vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2019-55-2-182-194vestifm-385Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSСпособы нахождения точного числа предельных циклов автономных систем на цилиндреWays for detection of the exact number of limit cycles of autonomous systems on the cylinderГриньА. А.HrynA. A.

Гринь Александр Александрович – доктор физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой математического анализа, дифференциальных уравнений и алгебры

ул. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно, Республика Беларусь

Aliaksandr A. Hryn – Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Assistant Professor, Head of the Department of Mathematical Analysis, Differential Equations and Algebra

22, Ozheshko Str., Grodno, 230023, Republic of Belarus

grin@grsu.byРудевичС. В.RudzevichS. V.

Рудевич Сергей Вячеславович – аспирант

ул. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно, Республика Беларусь

Searhei V. Rudevich – Postgraduate Student

22, Ozheshko Str., Grodno, 230023, Republic of Belarus

serhiorsv@gmail.comГродненский государственный университет им. Я. КупалыYanka Kupala State University of Grodno201928062019552182194Copyright © Гринь А.А., Рудевич С.В., 20192019Гринь А.А., Рудевич С.В.Hryn A.A., Rudzevich S.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/385

Для вещественных автономных систем дифференциальных уравнений с непрерывно дифференцируемыми правыми частями рассматривается задача нахождения точного числа и локализации предельных циклов второго рода на цилиндре. В случае отсутствия точек покоя системы на цилиндре для решения указанной задачи развиваются ранее предложенные нами способы, состоящие в последовательном двухшаговом применении признака Дюлака – Черкаса или признака Дюлака. Разработан также новый способ, использующий на втором шаге обобщение признака Дюлака – Черкаса или признака Дюлака, где требование знакопостоянности дивергенции заменяется условием трансверсальности кривых, на которых дивергенция обращается в нуль. С помощью разработанных способов находятся замкнутые трансверсальные кривые, разбивающие цилиндр на подобласти, окружающие его, в каждой из которых система имеет точно один предельный цикл второго рода.

Практическая эффективность разработанного способа продемонстрирована на примере системы маятникового типа, для которой в случае отсутствия точек покоя доказано существование точно трех предельных циклов второго рода на всем фазовом цилиндре.

For real autonomous systems of differential equations with continuously differentiable right-hand sides, the problem of detecting the exact number and localization of the second-kind limit cycles on the cylinder is considered. To solve this problem in the absence of equilibria of the system on the cylinder, we have developed our previously proposed ways consisting in a sequential two-step application of the Dulac – Cherkas test or the Dulac test. Additionally, a new way has been worked out using the generalization of the Dulac – Cherkas or Dulac test at the second step, where the requirement of constant sign for divergence is replaced by the transversality condition of the curves on which the divergence vanishes. With the help of the developed ways, closed transversal curves are found that divide the cylinder into subdomains surrounding it, in each of which the system has exactly one second-kind limit cycle.

The practical efficiency of the mentioned ways is demonstrated by the example of a pendulum-type system, for which, in the absence of equilibria, the existence of exactly three second-kind limit cycles on the entire phase cylinder is proved.

