vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2019-55-2-216-224vestifm-389Research ArticleФИЗИКАPHYSICSДвойственность Хоу алгебры Хиггса – Хана для восьмимерного гармонического осциллятораHowe duality of Higgs – Hahn algebra for 8D harmonic oscillatorhttps://orcid.org/0000-0001-7384-3621ЛаврёновА. Н.LavrenovА. N.

Лаврёнов Александр Николаевич – кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры информационных технологий в образовании

ул. Советская, 18, 220030, г. Минск, Республика Беларусь

Alexandre N. Lavrenov – Ph. D. (Physics and Mathematics), Assistant Professor, Assistant Professorof the department of the Chair of Information Technologies in Education

18, Sovetskaya Str., 220050, Minsk, Republic of Belarus

lanin0777@mail.ruhttps://orcid.org/0000-0002-3650-8987ЛаврёновИ. А.LavrenovI. A.

Лаврёнов Иван Александрович – ведущий специалист

ул. Я. Купалы, 25, 220030, г. Минск, Республика Беларусь

Ivan A. Lavrenov – Leading Specialist

25, Ya. Kupala Str., 220030, Minsk, Republic of Belarus

lanin99@mail.ruБелорусский государственный педагогический университет им. М. ТанкаBelarusian State Pedagogical University Named After Maxim TankООО «Октонион технолоджи»Octonion Technology Ltd.201928062019552216224Copyright © Лаврёнов А.Н., Лаврёнов И.А., 20192019Лаврёнов А.Н., Лаврёнов И.А.Lavrenov А.N., Lavrenov I.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/389

Рассмотрены два разных, но изоморфных представления одной алгебры в свете двойственности Хоу: алгебра Хиггса и алгебра Хана. Первая отвечает алгебре симметрии гармонического осциллятора на 2-сфере и полиномиально деформированной SU(2) алгебре, а вторая – кодирует биспектральные свойства одноименных ортогональных многочленов и выступает как алгебра симметрии Хартмана и некоторых других кольцевых потенциалов, а также сингулярного осциллятора в двух измерениях. Показана в явном виде реализация данной алгебры, с одной стороны, как коммутанта O(4) ⊕ O(4) подалгебры U(8) в осцилляторном представлении универсальной обертывающей алгебры U (u(8)) и, с другой стороны, как вложение дискретной версии алгебры Хана в двойное тензорное произведение SU(1,1) ⊗ SU(1,1). Эти две реализации отражают факт, что SU(1,1) и U(8) образуют двойственную пару в пространстве состояний гармонического осциллятора в восьми измерениях. В конце статьи кратко обсуждены дальнейшие возможные направления исследований для обобщения полученных результатов. Первое достаточно очевидно – это рассмотрение проблемы при увеличении или при любом значении N размерности гармонического осциллятора. Второе направление можно связать с анализом ситуации для N-тензорного произведения SU(1,1)⊗N. Еще одним интересным аспектом данной проблемы может быть исследование q-обобщения SU(1,1).

In the light of the Howe duality, two different, but isomorphic representations of one algebra as Higgs algebra and Hahn algebra are considered in this article. The first algebra corresponds to the symmetry algebra of a harmonic oscillator on a 2-sphere and a polynomially deformed algebra SU(2), and the second algebra encodes the bispectral properties of corresponding homogeneous orthogonal polynomials and acts as a symmetry algebra for the Hartmann and certain ring-shaped potentials as well as the singular oscillator in two dimensions. The realization of this algebra is shown in explicit form, on the one hand, as the commutant O(4) ⊕ O(4) of subalgebra U(8) in the oscillator representation of universal algebra U (u(8)) and, on the other hand, as the embedding of the discrete version of the Hahn algebra in the double tensor product SU(1,1) ⊗ SU(1,1). These two realizations reflect the fact that SU(1,1) and U(8) form a dual pair in the state space of the harmonic oscillator in eight dimensions. The N-dimensional, N-fold tensor product SU(1,1)⊗N аnd q-generalizations are briefly discussed.

