vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2019-55-2-207-215vestifm-388Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSСпектральные свойства дискретных моделей многомерных эллиптических задач со смешанными производнымиSpectral properties of discrete models of multi-dimensional elliptic problems with mixed derivativesПроконинаЕ. В.PrakoninaA. U.

Проконина Елена Владимировна – старший преподаватель кафедры веб-технологий и компьютерного моделирования механико-математического факультета

пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Республика Беларусь

Alena U. Prakonina – Senior Lecturer of the Department of Web-technologies and Computer Modeling of the Faculty of Mechanics and Mathematics

4, Nezavisimosti Ave., 220030, Minsk, Republic of Belarus

helen.prokonina@mail.ruБелорусский государственный университетBelarusian State University201928062019552207215Copyright © Проконина Е.В., 20192019Проконина Е.В.Prakonina A.U.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/388

Исследовано влияния структуры спектров исходной и переобусловленной матриц разностных задач для двумерных эллиптических уравнений со смешанными производными на скорость сходимости итерационных методов решения систем соответствующих сеточных уравнений. Показано, что эффективность итерационных методов семейства би-сопряженных градиентов для систем с не симметричными матрицами существенно зависит не только от границ спектра матрицы, но и от неоднородности распределения его компонент, а также от величины мнимой части комплексных собственных чисел. Для тестовых матриц с фиксированным числом обусловленности изучены три варианта спектрального распределения и получены зависимости количества итераций от размерности матриц. Показано, что неравномерность распределения собственных значений в пределах фиксированных границ спектра приводит к существенному росту числа итераций с возрастанием размерности матриц. Аналогичное влияние на скорость сходимости оказывает рост амплитуды мнимой части собственных значений. На примере модельной задачи распределения потенциала в квадратной области с анизотропной кольцевой неоднородностью проведен сравнительный анализ взаимозависимости структуры спектра матриц и скорости сходимости метода би-сопряженных градиентов с переобусловливателями Фурье – Якоби и неполной LU-факторизации. Показано, что преимущества переобусловливателя Фурье – Якоби связаны с более равномерным распределением спектра переобусловленной матрицы вдоль действительной оси и лучшим подавлением мнимой составляющей спектра по сравнению с переобусловливателем на основе неполной LU-факторизации.

The influence of the spectrum of original and preconditioned matrices on a convergence rate of iterative methods for solving systems of finite-difference equations applicable to two-dimensional elliptic equations with mixed derivatives is investigated. It is shown that the efficiency of the bi-conjugate gradient iterative methods for systems with asymmetric matrices significantly depends not only on the matrix spectrum boundaries, but also on the heterogeneity of the distribution of the spectrum components, as well as on the magnitude of the imaginary part of complex eigenvalues. For test matrices with a fixed condition number, three variants of the spectral distribution were studied and the dependences of the number of iterations on the dimension of matrices were estimated. It is shown that the non-uniformity in the eigenvalue distribution within the fixed spectrum boundaries leads to a significant increase in the number of iterations with increasing dimension of the matrices. The increasing imaginary part of the eigenvalues has a similar effect on the convergence rate. Using as an example the model potential distribution problem in a square domain, including anisotropic ring inhomogeneity, a comparative analysis of the matrix structure and the convergence rate of the bi-conjugate gradient method with Fourier – Jacobi and incomplete LU factorization preconditioners is performed. It is shown that the advantages of the Fourier – Jacobi preconditioner are associated with a more uniform distribution of the spectrum of the preconditioned matrix along the real axis and a better suppression of the imaginary part of the spectrum compared to the preconditioner based on the incomplete LU factorization.

