vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2019-55-3-263-282vestifm-396Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSО приближениях функции |x|s средними Валле Пуссена рядов Фурье по системе рациональных дробей Чебышева – МарковаOn approximations of the function |x|s by the Vallee Poussin means of the Fourier series by the system of the Chebyshev – Markov rational fractionshttps://orcid.org/0000-0001-7835-0500ПоцейкоП. Г.PatseikaP. G.

Поцейко Павел Геннадьевич – аспирант

ул. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно

Pavel G. Patseika – Postgraduate student

22, Ozheshko Str., 230023, Grodno

pahamatby@gmail.comРовбаЕ. А.RovbaY. A.

Ровба Евгений Алексеевич – доктор физико-математических наук, профессор кафедры фундаментальной и прикладной математики факультета математики и информатики

ул. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно

Yauhen A. Rouba – Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor of the Department of Fundamental and Applied mathematics, Faculty of mathematics and Informatics

22, Ozheshko Str., 230023, Grodna

rovba.ea@gmail.comГродненский государственный университет им. Я. КупалыYanka Kupala State University of Grodno201904102019553263282Copyright © Поцейко П.Г., Ровба Е.А., 20192019Поцейко П.Г., Ровба Е.А.Patseika P.G., Rovba Y.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/396

Исследуются аппроксимативные свойства средних Валле Пуссена рядов Фурье по системе рациональных дробей Чебышева – Маркова в приближении функции |x|s, 0 < s < 2. Приведены основные результаты ранее известных работ о средних Валле Пуссена в полиномиальном и рациональном случаях, а также известные литературные сведения о приближениях функций со степенной особенностью. Вводятся в рассмотрение средние Валле Пуссена на отрезке [–1,1] как метод суммирования рядов Фурье по одной системе рациональных дробей Чебышева – Маркова. Найдено интегральное представление приближений рациональными средними Валле Пуссена функции |x|s, 0 < s < 2, на отрезке [–1,1], оценка уклонений средних Валле Пуссена от функции |x|s, 0 < s < 2, в зависимости от положения точки x на отрезке, равномерная оценка уклонений на отрезке [–1,1] и асимптотическое выражение ее мажоранты. Установлено оптимальное значение параметра, при котором уклонения средних Валле Пуссена от функции |x|s, 0 < s < 2, на отрезке [–1,1] имеют наиболее высокую скорость стремления к нулю. Как следствие полученных результатов подробно исследована задача о приближениях функции |x|s, s > 0, средними Валле Пуссена рядов Фурье по системе многочленов Чебышева первого рода. Найдены поточечная оценка приближений и асимптотическая оценка.

Работа носит как теоретический, так и прикладной характер. Возможно применение как при чтении спецкурсов на математических факультетах, так и для решения конкретных задач вычислительной математики.

The approximative properties of the Valle Poussin means of the Fourier series by the system of the Chebyshev – Markov rational fractions in the approximation of the function |x|s, 0 < s < 2 are investigated. The introduction presents the main results of the previously known works on the Vallee Poussin means in the polynomial and rational cases, as well as on the known literature data on the approximations of functions with power singularity. The Valle Poussin means on the interval [–1,1] as a method of summing the Fourier series by one system of the Chebyshev – Markov rational fractions are introduced. In the main section of the article, a integral representation for the error of approximations by the rational Valle Poussin means of the function |x|s, 0 < s < 2, on the segment [–1,1], an estimate of deviations of the Valle Poussin means from the function |x|s, 0 < s < 2, depending on the position of the point on the segment, a uniform estimate of deviations on the segment [–1,1] and its asymptotic expression are found. The optimal value of the parameter is obtained, at which the deviation error of the Valle Poussin means from the function |x|s, 0 < s <2, on the interval [–1,1] has the highest velocity of zero. As a consequence of the obtained results, the problem of approximation of the function |x|s, s > 0, by the Valle Poussin means of the Fourier series by the system of the Chebyshev first-kind polynomials is studied in detail. The pointwise estimation of approximation and asymptotic estimation are established.

The work is both theoretical and applied. Its results can be used to read special courses at mathematical faculties and to solve specific problems of computational mathematics.

