vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2019-55-4-391-405vestifm-462Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSО рациональной интерполяции функции |x|α по расширенной системе узлов Чебышева – МарковаRational interpolation of the function |x|α by an extended system of Chebyshev – Markov nodesРовбаЕ. А.RovbaE. A.

Ровба Евгений Алексеевич – доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой фундаментальной и прикладной математики.

ул. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно

Evgeniy A. Rovba – Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Head of the Department of Fundamental and Applied Mathematics, Faculty of Mathematics and Informatics.

22, Ozheshko Str., 230023, Grodna

rovba.ea@gmail.comМедведеваВ. Ю.MedvedevaV. Yu.

Медведева Виктория Юрьевна – магистрант.

ул. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно

Victoria Yu. Medvedeva – Undergraduate.

22, Ozheshko Str., 230023, Grodna

Medvedeva_VJ_97@mail.ruГродненский государственный университет им. Я. КупалыYanka Kupala State University of Grodno201907012020554391405Copyright © Ровба Е.А., Медведева В.Ю., 20202020Ровба Е.А., Медведева В.Ю.Rovba E.A., Medvedeva V.Y.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/462

 В работе исследуются приближения функции |x|α, α > 0 интерполяционными рациональными функциями Лагранжа на отрезке [–1,1]. В качестве узлов интерполирования выбираются нули четных рациональных функций Чебышева – Маркова и точка x = 0. Получено интегральное представление остатка интерполирования и оценка сверху рассматриваемых равномерных приближений. На их основании подробно изучаются:

а) полиномиальный случай; здесь авторы приходят к известному асимптотическому равенству М. Н. Ганзбурга;

б) в случае фиксированного числа геометрически различных полюсов получена оценка сверху соответствующих равномерных приближений, улучшающая известный результат К. Н. Лунгу;

в) при приближении общими интерполяционными рациональными функциями Лагранжа найдена оценка равномерных приближений и показано, что на концах отрезка [–1,1] ее можно улучшить.

Полученные результаты могут быть применены в теоретических исследованиях и численных методах. 

In this paper, we study the approximations of a function |x|α, α > 0 by interpolation rational Lagrange functions on a segment [–1,1]. The zeros of the even Chebyshev – Markov rational functions and a point x = 0 are chosen as the interpolation nodes. An integral representation of an interpolation remainder and an upper bound for the considered uniform approximations are obtained. Based on them, a detailed study is made:

a) the polynomial case. Here, the authors come to the famous asymptotic equality of M. N. Hanzburg;

b) at a fixed number of geometrically different poles, the upper estimate is obtained for the corresponding uniform approximations, which improves the well-known result of K. N. Lungu;

c) when approximating by general Lagrange rational interpolation functions, the estimate of uniform approximations is found and it is shown that at the ends of the segment [–1,1] it can be improved.

The results can be applied in theoretical research and numerical methods. 