алгебра Хиггсаалгебра Ханакоммутант8D гармонический осциллятордвойственность Хоутензорное произведениеSU(11)U(8)Higgs algebraHahn algebracommutant8D harmonic oscillatorHowe dualitytensor productSU(11)U(8)ReferencesГрановский, Я. И. Точно решаемые задачи и их квадратичные алгебры / Я. И. Грановский, А. С. Жеданов. – Донецк: ДонФТИ, 1989. – 40 с. – (Препринт / Донец. физ.-тех. ин-т; ДонФТИ-89-7).Granovskii Ya. I., Zhedanov, A. S. Exactly Solvable Problems and their Quadratic Algebras. Donetsk, DonFTI, 1989. 40 р. (in Russian).Жеданов, А. С. Скрытая симметрия полиномов Аски – Вильсона / А. С. Жеданов // теорет. и мат. физика. – 1991. – т. 89, № 2. – С. 190–204.Zhedanov A. S. Hidden symmetry of the Askey – Wilson polynomials. Theoretical and Mathematical Physics, 1991, vol. 89, no. 2, pp. 1146–1157. https://doi.org/10.1007/bf01015906Грановский, Я. И. Квадратичная алгебра и динамическая симметрия уравнения Шредингера / Я. И. Грановский, А. С. Жеданов, И. M. Луценко // ЖЭТФ. – 1991. – т. 99, № 2. – С. 353–361.Granovskii Ya. I., Zhedanov A. S., Lutsenko I. M. Quadratic algebras and dynamical symmetry of the Schrödinger equation. Zhurnal Eksperimental’noi i Teoreticheskoi Fiziki = Journal of Experimental and Theoretical Physics, 1991, vol. 99, no. 2, pp. 353–361 (in Russian).Granovskii, Y. I. Mutual integrability, quadratic algebras, and dynamical symmetry / Y. I. Granovskii, I. M. Lutsenko, A. S. Zhedanov // Ann. Phys. – 1992. – Vol. 217, № 1. – P. 1–20. https://doi.org/10.1016/0003-4916(92)90336-kGranovskii Y. I., Lutsenko I. M., Zhedanov A. S. Mutual integrability, quadratic algebras, and dynamical symmetry. Annals of Physics, 1992, vol. 217, no. 1, pp. 1–20. https://doi.org/10.1016/0003-4916(92)90336-kЛуценко, И. M. Об алгебре Якоби и порождаемых ею потенциалах / И. M. Луценко // теорет. и мат. физика. – 1992. – т. 93, № 1. – С. 3–16.Lutsenko I. M. Jacobi algebra and potentials generated by it. Theoretical and Mathematical Physics, 1992, vol. 93, no. 1, pp. 1081–1090. https://doi.org/10.1007/bf01016465Higgs, P. W. Dynamical symmetries in a spherical geometry. I / P. W. Higgs // J. Phys. A: Math. General. – 1979. – Vol. 12, № 3. – P. 309–323. ttps://doi.org/10.1088/0305-4470/12/3/006Higgs P. W. Dynamical symmetries in a spherical geometry. I. Journal of Physics A: Mathematical and General, 1979, vol. 12, no. 3, pp. 309–323. ttps://doi.org/10.1088/0305-4470/12/3/006Leemon, H. I. Dynamical symmetries in a spherical geometry. II / H. I. Leemon // J. Phys. A: Math. General. – 1979. – Vol. 12, № 4. – P. 489–501. https://doi.org/10.1088/0305-4470/12/4/009Leemon H. I. Dynamical symmetries in a spherical geometry. II. Journal of Physics A: Mathematical and General, 1979, vol. 12, no. 4, pp. 489–501. https://doi.org/10.1088/0305-4470/12/4/009Курочкин, Ю. А. Аналог вектора Рунге – ленца и спектр энергий в задаче Кеплера на трехмерной сфере / Ю. А. Курочкин, В. С. Отчик // Докл. акад. наук БССР. – 1979. – T. 23, № 11. – С. 987–990.Kurochkin, Yu. A., Analogue of the Runge – Lenz vector and the energy spectrum in the Kepler problem on a threedimensional sphere. Doklady akademii nauk BSSR[Doklady of the Academy of Sciences of BSSR], 1979, vol. 23, no. 11, pp. 987–990 (in Russian).Богуш, А. А. О квантовомеханической задаче Кеплера в пространстве лобачевского / А. А. Богуш, Ю. А. Курочкин, В. С. Отчик // Докл. акад. наук БССР. – 1980.