vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2019-55-2-176-181vestifm-384Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSНеобходимое условие разрешимости задачи управления асинхронным спектром линейных почти периодических систем с нулевым средним матрицы коэффициентовNecessary condition for solvability of the control problem of an asynchronous spectrum of linear almost periodic systems with trivial averaging of the coefficient matrixДеменчукА. К.DemenchukA. K.

Деменчук Александр Константинович – доктор физико-математических наук, доцент, ведущий научный сотрудник отдела дифференциальных уравнений

ул. Сурганова, 11, 220072, г. Минск, Республика Беларусь

Aleksandr K. Demenchuk – Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Assistant Professor, Leading Researcher of the Department of Differential Equations

11, Surganov Str., 220072, Minsk, Republic of Belarus

demenchuk@im.bas-net.byИнститут математики Национальной академии наук БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus201928062019552176181Copyright © Деменчук А.К., 20192019Деменчук А.К.Demenchuk A.K.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/384

Рассматривается линейная система управления с почти периодической матрицей коэффициентов и управлением в виде обратной связи, линейной по фазовым переменным. Предполагается, что коэффициент обратной связи является почти периодическим и модуль его частот, т. е. наименьшая аддитивная группа вещественных чисел, включающая все показатели Фурье этого коэффициента, содержится в частотном модуле матрицы коэффициентов.

Формулируется следующая задача: выбрать такое управление из допустимого множества, чтобы у замкнутой управлением системы появились почти периодические решения, спектр частот (множество показателей Фурье) которых содержит наперед заданное подмножество, а пересечение модулей частот решения и матрицы коэффициентов тривиально. Поставленная задача названа задачей управления спектром нерегулярных колебаний (асинхронным спектром) с целевым множеством частот.

Цель работы – получить необходимое условие разрешимости задачи управления асинхронным спектром линейных почти периодических систем в случае, когда усреднение матрицы коэффициентов является тривиальным. В рассматриваемом случае найдена оценка мощности асинхронного спектра.

We consider a linear control system with an almost periodic matrix of coefficients. The control has a form of feedback and is linear in phase variables. It is assumed that the feedback coefficient is almost periodic and its frequency modulus, i.e. the smallest additive group of real numbers, including all Fourier exponents of this coefficient, is contained in the frequency module of the coefficient matrix.

The following problem is formulated: choose such a control from an admissible set so that the closed system has almost periodic solutions, the frequency spectrum (a set of Fourier exponents) of which contains a predetermined subset, and the intersection of the solution frequency modules and the coefficient matrix is trivial. The problem is called the control problem of the spectrum of irregular oscillations (asynchronous spectrum) with a target set of frequencies.

The aim of the work aws to obtain a necessary solvability condition for the control problem of the asynchronous spectrum of linear almost periodic systems with trivial averaging of coefficient matrix The estimate of the power of the asynchronous spectrum was found in the case of trivial averaging of the coefficient matrix.

