vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"vestifm-4Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSНЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ПОЛУОГРАНИЧЕННОЙ СТРУНЫ С ПЕРВОЙ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ КОСОЙ ПРОИЗВОДНОЙ В НЕСТАЦИОНАРНОМ ГРАНИЧНОМ УСЛОВИИNECESSARY AND SUFFICIENT CONDITIONS FOR FORCED VIBRATIONS OF A SEMIBOUNDED STRING WITH THE FIRST CHARACTERISTIC DIRECTIONAL DERIVATIVE IN THE UNSTEADY BOUNDARY CONDITIONЛомовцевФ. Е.LomovtsevF. E.lomovcev@bsu.byБелорусский государственный университет, МинскBelarusian State University, Minsk201613052016012127Copyright © Ломовцев Ф.Е., 20162016Ломовцев Ф.Е.Lomovtsev F.E.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/4

Методами характеристик и Дюамеля в явном виде выведенo единственное классическое решение смешанной задачи для неоднородного уравнения колебаний полуограниченной струны при первой характеристической косой производной в граничном условии, в котором все коэффициенты зависят от времени. Характеристичность этой первой косой производной означает, что она направлена по критической характеристике уравнения колебаний. Найдены необходимые и достаточные условия на правую часть уравнения, начальные и граничное данные для однозначной везде разрешимости этой смешанной задачи во множестве классических решений. 

By means of the method of characteristics and the Duhamel’s method we have derived a closed-form expression for a unique classical solution of a mixed problem for the inhomogeneous equation of vibration of a semibounded string with the first characteristic directional derivative in the boundary condition where all coefficients are time-dependent. The characteristic nature of this first directional derivative means that it is directed in terms of the critical characteristic of the vibration equation. We have found the necessary and sufficient conditions for the right-hand side of the equation and the initial and boundary data for single-valued everywhere solvability of this mixed problem in the set of classical solutions. 

смешанная задачанестационарное граничное условиехарактеристическая косая производнаяклассическое решениенеобходимое и достаточное условиеусловие согласованиятребование гладкостиmixed problemunsteady boundary conditioncharacteristic directional derivativeclassical solutionnecessary and sufficient conditionreconciliation conditionsmoothness requiremenReferencesБарановская, С. Н. Смешанная задача для уравнения колебания струны с зависящей от времени косой производной в краевом условии / С. Н. Барановская, Н. И. Юрчук // Дифференц. уравнения. – 2009. – Т. 45, № 8. – С. 1188–1191.Барановская, С. Н. Смешанная задача для уравнения колебания струны с зависящей от времени косой производной в краевом условии / С. Н. Барановская, Н. И. Юрчук // Дифференц. уравнения. – 2009. – Т. 45, № 8. – С. 1188–1191.Шлапакова, Т. С. Смешанная задача для уравнения колебания ограниченной струны с зависящей от времени производной в краевом условии, направленной по характеристике / Т. С. Шлапакова, Н. И. Юрчук // Вестн. Белорус. гос. ун-та. Сер. 1. Физика. Математика. Информатика. – 2013. – № 2. – С. 84–90.Шлапакова, Т. С. Смешанная задача для уравнения колебания ограниченной струны с зависящей от времени производной в краевом условии, направленной по характеристике / Т. С. Шлапакова, Н. И. Юрчук // Вестн. Белорус. гос. ун-та. Сер. 1. Физика. Математика. Информатика. – 2013. – № 2. – С. 84–90.Ломовцев, Ф. Е. Метод Дюамеля решения неоднородного уравнения колебаний полуограниченной струны с косой производной в нестационарном граничном условии / Ф. Е. Ломовцев, Е. Н. Новиков // Вестн. Белорус. гос. ун-та. Сер. 1. Физика. Математика. Информатика. – 2012. – № 1. – С. 83–86.Ломовцев, Ф. Е. Метод Дюамеля решения неоднородного уравнения колебаний полуограниченной струны с косой производной в нестационарном граничном условии / Ф. Е. Ломовцев, Е. Н. Новиков // Вестн. Белорус. гос. ун-та. Сер. 1. Физика. Математика. Информатика. – 2012. – № 1. – С. 83–86.Ломовцев, Ф. Е. Классические решения неоднородного факторизованного гиперболического уравнения второго порядка в четверти плоскости при полунестационарной второй косой производной в граничном условии / Ф. Е. Ломовцев, Е. Н. Новиков // Весн. Вiцеб. дзярж. ун-та. – 2015. – № 4 (88). – С. 5–11.Ломовцев, Ф. Е. Классические решения неоднородного факторизованного гиперболического уравнения второго порядка в четверти плоскости при полунестационарной второй косой производной в граничном условии / Ф. Е. Ломовцев, Е. Н. Новиков // Весн. Вiцеб. дзярж. ун-та. – 2015. – № 4 (88). – С. 5–11.Корзюк, В. И. Уравнения математической физики / В. И. Корзюк. – Минск: БГУ, 2011.Корзюк, В. И. Уравнения математической физики / В. И. Корзюк. – Минск: БГУ, 2011.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.