ряд Фурьесистема рациональных дробей Чебышева – Марковасредние Валле Пуссенаравномерные оценкиасимптотические оценкиточные константынаилучшее приближениеFourier seriessystem of Chebyshev – Markov rational fractionsVallee Poussin meansuniform estimatesasymptotic estimatesexact constantsbetter approximationReferencesValleé Poussin, Ch. de La. Sur la meilleure approximation des function d’une variable reelle par des expressions d’ordre donne / Ch. de La Valleé Poussin // C.R. Acad. Sci. Paris. Ser. I: Math. – 1918. – Vol. 166. – P. 799–802.Valleé Poussin Ch. de La. Sur la meilleure approximation des function d’une variable reelle par des expressions d’ordre donne. Comptes Rendus de l’ Academie des Sciences, Paris. Series I: Math., 1918, vol. 166, pp. 799–802.Valleé Poussin, Ch. de La. Lecons sur l’approximation des fonctions d’une variable réelle / Ch. de La Valleé Poussin. – Paris, 1919. – 150 p.Valleé Poussin Ch. de La. Lecons sur l’approximation des fonctions d’une variable réelle. Paris, 1919. 150 p.Никольский, С. М. О некоторых методах приближения тригонометрическими суммами / С. М. Никольский // Изв. Акад. наук СССР. Сер. мат. – 1940. – Т. 4, вып. 6. – C. 509–520.Nikol’skii S. M. On some methods of approximation by trigonometric sums. Izvestiya AN SSSR. Seriya matematicheskaya [Mathematics of the USSR-Izvestiya], 1940, vol. 4, no. 6, pp. 509–520 (in Russian).Стечкин, С. Б. О суммах Валле Пуссена / С. Б. Стечкин // Докл. Акад. наук СССР. – 1951. – Т. 80, № 4. – С. 545–548.Stechkin S. B. On the sums of Valle Poussin. Doklady Akademii nauk SSSR [Proceedings of the academy of sciences of the USSR], 1951, vol. 80, no. 4, pp. 545–548 (in Russian).Теляковский, С. А. Приближение дифференцируемых функций суммами Валле Пуссена / С. А. Теляковский // Докл. Акад. наук СССР. – 1958. – Т. 121, № 3. – C. 426–429.Teliakovskii S. A. approximation of differentiable functions by sums of Valle Poussin. Doklady Akademii nauk SSSR [Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR], 1958, vol. 121, no. 3, pp. 426–429 (in Russian).Ефимов, А. В. О приближении периодических функций суммами Валле Пуссена / А. В. Ефимов // Изв. Акад. наук СССР. Сер. мат. – 1959. – Т. 23, вып. 5. – С. 737–770.Efimov A. V. On the approximation of periodic functions by sums of Valle Poussin. Izvestiya AN SSSR. Seriya matematicheskaya [Mathematics of the USSR-Izvestiya], 1959, vol. 23, no. 5, pp. 737–770 (in Russian).Тиман, А. Ф. Обобщение некоторых результатов А. Н. Колмогорова и С. М. Никольского / А. Ф. Тиман // Докл. Акад. наук СССР. – 1951. – Т. 81, № 4. – С. 509–511.Timan A. F. A generalization of some results of A. N. Kolmogorov and S. M. Nikol’skii. Doklady Akademii nauk SSSR [Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR], 1951, vol. 81, no. 4, pp. 509–511 (in Russian).Ганзбург, И. М. Обобщение некоторых результатов С. М. Никольского и А. Ф. Тимана / И. М. Ганзбург // Докл. Акад. наук СССР. – 1957. – Т. 116, № 5. – С. 727–730.Ganzburg I. M. A generalization of some results of S. M. Nikol’skii and A. F. Timan. Doklady Akademii nauk SSSR [Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR], 1957, vol. 116, no. 5, pp. 727–730 (in Russian).