автономная система на цилиндрепредельный цикл второго рода16-я проблема Д. Гильбертафункция Дюлака – Черкасапризнак Дюлакаautonomous system on the cylindersecond-kind limit cycle16th Hilbert problemDulac – Cherkas functionDulac testReferencesБаутин, Н. Н. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости / Н. Н. Баутин, Е. А. Леонтович. – 2-е изд., доп. – М.: Наука, 1990. – 486 с.Bautin N. N., Leontovich E. A. Methods and Techniques for Qualitative Study of the Dynamic Systems on Plane. Moscоw, Nauka Publ., 1990. 486 p. (in Russian).Андронов, А. А. Теория колебаний / А. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин. – 2-е изд., перераб. и испр. – М.: Наука, 1981. – 918 с.Andronov A. A., Vitt A. A. Oscillation Theory. Moscоw, Nauka Publ., 1981. 918 p. (in Russian).Барбашин, Е. А. Динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством / Е. А. Барбашин, В. А. Табуева. – М.: Наука, 1969. – 350 с.Barbashin E. A., Tabueva V. A. Dinamicheskie sistemy s tsilindricheskim fazovym prostranstvom. Moscоw, Nauka Publ., 1969. 350 p. (in Russian).Черкас, Л. А. Функция Дюлака полиномиальных автономных систем на плоскости / Л. А. Черкас // Дифференц. уравнения. – 1997. – Т. 33, № 5. – С. 689–699.Cherkas L. A. Dulac function of polynomial autonomous systems on the plane. Differentsial’nye uravneniya = Differential Equations, 1997, vol. 33, no. 5, pp. 689–699 (in Russian).Черкас, Л. А. Конструктивные методы исследования предельных циклов автономных систем второго порядка (численно-алгебраический подход) / Л. А. Черкас, А. А. Гринь, В. И. Булгаков. – Гродно: ГрГУ, 2013. – 489 c.Cherkas L. A., Grin’ A. A., Bulgakov V. I. Constructive Methods for Studying Limit Cycles of Autonomous SecondOrder Systems (Numerical-Algebraic Approach). Grodno, Yanka Kupala State University of Grodno, 2013. 489 p. (in Russian).Черкас, Л. А. Функция Дюлака для динамических систем на цилиндре / Л. А. Черкас, А. А. Гринь // Весн. Гродз. дзярж. ун-та імя Я. Купалы. Сер. 2, Матэматыка. Фiзiка. Вылiч. тэхнiка i кiраванне. – 2007. – № 2. – С. 3–8.Cherkas L. A., Grin A. A. Dulac function for dynamical systems on a cylinder. Vesnik of Yanka Kupala State University of Grodno. Series 2. Mathematics. Physics. Informatics, Сomputer Technology and its Сontrol = Vesnik Hrodzenskaha Dziarzhaunaha Universiteta Imia Ianki Kupaly. Seryia 2. Matematyka. Fizika. Infarmatyka, Vylichal’naia Tekhnika i Kiravanne, 2007, no. 2, pp. 3–8 (in Russian).Черкас, Л. А. Функция предельных циклов второго рода для автономных систем на цилиндре / Л. А. Черкас, А. А. Гринь // Дифференц. уравнения. – 2011. – т. 47, № 4. – С. 462–470.Cherkas L. A., Grin’ A. A. The function of limit cycles of the second kind for autonomous systems on a cylinder. Differential Equations, 2011, vol. 47, no. 4, pp. 462–470 https://doi.org/10.1134/s0012266111040021.Cherkas, L. A. A new approach to study limit cycles on a cylinder / L. A. Cherkas, A. A. Grin, K. R. Schneider // Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems. Ser. A: Mathematical Analysis. – Vol. 18, № 6a. – 2011. – P. 839–851.Cherkas L. A., Grin A. A., Schneider K. R. A new approach to study limit cycles on a cylinder. Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems. Series A: Mathematical Analysis, 2011, vol. 18, no. 6a, pp. 839–851.Гринь, А. А. Оценка числа предельных циклов для одного уравнения Абеля / А. А. Гринь, С. В. Рудевич // Весн. Гродз. дзярж. ун-та імя Я. Купалы. Сер. 2, Матэматыка. Фiзiка. Вылiч. тэхнiка i кiраванне. – 2015. – № 2 (192). – С. 28–35.Grin A. A. Estimate of the number of limit cycles for one Abel equation. Vesnik of Yanka Kupala State University of Grodno. Series 2. Mathematics. Physics. Informatics, Сomputer Technology and its Сontrol = Vesnik Hrodzenskaha Dziarzhaunaha Universiteta Imia Ianki Kupaly. Seryia 2. Matematyka. Fizika. Infarmatyka, Vylichal’naia Tekhnika i Kiravanne, 2015, no. 2 (192). pp. 28 – 35 (in Russian).Grin, A. A. Study of the bifurcation of a multiple limit cycle of the second kind by means of a Dulac-Cherkas function / A. A. Grin, K. R. Schneider // Int. J. Bifurcation and Chaos. – 2016. – Vol. 26, № 14. – P. 76–85. https://doi.org/10.1142/s0218127416502291Grin A. A., Schneider K. R. Study of the bifurcation of a multiple limit cycle of the second kind by means of a DulacCherkas function. