007/978-1-84628-797-8Biagini F., Hu Y., Oksendal B., Zhang T. Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion and Applications. London, Springer-Verlag, 2008. 330 p. https://doi.org/10.1007/978-1-84628-797-8Cheridito, P. Regularizing fractional Brownian motion with a view towards stock price modeling / P. Cheridito. – Zurich, ETH, 2001. – 121 p.Cheridito P. Regularizing Fractional Brownian Motion with a View Towards Stock Price Modeling. Zurich, ETH, 2001. 121 p.Guerra, J. Stochastic differential equations driven by fractional Brownian motion and standard Brownian motion / J. Guerra, D. Nualart // Stochastic Analysis and Applications – 2008. – Vol. 26, № 5. – P. 1053–1075. https://doi.org/10.1080/07362990802286483Guerra J., Nualart D. Stochastic differential equations driven by fractional Brownian motion and standard Brownian motion. Stochastic Analysis and Applications, 2008, vol. 26, no. 5, pp. 1053–1075. https://doi.org/10.1080/07362990802286483Mishura, Y. S. Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion and Related Processes / Y. S. Mishura. – Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2008. – 411 p. https://doi.org/10.1007/978-3-540-75873-0Mishura Y. S. Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion and Related Processes. Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag, 2008. 411 p. https://doi.org/10.1007/978-3-540-75873-0Mishura, Y. S. Existence and uniqueness of the solution of stochastic differential equation involving Wiener process and fractional Brownian motion with Hurst index H > 1/2 / Y. S. Mishura, G. M. Shevchenko // Comm. Statist. Theory Methods. – 2011. – Vol. 40, № 19/20. – P. 3492–3508. https://doi.org/10.1080/03610926.2011.581174Mishura Y. S., Shevchenko G. M. Existence and uniqueness of the solution of stochastic differential equation involving Wiener process and fractional Brownian motion with Hurst index H > 1/2. Communications in Statistics – Theory and Methods, 2011, vol. 40, no. 19–20, pp. 3492–3508. https://doi.org/10.1080/03610926.2011.581174Shevchenko, G. Mixed stochastic delay differential equations / G. Shevchenko // Theory Probab. Math. Statist. – 2014. – Vol. 89. – P. 181–195. https://doi.org/10.1090/s0094-9000-2015-00944-3Shevchenko G. Mixed stochastic delay differential equations. Theory of Probability and Mathematical Statistics, 2014, vol. 89, pp. 181–195. https://doi.org/10.1090/s0094-9000-2015-00944-3Леваков, А. А. Существование слабых решений стохастических дифференциальных уравнений со стандартным и дробным броуновскими движениями и с разрывными коэффициентами / А. А. Леваков, М. М. Васьковский // Дифференц. уравнения. – 2014. – т. 50, № 2. – С. 189–203. https://doi.org/10.1134/s037406411402006xLevakov A. A., Vas'kovskii M. M. Existence of weak solutions of stochastic differential equations with standard and fractional Brownian motions and with discontinuous coefficients. Differential Equations, 2014, vol. 50, no. 2, pp. 189–202. https://doi.org/10.1134/s0012266114020062Леваков, А. А. Существование слабых решений стохастических дифференциальных уравнений со стандартным и дробным броуновскими движениями, с разрывными коэффициентами и с частично вырожденным оператором диффузии / А. А. Леваков, М. М. Васьковский // Дифференц. уравнения. – 2014. – т. 50, № 8. – С. 1053–1069. https://doi.org/10.1134/s0374064114080056Levakov A. A., Vas'kovskii M. M. Existence of weak solutions of stochastic differential equations with standard and fractional Brownian motion, discontinuous coefficients, and a partly degenerate diffusion operator. Differential Equations, 2014, vol. 50, no. 8, pp. 1053–1069. https://doi.org/10.1134/s0012266114080059Васьковский, М. М. Существование слабых решений стохастических дифференциальных уравнений с запаздыванием со стандартным и дробным броуновскими движениями / М. М. Васьковский // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2015. – № 1. – С. 22–34.Vas'kovskii M. M. Existence of weak solutions of stochastic delay differential equations driven by standard and fractional Brownian motions. Vestsi Natsyianal'nai akademii navuk Belarusi. Seryia fizika-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2015, no. 1, pp. 22–34 (in Russian).