Ганзбург, И. М. Линейные процессы приближения функций, удовлетворяющих условию Липшица, алгебраическими многочленами / И. М. Ганзбург, А. Ф. Тиман // Изв. Аакад. наук СССР. Сер. мат. – 1958. – Т. 22, вып. 6. – C. 771–810.Ganzburg I. M. Linear processes of approximation of functions satisfying the Lipschitz condition by algebraic polynomials. Izvestiya AN SSSR. Seriya matematicheskaya [Mathematics of the USSR-Izvestiya], 1958, vol. 22, no. 6, pp. 771–810 (in Russian).Оматаев, Т. О. О приближении непрерывных на отрезке функций усеченными суммами Влле Пуссена / Т. О. Оматаев // Изв. вузов. Мат. – 1977. – № 6. – С. 99–106.Omataev T. O. The approximation of functions that are continuous on a segment by truncated de la Vallée – Poussin sums. Soviet Mathematics, 1977, vol. 21, no. 6, pp. 78–83.Русак, В. Н. Об одном методе приближения рациональными функциями на вещественной оси / В. Н. Русак // Мат. заметки. – 1977. – Т. 22. – № 3. – С. 375–380.Rusak V. N. A method of approximation by rational functions on the real line. Mathematical notes of the Academy of Sciences of the USSR, 1977, vol. 22, no. 3, pp. 699–702. https://doi.org/10.1007/bf02412498Русак, В. Н. Точные порядковые оценки для наилучших рациональных приближений на классах функций, представимых в виде свертки / В. Н. Русак // Мат. сб. – 1985. – Т. 128, № 4. – С. 492–515.Rusak V. N. Sharp order estimates for best rational approximations in classes of functions representable as convolutions. Mathematics of the USSR-Sbornik, 1987, vol. 56, no. 2, pp. 491–513.Гриб, Н. В. Операторный метод приближения функций ограниченной вариации / Н. В. Гриб // Вес. БДПУ. Сер. 3, Фізіка. Матэматыка. Інфарматыка. Біялогія. Геаграфія. – 2015. – № 2. – С. 28–35.Grib N. V. Operator method for approximation of bounded variation functions. Vestsі BDPU. Seryya 3. Fіzіka. Matematyka. Іnfarmatyka. Bіyalogіya. Geagrafіya = BSPU Bulletin. Series 3. Physics. Mathematics. Informatics. Biology. Geography, 2015, no. 2, pp. 28–35 (in Russian).Ровба, Е. А. Приближение функций, дифференцируемых в смысле Римана – Лиувилля, рациональными операторами / Е. А. Ровба // Докл. Акад. наук Беларуси. – 1996. – Т. 40, № 6. – С. 18–22.Rovba E. A. Approximation of functions differentiable in the Riemann – Liouville sense by rational operators. Doklady Akademii nauk Belarusi = Doklady of the Academy of Sciences of Belarus, 1996, vol. 40, no. 6, pp. 18–22 (in Russian).Смотрицкий, К. А. О приближении функций ограниченной вариации рациональными операторами на отрезке / К. А. Смотрицкий // Весн. Гродзен. дзярж. ун-та імя Я. Купалы. Сер. 2, Матэматыка. Фізіка. Інфарматыка, выліч. тэхніка і кіраванне. – 2005. – № 2. – С. 60–68.Smotritskii K. A. On the approximation of functions of bounded variation by rational operators on a segment. Vesnіk Grodzenskaga dzyarzhaўnaga ўnіversіteta іmya Yankі Kupaly. Seryya 2. Matematyka. Fіzіka. Іnfarmatyka, vylіchal’naya tekhnіka і kіravanne = Vesnik of Yanka Kupala State University of Grodno. Series 2. Mathematics. Physics. Informatics, Сomputer Technology and its Сontrol, 2005, no. 2, pp. 60–68 (in Russian).