vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2019-55-3-288-298vestifm-398Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSCамоподобные рациональные мнемофункции и их связь с аналитическим представлением распределенийAuotomodeling rational mnemofunctions and their link to an analytical representation of distributionshttps://orcid.org/0000-0003-2634-4699ШаговаТ. Г.ShahavaT. R.

Шагова Татьяна Григорьевна – аспирант

пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Республика Беларусь

Tatsiana R. Shahava – Postgraduate Student

4, Nezavisimosti Ave., 220030, Minsk, Republic of Belarus

tanya.shagova@gmail.comБелорусский государственный университетBelarusian State University201904102019553288298Copyright © Шагова Т.Г., 20192019Шагова Т.Г.Shahava T.R.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/398

Рассматриваются самоподобные рациональные мнемофункции, т. е. семейства функций вида f(x/ε), где f – правильная рациональная функция, не имеющая полюсов на вещественной оси. Для самоподобных рациональных мнемофункций асимптотическое разложение в пространстве распределений выписывается в явном виде и асимптотическое разложение произведения таких мнемофункций однозначно определяется по разложениям сомножителей.

Разложение самоподобных рациональных мнемофункций на простейшие порождает представление ассоциированных распределений через граничные значения аналитических в верхней и нижней полуплоскостях функций. Оно действует наподобие классического аналитического представления Коши, однако имеет более сложную структуру, так как движение к границе осуществляется по наклонным направлениям. В данной работе описано правило умножения таких представлений, которые будем называть скошенными аналитическими представлениями.

Mnemofunctions of the form f(x/ε), where f is the proper rational function without singularities on the real line, are considered in this article. Such mnemofunctions are called automodeling rational mnemofunctions. They possess the following fine properties: asymptotic expansions in the space of distributions can be written in explicit form and the asymptotic expansion of the product of such mnemofunctions is uniquely determined by the expansions of multiplicands.

Partial fraction decomposition of automodeling rational mnemofunctions generates the so-called sloped analytical representation of a distribution, i.e. the representation of a distribution by a jump of the boundary values of the functions analytical in upper and lower half-planes. Sloped analytical representation is similar to the classical Cauchy analytical representation, but its structure is more complicated. The multiplication rule of such representations is described in this article.

самоподобная рациональная мнемофункцияаналитическое представление распределенияскошенное аналитическое представлениеautomodeling rational mnemofunctionanalytical representation of distributionsloped analytical representationReferencesИванов, В. К. Гиперраспределения и умножение распределений Шварца / В. К. Иванов // Докл. Акад. наук СССР. – 1972. – т. 204, № 5. – C. 1045–1048.Ivanov V. K. Hyperdistributions and the multiplication of Schwartz distributions. Doklady Akademii nauk SSSR [Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR], 1972, vol. 204, no. 5, pp. 1045–1048 (in Russian).Егоров, Ю. В. К теории обобщенных функций / Ю. В. Егоров // Успехи мат. наук. – 1990. – т. 45, вып. 5 (275). – С. 3–40.Egorov Yu. V. A contribution to the theory of generalized functions. Russian Mathematical Surveys, 1990, vol. 45, no 5, pp. 1–49. http://dx.doi.org/10.1070/RM1990v045n05ABEH002683Rosinger, E. E. Generalized Solutions of Nonlinear Partial Differential Equations / E. E. Rosinger. – North-Holland: Mathematics Studies, 1987. – 406 p.Rosinger E. E. Generalized Solutions of Nonlinear Partial Differential Equations. North-Holland, Mathematics Studies, 1987. 406 p.Colombeau, J. F. New generalized functions and multiplication of distributions / J. F. Colombeau. – Amsterdam: North-Holland, 1984. – 374 p. https://doi.org/10.1016/s0304-0208(08)x7056-2Colombeau J. F. New Generalized Functions and Multiplication of Distributions. Amsterdam, North-Holland, 1984. 374 p. https://doi.org/10.1016/s0304-0208(08)x7056-2Антоневич, А. Б. Об общем методе построения алгебр обобщенных функций / А. Б. Антоневич, Я. В. Радыно // Докл. Акад. наук СССР. – 1991. – т. 318, № 2. – С. 267–270.Antonevich A. B., Radyno Ya. V. A general method for constructing algebras of generalized functions. Doklady Akademii nauk SSSR [Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR], 1991, vol. 318, no. 2, pp. 267 – 270 (in Russian).Тихонов, А. Н. Асимптотическое разложение интегралов с медленно убывающим ядром / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский // Докл. Акад. наук СССР. – 1959. – т. 126, № 1. – С. 26–29.Tikhonov A. N., Samarskii A. A. Asymptotic expansion of integrals with slowly decreasing kernel. Doklady Akademii nauk SSSR [Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR], 1959, vol. 126, no 1, pp. 26–29 (in Russian).Риекстыньш, Э. Я. Асимптотические разложения интегралов / Э. Я. Риекстыньш. – Рига: Зинатне, 1974. – т. 1. – 392 с.Riekstynsh A. Ya. Asymptotic expansion of integrals. Vol 1. Riga, Zinatne Publ., 1974. 392 p. (in Russian).Шагова, Т. Г. Об асимптотических разложениях рациональных мнемофункций / Т. Г. Шагова // тр. БГТУ. Сер. 3, Физ.-мат. науки и информатика. – 2018. – т. 206, № 1. – С. 9–11.Shahava T. R. On the asymptotic expansions of rational mnemofunctions. Trudy BGTU. Seriya 3, Fiziko-matematicheskie nauki i informatika = Proceedings of BSTU. Issue 3: Physics and Mathematics. Informatics, 2018, vol. 206, no 1, pp. 9–11 (in Russian).Бремерман, Г. Распределения, комплексные переменные и преобразования Фурье / Г. Бремерман. – М.: Мир, 1968. – 276 с.Bremermann H. Distributions, complex variables, and Fourier transforms. Addison-Wesley Pub., 1965. 186 p.Шагова, Т. Г. Рациональные мнемофункции на R / Т. Г. Шагова // Журн. Белорус. гос. ун-та. Математика. Информатика. – 2019. – № 2. – С. 6–17. https://doi.org/10.33581/2520-6508-2019-2-6-17Shahava T. R. Rational mnemofunctions on R. Zhurnal Belorusskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika. Informatika = Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics, 2019, no 2, pp. 6–17 (in Russian). https://doi.org/10.33581/2520-6508-2019-2-6-17

The authors declare that there are no conflicts of interest present.