Леваков, А. А. Существование решений стохастических дифференциальных включений со стандартным и дробным броуновскими движениями / А. А. Леваков, М. М. Васьковский // Дифференц. уравнения. – 2015. – т. 51, № 8. – С. 997–1003.Levakov A. A., Vas'kovskii M. M. Existence of solutions of stochastic differential inclusions with standard and fractional Brownian motions. Differential Equations, 2015, vol. 51, no. 8, pp. 991–997. https://doi.org/10.1134/s0012266115080030Леваков, А. А. Свойства решений стохастических дифференциальных уравнений со стандартным и дробным броуновскими движениями / А. А. Леваков, М. М. Васьковский // Дифференц. уравнения. – 2016. – т. 52, № 8. – С. 1011–1019.Levakov A. A., Vas'kovskii M. M. Properties of solutions of stochastic differential equations with standard and fractional Brownian motions. Differential Equations, 2016. vol. 52, no. 8, pp. 972–980. https://doi.org/10.1134/s0012266116080024Васьковский, М. М. Устойчивость и притяжение решений нелинейных стохастических дифференциальных уравнений со стандартным и дробным броуновскими движениями / М. М. Васьковский // Дифференц. уравнения. – 2017. – т. 53, № 2. – С. 160–173.Vas'kovskii M. M. Stability and attraction of solutions of nonlinear stochastic differential equations with standard and fractional Brownian motions. Differential Equations, 2017, vol. 53, no. 2, pp. 157–170. https://doi.org/10.1134/s0012266117020021Gard, T. C. Introduction to Stochastic Differential Equations / Gard T. C. – New York; Basel: Marcel Dekker Inc., 1988. – 234 p.Gard T. C. Introduction to Stochastic Differential Equations.New York, Basel, Marcel Dekker Inc., 1988. 234 p.Леваков, А. А. Стохастические дифференциальные уравнения / А. А. Леваков. – Минск: БГУ, 2009. – 231 с.Levakov A. A. Stochastic Differential Equations. Minsk, BSU, 2009. 231 p. (in Russian).Russo, F. Stochastic calculus with respect to continuous finite quadratic variation processes / F. Russo, P. Vallois // Stochastics Rep. – 2000. – Vol. 70, № 1/2. – P. 1–40. https://doi.org/10.1080/17442500008834244Russo F., Vallois P. Stochastic calculus with respect to continuous finite quadratic variation processes. Stochastics and Stochastic Reports, 2000, vol. 70, no. 1–2, pp. 1–40. https://doi.org/10.1080/17442500008834244Оксендаль, Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения / Б. Оксендаль. – М.: Мир, 2003. – 408 с.Oksendal B. Stochastic Differential Equations. An Introduction with Applications. Berlin, Heidelberg, SpringerVerlag, 2003. 379 p. https://doi.org/10.1007/978-3-642-14394-6_5Baudoin, F. Operators associated with a stochastic differential equation driven by fractional Brownian motions / F. Baudoin, L. Coutin // Stochastic Processes and their Applications. – 2007. – Vol. 117, № 5. – P. 550–574. https://doi.org/10.1016/j.spa.2006.09.004Baudoin F., Coutin L. Operators associated with a stochastic differential equation driven by fractional Brownian motions. Stochastic Processes and their Applications, 2007, vol. 117, no. 5, pp. 550–574. https://doi.org/10.1016/j.spa.2006.09.004Vaskouski, M. Asymptotic expansions of solutions of stochastic differential equations driven by multivariate fractional Brownian motions having Hurst indices greater than 1/3 / M. Vaskouski, I. Kachan // Stochastic Analysis and Applications. – 2018. – Vol. 36, № 6. – P. 909–931. https://doi.org/10.1080/07362994.2018.1483247Vaskouski M., Kachan I. Asymptotic expansions of solutions of stochastic differential equations driven by multivariate fractional Brownian motions having Hurst indices greater than 1/3. Stochastic Analysis and Applications, 2018, vol. 36, no. 6, pp. 909–931. https://doi.org/10.1080/07362994.2018.1483247Vyoral, M. Kolmogorov equation and large-time behavior for fractional Brownian motion driven linear SDE's / M. Vyoral // Appl. Math. – 2005. – Vol. 50, № 1. – P. 63–81. https://doi.org/10.1007/s10492-005-0004-4Vyoral M. Kolmogorov equation and large-time behavior for fractional Brownian motion driven linear SDE's. Applications of Mathematics, 2005, vol. 50, no. 1, pp. 63–81. https://doi.org/10.1007/s10492-005-0004-4

The authors declare that there are no conflicts of interest present.