разностные схемыэллиптические уравнениясмешанные производныеитерационные методы би-сопряженных градиентовпереобусловливатель Фурье – Якобинеполная LU-факторизацияfinite-difference schemeselliptic equationsmixed derivativesiterative bi-conjugate gradient methodsFourier – Jacobi preconditionerincomplete LU factorizationReferencesHestenes, M. R methods of conjugate gradients for solving linear systems / M. R. Hestenes, E. L. Stiefel // J. Res. Nat. Bur. Standards. – 1952. – Vol. 49, № 6. – P. 409–436. https://doi.org/10.6028/jres.049.044Hestenes M. R., Stiefel E. L. methods of conjugate gradients for solving linear systems. Journal of Research of the National Bureau of Standards, 1952, vol. 49, no. 6, pp.409–436. https://doi.org/10.6028/jres.049.044Самарский, А. А. Разностные методы для эллиптических уравнений / А. А. Самарский, В. Б. Андреев. – М.: Наука, 1976. – 352 с.Samarskii A. A., Andreev V. B. Finite-Difference Methods for Elliptic Equations. Moscow, Nauka Publ., 1976. 352 p. (in Russian).Martynova, T. S. Numerical Solution of Boundary-Value Problems for Second-Order Elliptic Equations with Mixed Derivatives by Effective Iteration Methods / T. S Martynova // Mathematical Models and Computer Simulations. – 2009. – Vol. 1, № 3. – P. 370–382. https://doi.org/10.1134/s2070048209030041Martynova T. S. Numerical Solution of Boundary-Value Problems for Second-Order Elliptic Equations with Mixed Derivatives by Effective Iteration methods. Mathematical Models and Computer Simulations, 2009, vol. 1, no. 3, pp. 370–382. https://doi.org/10.1134/s2070048209030041Монотонные разностные схемы для уравнений со смешанными производными / А. А. Самарский [и др.] // Мат. моделирование. – 2001. – Т. 13, № 2.– С. 17–26.Samarskii A. A., Mazhukin V. L., Matus P. P., Shishkin G. L. Monotone Difference Schemes for Equations with Mixed Derivatives. Matematicheskoe modelirovanie = Mathematical Models and Computer Simulations, 2001, vol. 13, no. 2, pp. 17– 26 (in Russian).3D Finite-Difference BiCG Iterative Solver with the Fourier-Jacobi Preconditioner for the Anisotropic EIT/EEG Forward Problem / S. Turovets [et al.] // Comput. Math. Methods in Medicine. – 2014. – Vol. 2014. – P. 1–12. https://doi.org/10.1155/2014/426902Turovets S., Volkov V., Zherdetsky A., Prakonina A., Malony A. D. 3D Finite-Difference BiCG Iterative Solver with the Fourier-Jacobi Preconditioner for the Anisotropic EIT/EEG Forward Problem. Computational and Mathematical Methods in Medicine, 2014, vol. 2014, pp. 1–12. https://doi.org/10.1155/2014/426902Волков, В. М. Разностные схемы и итерационные методы для многомерных эллиптических уравнений со смешанными производными / В. М. Волков, Е. В. Проконина // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2018. – Т. 54. № 4. – С. 454–459. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2018-54-4-454-459Volkov V. M., Prakonina A. U. Finite-difference schemes and iterative methods for multidimensional elliptic equations with mixed derivatives. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2018, vol. 54, no. 4, pp. 454–459 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2018-54-4-454-459Волков, В. М. Итерационная реализация разностных схем в методе фиктивных областей для эллиптических задач со смешанными производными / В. М. Волков, Е. В. Проконина // Журн. Белорус. гос. ун-та. Математика. Информатика. – 2019. – №. 1. – С. 69–76.Volkov V. M., Prakonina A. U. Iterative realization of finite difference schemes in the fictitious domain method for elliptic problems with mixed derivatives. Zhurnal Belorusskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika, Informatika = Journal of Belarusian State University. Mathematics. Informatics, 2019, no. 1, pp. 69–76 (in Russian).Самарский, А. А. Методы решения сеточных уравнений / А. А. Самарский, Е. С. Николаев. – М.: Наука, 1978. – 592 c.Samarskii A. A., Nikolaev E. S. Methods of Solving Grid Equations. Mocow, Nauka Publ., 1978, 592 p. (in Russian).Хейгеман, Л. Прикладные итерационные методы: пер. с англ. / Л. Хейгеман, Д. Янг. – М.: Мир, 1986. – 448 с.Hageman L. A., Young D. M. Applied Iterative Methods.Elsevier Inc., 1981. 386 p. https://doi.org/10.1016/C2009-0-21990-8Saad, Y. Iterative solution of linear systems in the 20 th century / Y. Saad, H. A. van der Vorst // J. Comput. Appl. Math. – 2000. – Vol. 123, № 1/2. – P. 1–33. https://doi.org/10.1016/s0377-0427(00)00412-xSaad Yousef, van der Vorst Henk A. Iterative solution of linear systems in the 20th century. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2000, vol. 123, no. 1–2, pp. 1–33. https://doi.org/10.1016/s0377-0427(00)00412-xTemplates for the solution of linear systems: building blocks for iterative methods / R. Barrett [et al.]. – SIAM, 1994. https://doi.org/10.1137/1.9781611971538Barrett R., Berry M., Chan T. F., Demmel J., Donato J., Dongarra J., Eijkhout V., Pozo R., Romine C., van der Vorst H. Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods. SIAM, 1994. https://doi.org/10.1137/1.9781611971538Самарский, A. A. Теория разностных схем / А. А. Самарский. – М.: Наука, 1989. – 432 c.Samarskii A. A. The Theory of Finite Difference Schemes. Moscow, Nauka Publ., 1989. 432 p. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.