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2016, vol. 26, no. 14, pp. 76–85. https://doi.org/10.1142/s0218127416502291Alvarez, M. J. New uniqueness criterion for the number of periodic orbits of Abel equations / M. J. Alvarez, A. Gasull, H. A Giacomini // J. Differential Equations. – 2007. – Vol. 234, № 1. – P. 161–176. https://doi.org/10.1016/j.jde.2006.11.004Alvarez M. J., Gasull A., Giacomini H. A. New uniqueness criterion for the number of periodic orbits of Abel equations Gasull. Journal of Differential Equations, 2007, vol. 234, no. 1, pp. 161–176. https://doi.org/10.1016/j.jde.2006.11.004Grin, A. A. Construction of generalized pendulum equations with prescribed maximum number of limit cycles of the second kind / A. A. Grin, K. R. Schneider // Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems. Ser. A: Mathematical Analysis. – 2019. – Vol. 26. – P. 69–88.Grin A. A., Schneider K. R. Construction of generalized pendulum equations with prescribed maximum number of limit cycles of the second kind. Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems. Series A: Mathematical Analysis, 2019, no 26, pp. 69–88.Ilyashenko, Y. Centennial history of Hilbert’s 16th problem / Y. Ilyashenko // Bull. Am. Math. Soc. – 2002. – Vol. 39, № 3. – P. 301–354. https://doi.org/10.1090/s0273-0979-02-00946-1Ilyashenko Y. Centennial history of Hilbert’s 16th problem. Bulletin of the American Mathematical Society, 2002, vol. 39, no. 3, pp. 301–354. https://doi.org/10.1090/s0273-0979-02-00946-1Гринь, А. А. Признак Дюлака – Черкаса для точной оценки числа предельных циклов автономных систем на плоскости / А. А. Гринь, А. В. Кузьмич // Дифференц. уравнения. – 2017. – т. 53, № 2. – С. 174–182. https://doi.org/10.1134/s0374064117020042Grin A. A., Kuz’mich A. V. Accurate estimates of the number of limit cycles of autonomous systems with three points of rest on a plane. Differential Equation, 2017, vol. 53, no. 2, pp. 171–179. https://doi.org/10.1134/s0012266117020033Гринь, А. А. Точные оценки числа предельных циклов автономных систем с тремя точками покоя на плоско-сти / А. А. Гринь, А. В. Кузьмич // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2016. – № 4. – С. 7–17.Grin A. A., Kuz’mich A. V. Accurate estimates of the number of limit cycles of autonomous systems with three points of rest on a plane. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2016, no. 4, pp. 7–17 (in Russian).Кузьмич, А. А. О точном числе предельных циклов некоторых автономных систем с тремя точками покоя на плоскости / А. В. Кузьмич, А. А. Гринь // Весн. Гродз. дзярж. ун-та імя Я. Купалы. Сер. 2, Матэматыка. Фiзiка. Вылiч. тэхнiка i кiраванне. – 2017. – № 2. – С. 30–40.Kuz’mich A. A., Grin A. A. On the exact number of limit cycles of some autonomous systems with three points of rest on a plane. Vesnik of Yanka Kupala State University of Grodno. Series 2. Mathematics. Physics. Informatics, Сomputer Technology and its Сontrol = Vesnik Hrodzenskaha Dziarzhaunaha Universiteta Imia Ianki Kupaly. Seryia 2. Matematyka. Fizika. Infarmatyka, Vylichal’naia Tekhnika i Kiravanne, 2017, no. 2, pp. 30–40 (in Russian).Гринь, А. А. Признак Дюлака – Черкаса для установления точного числа предельных циклов автономных систем на цилиндре / А. А. Гринь, С. В. Рудевич // Дифференц. уравнения. – 2019. – т. 55, № 3. – С. 328–336. https://doi.org/10.1134/s0374064119030063Grin A. A., Rudevich S. V. Dulac – Cherkas Test for Determining the Exact Number of Limit Cycles of Autonomous Systems on the Cylinder. Differential Equation, 2019, vol. 55, no. 3, pp. 319-327. https://doi.org/10.1134/s0012266119030054

The authors declare that there are no conflicts of interest present.