vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2019-55-3-299-308vestifm-399Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSОбобщенная задача линейного коположительного программированияGeneralized problem of linear copositive programmingКостюковаО. И.KostyukovaO. I.

Костюкова Ольга Ивановна – доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник

ул. Сурганова, 11, 220072, г. Минск, Республика Беларусь

Olga I. Kostyukova – Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Full Professor, Principal Research Fellow

11, Surganov Str., 220072, Minsk, Republic of Belarus

kostyukova@im.bas-net.byЧемисоваТ. В.TchemisovaT. V.

Чемисова Татьяна Владимировна – кандидат физико-математических наук, преподаватель Департамента математики

Университетский кампус Сантьяго, 3800-192, г. Авейру, Португалия

Tchemisova Tatiana Vladimirovna – Ph. D. (Physics and Mathematics), Assistant Professor of the Department of Mathematics

Campus Universitário Santiago, 3800-192, Aveiro, Portugal

tatiana@ua.ptИнститут математики Национальной академии наук БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of BelarusУниверситет АвейруUniversity of Aveiro201904102019553299308Copyright © Костюкова О.И., Чемисова Т.В., 20192019Костюкова О.И., Чемисова Т.В.Kostyukova O.I., Tchemisova T.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/399

Статья посвящена изучению оптимизационных задач, в которых целевая функция линейна по конечномерной переменной х, в то время как ограничения линейны по х и квадратичны по индексу t, принадлежащему заданному конусу. Задачи такого вида могут интерпретироваться как обобщение задач полуопределенного и коположительного программирования. Для рассматриваемой задачи формулируется эквивалентная задача полубесконечного программирования и вводится множество неподвижных индексов, которое либо пусто, либо является объединением конечного числа выпуклых ограниченных многогранников. Изучение свойств множества допустимых планов позволило сформулировать и доказать новые эффективные условия оптимальности, которые не требуют дополнительных условий на ограничения и имеют форму критериев.

We consider a special class of optimization problems where the objective function is linear w.r.t. decision variable х and the constraints are linear w.r.t. х and quadratic w.r.t. index t defined in a given cone. The problems of this class can be considered as a generalization of semi-definite and copositive programming problems. For these problems, we formulate an equivalent semi-infinite problem and define a set of immobile indices that is either empty or a union of a finite number of convex bounded polyhedra. We have studied properties of the feasible sets of the problems under consideration and use them to obtain new efficient optimality conditions for generalized copositive problems. These conditions are CQ-free and have the form of criteria.

