vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2019-55-2-199-206vestifm-387Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSПостроение уравнения Фукса с четырьмя заданными конечными особыми точками и приводимой группой монодромии в резонансном случаеConstruction of the Fuchs equation with four given finite critical points and a given reducible monodromy group in the resonance caseАмелькинВ. В.Amel’kinV. V.

Амелькин Владимир Васильевич – доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры дифференциальных уравнений и системного анализа

пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Республика Беларусь

Vladimir V. Amel’kin – Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Professor of the Department of Differential Equations and Systemic Analysis

4, Nezavisimosti Ave, 220030, Minsk, Republic of Belarus

vamlkn@mail.ruВасилевичМ. Н.VasilevichM. N.

Василевич Михаил Васильевич – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры общей математики и информатики

пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Республика Беларусь

Michail N. Vasilevich – Ph. D. (Physics and Mathematics), Assistant professor of the Department of General Mathematics and Informatics

4, Nezavisimosti Ave, 220030, Minsk, Republic of Belarus

vasilevich.m@gmail.comБелорусский государственный университетBelarusian State University201928062019552199206Copyright © Амелькин В.В., Василевич М.Н., 20192019Амелькин В.В., Василевич М.Н.Amel’kin V.V., Vasilevich M.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/387

Рассматривается одна обратная задача аналитической теории линейных дифференциальных уравнений. Именно на комплексной проективной прямой строится вполне интегрируемое уравнение Фукса с четырьмя заданными конечными особыми точками и заданной приводимой группой монодромии ранга 2, т. е. такой группой монодромии, когда 2×2-матрицы монодромии (образующие группы монодромии) можно одним линейным невырожденным преобразованием одновременно привести к верхнему треугольному виду. При этом исследуется тот случай, когда собственное значение ξj диагональной матрицы формального показателя монодромии в соответствующей фуксовой особой точке равно целому числу, отличному от нуля (имеет место резонанс).

One inverse problem of the analytic theory of linear differential equations is considered. Namely, the completely integrable Fuchs equation with four given finite critical points and a given reducible monodromy group of rank 2 on the complex projective line is constructed. Reducibility of the monodromy group of rank 2 means that 2×2-monodromy matrices (the generators of the monodromy group) can be simultaneously reduced by a linear nonsingular transformation to an upper triangular form. In so doing we study the case when the eigenvalue ξj of the diagonal matrix of the monodromy formal exponent at a corresponding Fuchs critical point is equal to an integer different from zero (resonance takes place).

уравнение Фуксаособая точкаматрица монодромииприводимая группа монодромиифундаментальная матрицаFuchs equationcritical pointmonodromy matrixreducible monodromy groupfundamental matrixReferencesБолибрух, А. А. Проблема Римана – Гильберта / А. А. Болибрух // Успехи мат. наук. – 1990. – Т. 45, вып. 2. – С. 3–47.Bolibrukh A. A. The Riemann – Hilbert problem. Russian Mathematical Surveys, 1990, vol. 45, no. 2, pp. 1–58. https://doi.org/10.1070/rm1990v045n02abeh002350Болибрух, А. А. Дифференциальные уравнения с мероморфными коэффициентами / А. А. Болибрух // Соврем. проблемы математики. – 2003. – № 1. – С. 29–82. https://doi.org/10.4213/spm3Bolibrukh A. A. Differential equations with meromorphic coefficients. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2011, vol. 272, no. 2, pp. 13–43. https://doi.org/10.1134/s0081543811030035Dekkers, W. The matrix of a connection having regular singularities on a vector bundle of rank 2 on P1(C) / W. Dekkers // Lecture Notes in Math. – 1979. – Vol. 712. – P. 33–43.Dekkers, W. The matrix of a connection having regular singularities on a vector bundle of rank 2 on P1(C). Lecture Notes in Mathematics, 1979, vol. 712, pp. 33–43. https://doi.org/10.1007/bfb0062813Амелькин, В. В. Построение уравнения Фукса с четырьмя заданными конечными особыми точками и заданными приводимыми 2×2-матрицами монодромии / В. В. Амелькин, М. Н. Василевич // Дифференц. уравнения. – 2018. – Т. 54, № 1. – С. 3–8. https://doi.org/10.1134/s0374064118010016Amel’kin V. V., Vasilevich M. N. Construction of a Fuchs equation with four given finite critical points and given reducible monodromy 2×2-matrices. Differentsial’nye uravneniya = Differential Equations, 2018, vol. 54, no. 1, pp. 1–6. https://doi.org/10.1134/s0012266118010019Еругин, Н. П. Проблема Римана II / Н. П. Еругин // Дифференц. уравнения. – 1976. – Т. 12, № 5. – С. 779–799.Erugin N. P. The Riemann Problem II. Differentsial'nye uravneniya = Differential Equations, 1976, vol. 12, no. 5, pp. 779–799 (in Russian).Трансценденты Пенлеве. Метод задачи Римана / А. Р. Итс [и др]. – М.; Ижевск: Ин-т компьютер. исслед.; НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005. – 728 с.Its A. R., Kapaev A. A., Novokshenov V. Yu., Fokas A. S. Painleve Transcendents. Method of Riemann Problem. Moscow, Izhevsk, ICI, Regular and Chaostic Dynamics Publ., 2005. 728 p. (in Russian).Лаппо-Данилевский, И. А. Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / И. А. Лаппо-Данилевский. – М.: ГИТТЛ, 1957. – 456 с.Lappo-Danilevskii I. A. Application of Functions of Matrices to the Theory of Linear Systems of Ordinary Differential Equations. Moscow, GITTL Publ., 1957. 456 p. (in Russian).Амелькин, В. В. Автономные и линейные многомерные дифференциальные уравнения / В. В. Амелькин. – 3-е изд. – М.: Едиториал УРСС, 2010. – 144 с.Amel’kin V. V. Autonomous and Linear Multidimensional Differential Equations. Ed. 3. Moscow, Editorial URSS Publ., 2010. 144 p. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.