vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2019-55-3-319-324vestifm-401Research ArticleФИЗИКАPHYSICSОписание свободной квантово-механической частицы в пространстве лобачевского на основе интегрального уравненияDescription of a free quantum-mechanical particle in the Lobachevsky space based on the integral equationКурочкинЮ. А.KurochkinYu. A.

Курочкин Юрий Андреевич – доктор физико-математических наук, заведующий центром «Фундаментальные взаимодействия и астрофизика»

пр. Независимости, 68-2, 220072, г. Минск, Республика Беларусь

Yurii A. Kurochkin – Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Head of the Center of the Center «Fundamental Interactions and Astrophysics»

68-2, Nezavisimosti Ave., 220072, Minsk, Republic of Belarus

yukuroch@dragon.bas-net.byИнститут физики им. Б. И. Степанова Национальной академии наук БеларусиB. I. Stepanov Institute of Physics of the National Academy of Sciences of Belarus201904102019553319324Copyright © Курочкин Ю.А., 20192019Курочкин Ю.А.Kurochkin Y.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/401

Квантово-механическая задача о движении свободной частицы в трехмерном пространстве Лобачевского интерпретируется как рассеяние пространством. Квантовый случай рассматривается на основе интегрального уравнения, выведенного из уравнения Шредингера. Работа продолжает рассмотренную в [1] задачу, исследованную в рамках классической механики и на основе решения уравнения Шредингера в квазидекартовых координатах. В предлагаемом исследовании также используется квазидекартова система координат, однако после разделения переменных для движения вдоль оси симметрии орисферы, совпадающей с осью z, выводится интегральное уравнение. Устанавливается связь амплитуды рассеяния с аналитическими функциями. Метод последовательных приближений и конечно-разностный метод решения полученного уравнения предлагаются.

The quantum mechanical problem of the motion of a free particle in the three-dimensional Lobachevsky space is interpreted as space scattering. The quantum case is considered on the basis of the integral equation derived from the Schrödinger equation. The work continues the problem considered in [1] studied within the framework of classical mechanics and on the basis of solving the Schrödinger equation in quasi-Cartesian coordinates. The proposed article also uses a quasi-Cartesian coordinate system; however after the separation of variables, the integral equation is derived for the motion along the axis of symmetry horosphere axis coinciding with the z axis. The relationship between the scattering amplitude and the analytical functions is established. The iteration method and finite differences for solution of the integral equation are proposed.