условия оптимальностикоположительное программированиеконическая оптимизациянеподвижные индексыoptimality conditionscopositive programmingconic optimizationimmobile indicesРабота выполнена при частичной финансовой поддержке в рамках государственной программы «Convergence» Республики Беларусь (задание 1.3.01) и португальского фонда FCT (Фонд Португалии для науки и технологии) через CIDMA (Центр изучения и развития математики и приложений) в рамках проекта UID/MAT/04106/2019.This work was partially supported by the state research program “Convergence” (Republic Belarus), Task 1.3.01 and by Portuguese funds through CIDMA – Center for Research and Development in Mathematics and Applications, and FCT – Portuguese Foundation for Science and Technology, within the project UID/MAT/04106/2019.ReferencesOn copositive programming and standard quadratic optimization problems / I. M. Bomze [et al.] // J. Global Optim. – 2000. – Vol. 18, № 4. – P. 301–320. https://doi.org/10.1023/a:1026583532263Bomze I. M., Dür M., Klerk E. de, Roos C., Quist A. J., Terlaky T. On copositive programming and standard quadratic optimization problems. Journal of Global Optimization, 2000, vol. 18, no. 4, pp. 301–320. https://doi.org/10.1023/a:1026583532263Bomze, I. M. Copositive optimization – Recent developments and applications / I. M. Bomze // Eur. J. Operational Research. – 2012. – Vol. 216, № 3. – P. 509–520. https://doi.org/10.1016/j.ejor.2011.04.026Bomze I. M. Copositive optimization – Recent developments and applications. European Journal of Operational Research, 2012, vol. 216, no. 3, pp. 509–520. https://doi.org/10.1016/j.ejor.2011.04.026Dür, М. Copositive Programming – a Survey / M. Dür // Recent advances in Optimization and its applications in Engineering / M. Diehl [et al.]. – Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2010. – P. 3–20. https://doi.org/10.1007/978-3-642-12598-0_1Dür M., Glineur F., Jarlebring E., Michielis W. Copositive Programming – a Survey. Recent advances in Optimization and its applications in Engineering. Berlin-Heidelberg, Springer-Verlag, 2010, pp. 3–20. https://doi.org/10.1007/978-3-642-12598-0_1Strong duality for Semidefinite Programming / V. Motakuri [et al.] // SIAM J. Optim. – 1997. – Vol. 7, № 3. – P. 641– 662. https://doi.org/10.1137/s1052623495288350Motakuri V., Ramana M. V., Tunçel L., Wolkowicz H. Strong duality for Semidefinite Programming. SIAM Journal on Optimization, 1997, vol. 7, no 3, pp. 641–662. https://doi.org/10.1137/s1052623495288350Zhang, Q. Duality formulations in Semidefinite Programming / Q. Zhang, G. Chen, T. Zhang // J. Ind. Manag. Optimiz. – 2010. – Vol. 6, № 4. – P. 881–893. https://doi.org/10.3934/jimo.2010.6.881Zhang Q., Chen G., and Zhang T. Duality formulations in Semidefinite Programming. Journal of Industrial and Management Optimization, 2010, vol. 6, no. 4, pp. 881–893. https://doi.org/10.3934/jimo.2010.6.881Kostyukova, O. I. Optimality conditions for Linear Copositive Programming problems with isolated immobile indices / O. I. Kostyukova, T. V. Tchemisova // Optimization. – 2018. – P. 1–20. https://doi.org/10.1080/02331934.2018.1539482Kostyukova O. I., Tchemisova T. V. Optimality conditions for linear copositive programming problems with isolated immobile indices. Optimization, 2018, pp. 1–20. https://doi.org/10.1080/02331934.2018.1539482Bonnans, J. F. Perturbation Analysis of Optimization Problems// J. F. Bonnans, A. Shapiro. – New-York: SpringerVerlag, 2000. – 601 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1394-9Bonnans J. F., Shapiro A. Perturbation Analysis of Optimization Problems. New-York, Springer-Verlag, 2000. 601 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1394-9Kostyukova, O. I. Optimality Conditions for Convex Semi-Infinite Programming Problems with Finitely Representable Compact Index Sets / O. I. Kostyukova, T. V. Tchemisova // J. Optim. Theory Appl. – 2017. – Vol. 175, № 1. – P. 76–103. https://doi.org/10.1007/s10957-017-1150-zKostyukova O. I., Tchemisova T. V. Optimality Conditions for Convex Semi-Infinite Programming Problems with Finitely Representable Compact Index Sets. Journal of Optimization Theory and Applications, 2017, vol. 175, no. 1, pp. 76– 103. https://doi.org/10.1007/s10957-017-1150-zKostyukova, O. I. Convex SIP problems with finitely representable compact index sets: immobile indices and the properties of the auxiliary NLP problem / O. I. Kostyukova, T. V. Tchemisova // Set-Valued and Variational Analysis. – 2015. – Vol. 23, № 3. – P. 519–546. https://doi.org/10.1007/s11228-015-0320-0Kostyukova O. I., Tchemisova T. V. Convex SIP problems with finitely representable compact index sets: immobile indices and the properties of the auxiliary NLP problem. Set-Valued and Variational Analysis, 2015, vol. 23, no. 3, pp. 519– 546. https://doi.org/10.1007/s11228-015-0320-0Ahmed, F. Copositive Programming via Semi-Infinite Optimization / F. Ahmed, M. Dür, G. Still // J. Optim. Theory Appl. – 2013. – Vol. 159, № 2. – P. 322–340. https://doi.org/10.1007/s10957-013-0344-2Ahmed F., Dür M., Still G. Copositive Programming via Semi-Infinite Optimization. Journal of Optimization Theory and Applications, 2013, vol. 159, no. 2, pp. 322–340. https://doi.org/10.1007/s10957-013-0344-2Kostyukova, O. I. Implicit Optimality Criterion for Convex SIP problem with Box Constrained Index Set / O. I. Kostyukova, T. V. Tchemisova // TOP. – 2012. – Vol. 20, № 2. – P. 475–502. https://doi.org/10.1007/s11750-011-0189-5Kostyukova O. I., Tchemisova T. V. Implicit Optimality Criterion for Convex SIP problem with Box Constrained Index Set. TOP, 2012, vol. 20, no. 2, pp. 475–502. https://doi.org/10.1007/s11750-011-0189-5Eaves, B. C. On quadratic programming / B. C. Eaves // Management Science. – 1971. – Vol. 17, № 11. – P. 698–711. https://doi.org/10.1287/mnsc.17.11.698Eaves B. C. On quadratic programming. Management Science, 1971, vol. 17, no. 11, pp. 698–711. https://doi.org/10.1287/mnsc.17.11.698Левин, В. Л. Применение теоремы Э. Хелли в выпуклом программировании, задачах наилучшего при ближения и смежных вопросах / В. Л. Левин // Мат. сб. – 1969. – Вып. 79 (21), № 2 (6). – С. 250–263.Levin V. L. Application of E. Helly’s theorem to convex programming, problems of best approximation and related questions. Mathematics of the USSR-Sbornik, 1969, vol. 8, no. 2, pp. 235–247.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.