Бернштейн, С. Н. О наилучшем приближении |x| p при помощи многочленов весьма высокой степени / С. Н. Бернштейн // Изв. Акад. наук СССР. Сер. мат. – 1938 – Т. 2, вып. 2. – С. 169–190.Bernstein S. N. Sur la meilleure approximation de |x| p par des polynomes de degres tre’s eleves. Izvestiya AN SSSR. Seriya matematicheskaya [Mathematics of the USSR-Izvestiya], 1938, vol. 2, no. 2, pp. 169–190 (in Russian).Varga, R. S. Some numerical results on best uniform rational approximation of x a on [0,1] / R. S. Varga, A. J. Carpenter // Numer. Algorithms. – 1992. – Vol. 2, № 2. – P. 171–186. https://doi.org/10.1007/bf02145384Varga R. S., Carpenter A. J. Some numerical results on best uniform rational approximation of x a on [0,1]. Numerical Algorithms, 1992, vol. 2, no. 2, pp. 171–186. https://doi.org/10.1007/bf02145384Райцин, Р. А. Асимптотические свойства равномерных приближений функций с алгебраическими осо бенностями частичными суммами ряда Фурье – Чебышева / Р. А. Райцин // Изв. вузов. Мат. – 1980. – № 3. – С. 45–49.Raitsin R. A. Asymptotic properties of uniform approximations of functions with algebraic singularities by partial sums of a Fourier–Chebyshev series. Soviet Mathematics, 1980, vol. 24, no. 3, pp. 45–49.Rouba, Y. On a system of rational Chebyshev–Markov fractions / Y. Rouba, P. Patseika, K. Smatrytski // Anal. Math. – 2018. – Vol. 44, № 1. – P. 115–140. https://doi.org/10.1007/s10476-018-0110-7Rouba Y., Patseika P., Smatrytski K. On a system of rational Chebyshev–Markov fractions. Analysis Mathematica, 2018, vol. 44, no. 1, pp. 115–140. https://doi.org/10.1007/s10476-018-0110-7Поцейко, П. Г. Об одном представлении сингулярного интеграла Джексона и аппроксимации функции |x| s на отрезке [–1,1] / П. Г. Поцейко // Весн. Гродзен. дзярж. ун-та імя Я. Купалы. Сер. 2, Матэматыка. Фізіка. Інфарматыка, выліч. тэхніка і кіраванне. – 2019. – Т. 9, № 2. – С. 22–38.Potseiko P. G. On one representation of the singular Jackson integral and approximation of a function |x| s on a segment [–1,1]. Vesnіk Grodzenskaga dzyarzhaўnaga ўnіversіteta іmya Yankі Kupaly. Seryya 2. Matematyka. Fіzіka. Іnfarmatyka, vylіchal’naya tekhnіka і kіravanne = Vesnik of Yanka Kupala State University of Grodno. Series 2. Mathematics. Physics. Informatics, Сomputer Technology and its Сontrol, 2019, vol. 9, no. 2, pp. 22–38 (in Russian).Сидоров, Ю. В. Лекции по теории функций комплексного переменного / Ю. В. Сидоров, М. В. Федорюк, М. И. Шабунин. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. – 480 с.Sidorov Iu. V., Fedoriuk M. V., Shabunin M. I. Lectures on the Theory of Functions of a Complex Variable. Moscow, Nauka Publ., 1989. 480 p. (in Russian).Евграфов, М. А. Асимптотические оценки и целые функции / М. А. Евграфов. – М.: Наука, 1979. – 320 с.Evgrafov M. A. Asymptotic estimates and entire functions. Moscow, Nauka Publ., 1979. 320 p. (in Russian).Федорюк, М. В. Асимптотика. Интегралы и ряды / М. В. Федорюк. – М.: Либроком, 2015. – 544 с.Fedoriuk, M. V. Asymptotics. Integrals and Series. Moscow, Librokom Publ., 1987. 544 p. (in Russian).Copson, E. T. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. No 55. Asymptotic Expansions / E. T. Copson. – Cambridge, 1965. – 124 p.Copson E. T. Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. No 55. Asymptotic Expansions. Cambridge, 1965. 124 p.Ровба, Е. А. Константы в приближении функции |x| интерполяционными рациональными процессами / Е. А. Ровба, Е. Г. Микулич // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2009. – Т. 53, № 6. – С. 11–15.Rovba E. A., Mikulich E. G. Constants in the approximation of |x| using the rational interpolation processes. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2009, vol. 53, no. 6, pp. 11– 15 (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.