Лобачевского пространствоoрисферакоординатыШредингера уравнениерассеяниеамплитуда рассеянияаналитическое представлениеметодитерацииконечные разностиLobachevsky spacehorospherecoordinatesSchrödinger equationscatteringscattering amplitudeanalytical presentationmethoditerationsfinite differencesАвтор выражает благодарность В. М. Редькову за полезные замечания и участникам семинара центра «Фундаментальные взаимодействия и астрофизика» Института физики им. Б. И. Степанова Национальной академии наук Беларуси за плодотворное обсуждение работы.The author is grateful to Doctor V. M. Redkov for useful comments and the participants of the seminar of the Center «Fundamental Interactions and Astrophysics» of the B. I. Stepanov Institute of Physics of the National Academy of Sciences of Belarus for valuable discussion of the work.ReferencesКурочкин, Ю. А. Интерпретация свободного движения в пространстве Лобачевского в терминах теории рассеяния / Ю. А. Курочкин // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2017. – № 3. – С. 49–55.Kurochkin Yu. A. Interpretation of the free motion of particles in the Lobachevsky space in the term of the scattering theory. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2017, no. 3, pp. 49–55 (in Russian).Олевский, М. Н. Триортогональные системы в пространствах постоянной кривизны, в которых уравнение Δ 2 U 2 + λU = 0 допускает полное разделение переменных / М. Н. Олевский // Мат. сб. – 1950. – Т. 27. – С. 379–426.Olevskii M. N. Triorthogonal systems in spaces of constant curvature in which the equation Δ 2 U 2 + λU = 0 allows a complete separation of variables. Matematicheskii Sbornik = Sbornik: Mathematics, 1950, vol. 27, pp. 379–426 (in Russian).Шапиро, И. С. Разложение волновой функции по неприводимым представлениям группы Лоренца / И. С. Шапиро // Докл. Акад. наук СССР. – 1956. – Т. 106. – С. 647.Shapiro I. S. Decomposition of the wave function on irreducible represantations of the Lorentz groop. Doklady Akademii nauk SSSR [Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR], 1956, vol. 106, pp. 647 (in Russian).Гельфанд, И. М. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений / И. М. Гельфанд, М. И. Граев, Н. Я. Виленкин. – М.: Физматгиз, 1962. – 656 с.Gelfand I. M., Graev M. I., Vilenkin N. Ya. Integral geometry in a space of constant curvature. Academic Press, 1966. https://doi.org/10.1016/b978-1-4832-2975-1.50010-0Виленкин, Н. Я. Инвариантные разложения релятивистских амплитуд / Н. Я. Виленкин, Я. А. Смородинский // ЖЭТФ. – 1964. – Т. 46. – С. 1793–1808.Vilenkin N. Ya., Smorodinskii Ya. A. Invariant decomposition relativistic amplitude. Zhurnal eksperimental'noi i teoreticheskoi fiziki = Journal of Experimental and Theoretical Physics, 1964, vol. 46, pp. 1793–1808 (in Russian).Ву, Т. Ю. Квантовая теория рассеяния // Т. Ю. Ву, Т. О. Омура. – М.: Наука, 1969. – 451 с.Ta Yu Vu, Takashi Ohmura. Quantum Theoryof Scattering. Prentice-Hole INC., 1962.Кадышевский, В. Г. Трехмерная формулировка релятивистской проблемы двух тел // В. Г. Кадышевский, Р. М. Мир-Касимов, Н. Б. Скачков // Физика элементарных частиц и атомного ядра. – 1971. – Т. 2, вып. 3. – С. 636–690.Kadyshevskii V. G., Mir-Kasimov R. M., Skachkov N. B. Three dimensional formulation of the relativistic two body problem. Fizika elementarnykh chastits i atomnogo yadra = Physics of Elementary Particles and Atomic Nuclei, 1972, vol. 2, no. 3, pp. 635–690 (in Russian).Овсиюк, Е. М. Точно решаемые задачи квантовой механики и классической теории поля в пространствах с неевклидовой геометрией / Е. М. Овсиюк. – Минск: РИВШ, 2013. – 406 с.Ovsiyuk E. M. Exactly solved problems quantum mechanics and classical theory of the field in space with nonEuclidean geometry. Minsk, Republican Institute of Higher Education, 2013. 406 p. (in Russian).Ovsiyuk, E. M. On Simulating a Medium with Special Reflecting Properties by Lobachevsky Geometry // E. M. Ovsiyuk, O. V. Veko, V. M. Red’kov // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. – 2013. – Vol. 16, № 4. – P. 331–344.Ovsiyuk E. M., Veko O. V., Red’kov V. M. On Simulating a Medium with Special Reflecting Properties by Lobachevsky Geometry. Nonlinear Phenomena in Complex Systems, 2013, vol. 16, no. 4, pp. 331–344.Овсиюк, Е. М. О моделировании потенциального барьера в теории Шредингера геометрией пространства Лобачевского / Е. М. Овсиюк, О. В. Веко // Весн. Брэсц. ун-та. Сер. 4, Фізіка. Матэматыка. – 2011. – № 2. – С. 30–37.Ovsiyuk E. M., Veco O. V. About modeling of the potential barrier in the Shcredinger theory by Lobachevsky space geometry. Vestnic Brestskogo universiteta. Seriya 4, Fizika. Matematika = Brest University Herald. Seriya 4, Physics. Mathamatics, 2011, no. 2, pp. 30–37 (in Russian).Бремерман, Г. Распределения, комплексные переменные и преобразования Фурье / Г. Бремерман. – М.: Мир, 1968. – 276 с.Bremerman H. Distributions, Complex Variables, and Fourier Transforms. Readding, Messachusetts, AddisonWealey Pablishing Company, 1965. 276 p.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.