– т. 24, № 1. – С. 19–22.Bogush A. A., Kurochkin Yu. A., Otchik V. S. On the Kepler quantum-mechanical problem in Lobachevsky space] Doklady akademii nauk BSSR[Doklady of the Academy of Sciences of BSSR], 1980, vol. 24, no. 1, pp 19–22 (in Russian).Bogush, A. A. Algebra of conserved operators for the Kepler – Coulomb problem in the spaces of constant curvature / A. A. Bogush, Yu. A. Kurochkin, V. S. Otchik // Physics of Atomic Nuclei. – 1998. – Vol. 61, № 10. – P. 1778–1781.Bogush A. A., Kurochkin Yu. A., Otchik V. S. Algebra of conserved operators for the Kepler–Coulomb problem in the spaces of constant curvature. Physics of Atomic Nuclei, 1998, vol. 61, no. 10, pp. 1778–1781.Gritsev, V. V. The Higgs algebra and the Kepler problem in R 3 / V. V. Gritsev, Y. A. Kurochkin // J. Phys. A: Math. General. – 2000. – Vol. 33, № 22. – P. 4073–4080. https://doi.org/10.1088/0305-4470/33/22/310Gritsev V. V., Kurochkin, Y. A. The Higgs algebra and the Kepler problem in R 3. Journal of Physics A: Mathematical and General, 2000, vol. 33, no. 22, pp. 4073–4080. https://doi.org/10.1088/0305-4470/33/22/310Gritsev, V. V. Nonlinear symmetry algebra of the MIC-Kepler problem on the sphere S 3 / V. V. Gritsev, Y. A. Kurochkin, V. S. Otchik // J. Phys. A: Math. General. – 2000. – Vol. 33, № 27. – P. 4903–4910. https://doi.org/10.1088/0305-4470/33/27/307Gritsev V. V., Kurochkin Y. A., Otchik V. S. Nonlinear symmetry algebra of the MIC-Kepler problem on the sphere S 3. Journal of Physics A: Mathematical and General, 2000, vol. 33, no. 27, pp. 4903–4910. https://doi.org/10.1088/0305-4470/33/27/307Granovskii, Y. I. Quadratic algebra as a ‘hidden’ symmetry of the Hartmann potential / Y. I. Granovskii, I. M. Lutsenko, A. S. Zhedanov // J. Phys. A: Math. General. – 1991. – Vol. 24, № 16. – P. 3887–3894. ttps://doi.org/10.1088/0305-4470/24/16/024Granovskii Y. I., Lutsenko I. M., Zhedanov A. S. Quadratic algebra as a ‘hidden’ symmetry of the Hartmann potential. Journal of Physics A: Mathematical and General, 1991, vol. 24, no. 16, pp. 3887–3894. ttps://doi.org/10.1088/0305-4470/24/16/024Zhedanov, A. S. Hidden symmetry algebra and overlap coefficients for two ring-shaped potentials / A. S. Zhedanov // J. Phys. A: Math. General. – 1993. – Vol. 26, № 18. – P. 4633–4642. https://doi.org/10.1088/0305-4470/26/18/027Zhedanov A. S. Hidden symmetry algebra and overlap coefficients for two ring-shaped potentials. Journal of Physics A: Mathematical and General, 1993, vol. 26, no. 18, pp. 4633–4642. https://doi.org/10.1088/0305-4470/26/18/027Gal’bert, O. F. Dynamical symmetry of anisotropic singular oscillator / O. F. Gal’bert, Y. I. Granovskii, A. S. Zhedanov // Phys. Lett. A. – 1991. – Vol. 153, № 4/5. – P. 177–180. https://doi.org/10.1016/0375-9601(91)90789-bGal’bert O. F., Granovskii Y. I., Zhedanov A. S. Dynamical symmetry of anisotropic singular oscillator. Physics Letters A, 1991, vol. 153, no. 4–5, pp. 177–180. https://doi.org/10.1016/0375-9601(91)90789-bГрановский, Я. И. Квадратичные алгебры и динамика в искривленном пространстве. I. Осциллятор / Я. И. Грановский, А. С. Жеданов, И. M. Луценко // теорет. и мат. физика. – 1992. – т. 91, № 2. – С. 207–216.Granovskii Ya. I., Zhedanov A. S., Lutsenko I. M. Quadratic algebras and