почти периодические линейные системынулевое среднее значениепоказатели Фурьесильно нерегулярные колебанияасинхронный спектрalmost periodic linear systemstrivial averagingFourier exponentsstrongly irregular oscillationsasynchronous spectrumРабота выполнена в Институте математики Национальной академии наук Беларуси при поддержке Белорусского республиканского фонда фундаментальных исcледований, проект № Ф18Р-014 «Робастность и потеря устойчивости динамических систем».The work was carried out at the Institute of mathematics of the National academy of sciences of Belarus within the framework of the Belarusian Republican Foundation for Fundamental Research, project No. Ф18Р-014 “Robustness and stability loss of dynamic systems”.ReferencesТонков, Е. Л. Периодическая краевая задача и свойства периодических решений линейных дифференциальных уравнений: автореф. дис.... канд. физ.-мат. наук / Е. Л. Тонков; АН БССр. Отд-ние физ.-мат. наук. – Минск, 1969. – 12 с.Tonkov E. L. Periodic Boundary Value Problem and Properties of Periodic Solutions of Linear Differential Equations. Minsk, 1969. 12 p. (in Russian).Тонков, Е. Л. Линейная задача оптимального управления периодическими решениями / Е. Л. Тонков // Дифференц. уравнения. – 1976. – Т. 12, № 6. – С. 1007–1011.Tonkov E. L. Linear optimal control problem for periodic solutions. Differentsial'nye uravneniya = Differential Equations, 1976, vol. 12, no. 6, pp. 1007–1011 (in Russian).Тонков, Е. Л. Некоторые свойства линейных периодических систем / Е. Л. Тонков // Дифференц. уравнения. – 1980. – Т. 16, № 4. – С. 756–757.Tonkov E. L. Some properties of linear periodic systems. Differentsial'nye uravneniya = Differential Equations, 1980, vol. 16, no. 4, pp. 756–757 (in Russian).Иванов, А. Г. Оптимальное управление почти периодическими движениями / А. Г. Иванов // Приклад. математика и механика. – 1992. – Т. 56, вып. 5. – С. 837–846.Ivanov A. G. Optimal control of almost periodic motions. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1992, vol. 56, no. 5, pp. 737–746. https://doi.org/10.1016/0021-8928(92)90059-hИванов, А. Г. Элементы математического аппарата задач почти периодической оптимизации. I / А. Г. Иванов // Изв. Ин-та математики и информатики Удмурт. гос. ун-та. – 2002. – Вып. 1. – С. 3–100.Ivanov A. G. Elements of the mathematical apparatus of problems of almost periodic optimization. I. Izvestiya Instituta Matematiki i Informatiki Udmurtskogo Gosudarstvennogo Universiteta = Proceedings of the Institute of Mathematics and Computer Science of the Ukrainian State University, 2002, iss. 1, pp. 3–100 (in Russian).Попова, С. Н. Управление асимптотическими инвариантами систем с почти периодическими коэффициентами / С. Н. Попова // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютер. науки. – 2008. – Вып. 2. – С. 1–2.Popova S. N. Control of asymptotic invariants of systems with almost periodic coefficients. Vestnik Udmurtskogo Universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp'yuternye Nauki = The Bulletin of Udmurt University. Mathematics. Mechanics. Computer Science, 2008, iss. 2, pp. 1–2 (in Russian).Лаптинский, В. Н. К теории стабилизации линейных периодических систем управления / В. Н. Лаптинский // Дифференц. уравнения. – 1987. – Т. 23, № 12. – С. 2163–2164.Laptinskii V. N. On the theory of stabilization of linear periodic control systems. Differentsial'nye uravneniya = Differential Equations, 1987, vol. 23, no. 12, pp. 2163–2164 (in Russian).Massera, J. L. Observaciones sobre les soluciones periodicas de ecuaciones diferenciales / J. L. Massera // Bul. de la Facultad de Ingenieria Montevideo. – 1950. – Vol. 4, № 1. – P. 37–45.Massera J. L. Observaciones sobre les soluciones periodicas de ecuaciones diferenciales. Bul. de la Facultad de Ingenieria Montevideo, 1950, vol. 4, no. 1, pp. 37–45.Папалекси, Н. Д. Об одном случае параметрически связанных систем / Н. Д. Папалекси // Изв. Акад. наук СССР. Сер. физ. – 1939. – Т. 1. – С. 373–379.Papaleksi N. D. On one case of parametrically coupled systems. Bulletin of the Academy of Sciences of the USSR. Physical series, 1939, vol. 1, pp. 373–379 (in Russian).Деменчук, А. К. Задача управления спектром сильно нерегулярных периодических колебаний / А. К. Деменчук // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2009. – Т. 53, № 4. – С. 37–42.Demenchuk A. K. The control problem of the spectrum of strongly irregular periodic oscillations, Doklady Natsional'noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2009, vol. 53, no. 4, pp. 37–42 (in Russian).Деменчук, А. К. Управление асинхронным спектром линейных квазипериодических систем с тривиальным усреднением матрицы коэффициентов / А. К. Деменчук // Дифференц. уравнения. – 2017. – т. 53, № 2.– С. 281–283.Demenchuk A. K. Control of the asynchronous spectrum of linear quasiperiodic systems with trivial averaging of the coefficient matrix.Differentsial'nye uravneniya = Differential Equations, 2017, vol. 53, no. 2, pp. 281–283 (in Russian).Левитан, Б. М. Почти периодические функции / Б. М. Левитан. – М.: Гостехиздат, 1953. – 396 с.Levitan B. M. Almost Periodic Functions. Moscow, Gostekhizdat Publ., 1953. 396 p. (in Russian).Деменчук, А. Асинхронные колебания в дифференциальных системах. Условия существования и управление / А. Деменчук. – Saarbrucken: Lambert Academic Publishing, 2012. – 186 с.Demenchuk A. Asynchronous Oscillations in Differential Systems. Conditions of Existence and Control. Saarbrucken, Lambert Academic Publishing, 2012. 186 p. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.