рациональная дробь Чебышева – Марковарациональная интерполяцияфункция со степенной особенностьюrational Chebyshev – Markov fractionrational interpolationfunction with power singularityReferencesLebesgue, H. Sur I’approximation des fonctions / H. Lebesgue // Bull. Sci. Math. – 1898. – № 22. – P. 278–287.Lebesgue H. Sur I’approximation des fonctions. Bulletin des Sciences Mathématiques, no. 22, 1898, pp. 278–287.Landay, E. Über die Approximation einer stetigen Funktion durch eine ganze rationale Funktion / E. Landay // Rend. Circ. Mat. Palermo. – 1908. – Vol. 25, №. 1. – P. 337–345. https://doi.org/10.1007/bf03029135Landay E. Über die Approximation einer stetigen Funktion durch eine ganze rationale Funktion. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 1908, vol. 25, no. 1, pp. 337–345. https://doi.org/10.1007/bf03029135De la Vallee Poussin, Ch. J. Sur l’approximation des fonctions d’une variable réelle et de leurs dérivées par des polynomes et des suites limitées de Fourier / Ch. J. De la Vallee Poussin // Bull. Ac. de Belgique. – 1908. – № 3. – P. 3–64.De la Vallee Poussin Ch. J. Sur l’approximation des fonctions d’une variable réelle et de leurs dérivées par des polynomes et des suites limitées de Fourier . Bull. Ac. de Belgique, no. 3, 1908, pp. 3–64.Бернштейн, С. Н. Доказательство теоремы Вейерштрасса, основанное на теории вероятностей / С. Н. Бернштейн // Сочинения. – 1912. – Т. 1. – С. 105–106.Bernshtein S. N. Proof of the WeierstrassTheorem, based on probability theory. Vol. 1. Writings, 1912, pp. 105–106.Бернштейн, С. Н. О наилучшем приближении |x| посредством многочленов данной степени / С. Н. Бернштейн // Собр. соч.: в 2 т. – М.: Изд-во Акад. наук СССР, 1952. – Т. 1. – С. 157–206.Bernshtein S. N. On the best approximation |x| by polynomials of a given degree. Vol. 1. Moscow, Publishing House Acad. sciences USSR, 1952, pp. 157–206 (in Russian).Бернштейн, С. Н. О наилучшем приближении |x|p при помощи многочленов весьма высокой степени / С. Н. Бернштейн // Изв. Акад. наук СССР. Сер.мат. – 1938 –Т. 2, вып. 2. – С. 169–190.Bernshtein S. N. Sur la meilleure approximation de |x|p par des polynomes de degres tre's eleves. Izvestiya AN SSSR. Seriya matematicheskaya [Mathematics of the USSR-Izvestiya], 1938, vol. 2, no. 2, pp. 169–190 (in Russian).Никольский, С. М. О наилучшем приближении многочленами в среднем функции|a – x|s / С. М. Никольский // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1947. – Т. 11, № 2. – С. 139–180.Nikolskii S. M. On the best mean approximation by polynomials of the functions |a – x|s. Izvestiya AN SSSR. Seriya matematicheskaya [Mathematics of the USSR-Izvestiya], 1947, vol. 11, pp. 139–180 (in Russian).Райцин, Р. А. О наилучшем среднеквадратическом приближении многочленами и целыми функциями конечной степени функций, имеющих алгебраическую особую точку / Р. А. Райцин // Изв. вузов. Математика. – 1969. – № 4. – С. 59–61.Raitsin R. A. On the best approximation in the mean by polynomials and entire functions of finite degree of functions having an algebraic singularity. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedenii. Matematika [Russian Mathematics], 1969, no. 13.pp. 59–61 (in Russian).Brutman, L. On the Divergence of Lagrange Interpolation to |x| / L. Brutman, E. Passow // J. Approx. Theory. – 1995. – Vol. 81, № 1. – P. 127–135. https://doi.org/10.1006/jath.1995.1037Brutman L., Passow E. On the divergence of Lagrange interpolation to |x|. Journal of Approximation Theory, 1995, vol. 81, no. 1, pp. 127–135. https://doi.org/10.1006/jath.1995.1037Byrne, G. J. On Lagrange interpolation with equidistant nodes / G. J. Byrne, T. M. Mills, S. J. Smith // Bull. Aust. Math. Soc. – 1990. – Vol. 42, № 1. – P. 81–89. https://doi.org/10.1017/s0004972700028161Byrne G. J., Mills T. M., Smith S. J. On Lagrange interpolation with equidistant nodes. Bulletin of the Australian Mathematical Society, 1990, vol. 42, no. 1, pp. 81–89. https://doi.org/10.1017/s0004972700028161Li, X. Local convergence of Lagrange interpolation associated with equidistant nodes / X. Li, E. B. Saff // J. Approx. Theory. – 1994. – Vol. 78, № 2. – P. 213–225. https://doi.org/10.1006/jath.1994.1073Li X., Saff E. B. Local convergence of Lagrange interpolation associated with equidistant nodes. Journal of Approximation Theory, 1994, vol. 78, no. 2, pp. 213–225. https://doi.org/10.1006/jath.1994.1073Ganzburg, M. I. The Bernstein Constant and Polynomial Interpolation at the Chebyshev Nodes / M. I. Ganzburg // J. Approx. Theory. – 2002. – Vol. 119, № 2. – P. 193–213. https://doi.org/10.1006/jath.2002.3729Ganzburg M. The Bernstein Constant and Polynomial Interpolation at the Chebyshev Nodes. Journal of Approximation Theory, 2002, vol. 119, no. 2, pp. 193–213. https://doi.org/10.1006/jath.2002.3729Revers, M. On the asymptotics of polynomial interpolation to |x|α at the Chebyshev nodes / M. Revers // J. Approx. Theory. – 2013. – Vol. 165. – P. 70–82.Revers M. On the asymptotics of polynomial interpolation to |x|α at the Chebyshev nodes. Journal of Approximation Theory, 2013, vol. 165, pp. 70–82.Ganelius, T. H. Rational approximation to xα on [0,1] / T. H. Ganelius // Anal. Math. – 1979. – № 5. – P. 19–33. https://doi.org/10.1007/bf02079347Ganelius T. H. Rational approximation to xα on [0,1]. Analysis Mathematica, 1979, no. 5, pp. 19–33. https://doi.org/10.1007/bf02079347Andersson, J.