dynamics in curved spaces. I. Oscillator. Theoretical and Mathematical Physics, 1992, vol. 91, no. 2, pp. 474–480. https://doi.org/10.1007/bf01018846Грановский, Я. И. Квадратичные алгебры и динамика в искривленном пространстве. II. Проблема Кеплера / Я. И. Грановский, А. С. Жеданов, И. M. Луценко // теорет. и мат. физика. – – 1992. – т. 91, № 3. – С. 396–410.Granovskii, Ya. I., Zhedanov, A. S., Lutsenko, I. M. Quadratic algebras and dynamics in curved spaces. II. The Kepler problem. Theoretical and Mathematical Physics, 1992, vol. 91, no. 3, pp. 604–612. https://doi.org/10.1007/bf01017335The Higgs and Hahn algebras from a Howe duality perspective / L. Frappat [et al.] // Physics Letters A. – 2019. – Vol. 383, №. 14. – P. 1531–1535. https://doi.org/10.1016/j.physleta.2019.02.024Frappat, L., Gaboriaud J., Vinet, L., Vinet, S., Zhedanov, A. S. The Higgs and Hahn algebras from a Howe duality perspective. Physics Letters A, 2019, vol. 383, no. 14, pp. 1531–1535. https://doi.org/10.1016/j.physleta.2019.02.024Bellucci, S. The second Hopf map and Yang-Coulomb system on a 5D (pseudo)sphere / S. Bellucci, J. Toppan, V. Yeghikyan // J. Phys. A: Math. General. – 2010. – Vol. 43, № 4. – P. 045205. https://doi.org/10.1088/1751-8113/43/4/045205Bellucci S., Toppan J.,Yeghikyan V. The second Hopf map and Yang-Coulomb system on a 5D (pseudo)sphere. Journal of Physics A: Mathematical and General, 2010, vol. 43, no. 4, p. 045205. https://doi.org/10.1088/1751-8113/43/4/045205Generalized KS transformation: from five-dimensional hydrogen atom to eight-dimensional isotropic oscillator / Davtyan, L. S., [et al.] // J. Phys. A: Math. General. – 1987. – Vol. 20, № 17. – P. 6121–6126. https://doi.org/10.1088/0305-4470/20/17/044Davtyan L. S., Mardoyan L. G., Pogosyan G. S., Sissakian A. N., Ter-Antonyan V. M. Generalized KS transformation: from five-dimensional hydrogen atom to eight-dimensional isotropic oscillator. Journal of Physics A: Mathematical and General, 1987, vol. 20, no. 17, pp. 6121–6126. https://doi.org/10.1088/0305-4470/20/17/044Mardoyan, L. G. 8D oscillator as a hidden SU(2)-monopole / L. G. Mardoyan, A. N. Sissakian, V. M. Ter-Antonyan. – Dubna: JINR, 1998. – 14 p. – (Preprint / Joint Institute for Nuclear Research; E2-98-14).Mardoyan L. G., Sissakian A. N., Ter-Antonyan V. M. 8D oscillator as a hidden SU(2)-monopole. Dubna, JINR, 1998. 4 p. (Preprint / Joint Institute for Nuclear Research E2-98-14).Mardoyan, L. G. Hidden symmetry of the Yang-Coulomb system / L. G. Mardoyan, A. N. Sissakian, V. M. TerAntonyan // Mod. Phys. Lett. A. – 1999. – Vol. 14, № 19. – P. 1303–1307. https://doi.org/10.1142/s0217732399001395Mardoyan L. G., Sissakian A. N., Ter-Antonyan V. M. Hidden symmetry of the Yang-Coulomb system. Modern Physics Letters A, 1999, vol. 14, no. 19, pp. 1303–1307. https://doi.org/10.1142/s0217732399001395Mardoyan, L. G. Dyon-oscillator duality. Hidden symmetry of the Yang-Coulomb monopole / L. G. Mardoyan // Superintegrability in Classical and Quantum Systems. – 2004. – Vol. 37. – P. 99–108. https://doi.org/10.1090/crmp/037/09Mardoyan, L. G. Dyon-oscillator duality. Hidden symmetry of the Yang-Coulomb monopole. Superintegrability in Classical and Quantum Systems, 2004, vol. 37, pp. 99–108. https://doi.org/10.1090/crmp/037/09Marquette, I. Generalized five-dimensional