-E. Rational approximation to functions like xα in integral norms / J.-E.Andersson // Anal. Math. – 1988. – № 14. – P. 11–25.Andersson J.-E. Rational approximation to functions like xα in integral norms. Analysis Mathematica, 1988, vol. 14, no. 1, pp. 11–25. https://doi.org/10.1007/bf02350637Вячеславов, Н. С. О приближении функции |x| рациональными функциями / Н. С. Вячеславов // Мат. заметки. – 1974. – Т. 16, № 1. – С. 163–171.Vyacheslavov N. S. Approximation of the function |x| by rational functions. Mathematical Notes, 1974, vol. 16, no. 1, pp. 680–685.Вячеславов, Н. С. О наименьших уклонениях функции signx и ее первообразных от рациональных функциях в метриках Lp, 0 <p ≤ ∞ / Н. С. Вячеславов // Мат. сб. – 1977. – Т. 103 (145), № 1 (5). – С. 23–36.Vyacheslavov N. S. On the least deviations of the function sign x and its primitives from the rational functions in the Lp metrics, 0 <p ⩽∞. Mathematics of the USSR-Sbornik, 1977, vol. 32, no. 1, pp. 19–31. https://doi.org/10.1070/sm1977v032n01abeh002313Шталь, Г. Наилучшие равномерные рациональные аппроксимации |x| на [–1,1] / Г. Шталь // Мат. сб. – 1992. – Т. 183, № 8. – С. 85–118.Shtal' G. Best uniform rational approximation of |x|on [−1,1]. Russian Academy of Sciences. Sbornik Mathematics, 1993, vol. 76, no. 2, pp. 461–487. https://doi.org/10.1070/sm1993v076n02abeh003422Лунгу, К. Н. О наилучших приближениях рациональными функциями с фиксированным числом полюсов / К. Н. Лунгу // Мат. сб. – 1971. – Т. 86 (128), № 2 (10). – С 314–324.Lungu K. N. On best approximations by rational functions with a fixed number of poles. Mathematics of the USSR-Sbornik, 1971, vol. 15, no. 2, pp. 313–324. https://doi.org/10.1070/sm1971v015n02abeh001547Лунгу, К.Н. О наилучших приближениях рациональными функциями с фиксированным числом полюсов / К.Н. Лунгу // Сиб. мат. журн. – 1984. – Т. 25, № 2. – С 151–160.Lungu K. N. Best approximations by rational functions with a fixed number of poles. Siberian Mathematical Journal, 1984, vol. 25, no. 2, pp. 289– 296.https://doi.org/10.1007/bf00971467Ровба, Е. А. О приближении рациональными функциями с заданным числом полюсов / Е. А. Ровба // Современные проблемы теории функций: материалы Всесоюз. шк. по теории функций, Баку, 21 мая – 1 июня 1977 г. / Бакин. гос. ун-т. – Баку, 1980. – С. 234–239.Rovba E. A. On approximation by rational functions with a given number of poles. Sovremennye problem teorii funktsii: materialy Vsesoyuznoi shkoly po teorii funktsii, Baku, 21 maya – 1 iyunya 1977 g. [Modern Problems of the Theory of Functions: Materials All-Union. schools on the theory of functions, Baku, May 21 – June 1, 1977]. Baku, 1980, pp. 234–239 (in Russian).Ровба, Е. А. О приближении периодических аналитических функций с характерными особенностями рациональными функциями/ Е. А. Ровба // Вес. АН БССР. Сер.фiз.-мат. навук. – 1974. – № 6. – С. 43–49.Rovba E. A. On approximation of periodic analytic functions with characteristic features of rational functions.Vestsі Akademіі navuk BSSR. Seryya fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the Academy of Sciences of BSSR. Physics and Mathematics series, 1974, no. 6, pp. 43–49 (in Russian).Русак, В. Н. Рациональные функции как аппарат приближения. – Минск: БГУ, 1979. – 176 с.Rusak V. N. Rational Functions as an Approximation Apparatus. Minsk, BSU, 1979. 176 p. (in Russian).Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г. М. Фихтенгольц. – СПб.: Лань, 1997. – Т. 2. – 800 с.Fikhtengol'ts G. M. Course of Differential and Integral Calculus. Vol. 2. St. Petersburg, Lan` Publ., 1997. 800 p. (in Russian).Пекарский, А. А. Построение экстремальных произведений Бляшке / А. А. Пекарский, Е. В. Ковалевская // Вес. Гродн. гос. ун-та им. Я. Купалы. Сер. 2. – 2017. – Т. 7, № 1. – С. 6–13.Pekarskii A. A, Kovalevskaya E. V. Building extreme works Blaschke. Vesnik Grodnenskogo gosudarstvennogo universiteta imeni Yanki Kupaly. Seriya 2 = Vesnik of the Yanka Kupala Grodno State University. Series 2, vol. 7, no. 1, 2017, pp. 6–13 (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.