Kepler system, Yang-Coulomb monopole, and Hurwitz transformation / I. Marquette // J. Math. Phys. – 2012. – Vol. 53, № 2. – P. 022103–12. https://doi.org/10.1063/1.3684955Marquette I. Generalized five-dimensional Kepler system, Yang-Coulomb monopole, and Hurwitz transformation. Journal of Mathematical Physics, 2012, vol. 53, no. 2, pp. 022103–12. https://doi.org/10.1063/1.3684955Pletyukhov, M. V. 8D oscillator and 5D Kepler problem: The case of nontrivial constraints / M. V. Pletyukhov, E. M. Tolkachev // J. Math. Phys. – 1999. – Vol. 40, № 1. – P. 93–100. https://doi.org/10.1063/1.532761Pletyukhov M. V., Tolkachev E. M. 8D oscillator and 5D Kepler problem: The case of nontrivial constraints. Journal of Mathematical Physics,1999, vol. 40, no. 1, pp. 93–100. https://doi.org/10.1063/1.532761Pletyukhov, M. V. Hurwitz transformation and oscillator representation of a 5D isospin particle / M. V. Pletyukhov, E. M. Tolkachev // Rep. Math. Phys. – 1999. – Vol. 43, № 1/2. – P. 303–311. https://doi.org/10.1016/s0034-4877(99)80039-1Pletyukhov M. V., Tolkachev E. M. Hurwitz transformation and oscillator representation of a 5D isospin particle. Reports on Mathematical Physics,1999, vol. 43, no. 1–2, pp. 303–311. https://doi.org/10.1016/s0034-4877(99)80039-1Pletyukhov, M. V. SO(6,2) dynamical symmetry of the SU(2) MIC-Kepler problem / M. V. Pletyukhov, E. M. Tolkachev // J. Phys. A: Math. General. – 1999. – Vol. 32, № 23. – P. L249–L253. https://doi.org/10.1088/0305-4470/32/23/101Pletyukhov M. V., Tolkachev E. M. SO(6,2) dynamical symmetry of the SU(2) MIC-Kepler problem. Journal of Physics A: Mathematical and General, 1999, vol. 32, no. 23, pp. L249–L253. https://doi.org/10.1088/0305-4470/32/23/101The generalized Racah algebra as a commutant / J. Gaboriaud [et al.] // J. Phys.: Conf. Ser. – 2019. – Vol. 1194. – P. 012034. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1194/1/012034Gaboriaud J., Vinet L., Vinet S., Zhedanov A. S. The generalized Racah algebra as a commutant. Journal of Physics: Conference Series, 2019, vol. 1194, pp. 012034. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1194/1/012034The Racah algebra as a commutant and Howe duality / J. Gaboriaud [et al.] // J. Phys. A: Math. Theor. – 2018. – Vol. 51, № 50. – P. 50LT01. https://doi.org/10.1088/1751-8121/aaee1aGaboriaud J., Vinet L., Vinet S., Zhedanov A. S. The Racah algebra as a commutant and Howe duality. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 2018, vol. 51, no. 50, pp. 50LT01. https://doi.org/10.1088/1751-8121/aaee1aHowe, R. Remarks on Classical Invariant Theory / R. Howe // Trans. Am. Math. Soc. – 1989. – Vol. 313, № 2. – P. 539–570. https://doi.org/10.2307/2001418Howe R. Remarks on Classical Invariant Theory. Transactions of the American Mathematical Society, 1989, vol. 313, no. 2, pp. 539–570. https://doi.org/10.2307/2001418Dual pairing of symmetry and dynamical groups in physics / D. J. Rowe [et al.] // Rev. Modern Phys. – 2012. – Vol. 84, № 2. – P. 711–757. https://doi.org/10.1103/revmodphys.84.711Rowe D. J., Carvalho M. J., Repka J. Dual pairing of symmetry and dynamical groups in physics. Reviews of Modern Physics, 2012, vol. 84, no. 2, pp. 711–757. https://doi.org/10.1103/revmodphys.84.711

The authors declare that there are no conflicts of interest present.