vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2019-55-4-413-424vestifm-468Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSИспользование рекурсивных цифровых фильтров для построения разностных схем высоких порядков для нестационарного уравнения ШредингераUsing IIR filters to build high-order finite difference schemes for the unsteady Schrödinger equationГуревскийА. Н.HureuskiA. N.

Гуревский Алексей Николаевич – старший преподаватель кафедры веб-технологий и компьютерного моделирования.

пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск

Aliaksei N. Hureuski – Senior Lecturer of the Department Web-Technologies and Computer Modeling.

4, Nezavisimosti Ave., 220030, Minsk

Белорусский государственный университетBelarusian State University201907012020554413424Copyright © Гуревский А.Н., 20202020Гуревский А.Н.Hureuski A.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/468

Исследованы двухслойные разностные схемы высоких порядков для нестационарного уравнения Шредингера. С использованием методов цифровой обработки сигналов доказан критерий консервативности разностных схем любого порядка для уравнения Шредингера. С помощью достигнутых теоретических результатов вычислены аналитические выражения для коэффициентов разностной схемы восьмого порядка. Получены условия эквивалентности разностных схем восьмого порядка представлению в виде каскада всепропускающих цифровых фильтров первого порядка. На основе численного анализа показано превосходство разностной схемы восьмого порядка при решении линейного уравнения Шредингера над схемой повышенного порядка точности на шеститочечном шаблоне. На примере моделирования двухсолитонного решения нелинейного уравнения Шредингера посредством метода дробных шагов второго порядка точности установлено, что схемы высоких порядков не позволяют радикально улучшить точность полученного решения. Исследован вопрос о вычислительной сложности разностных схем высоких порядков. Полученные результаты могут быть использованы при конструировании эффективных численных алгоритмов численного анализа как линейных, так и нелинейных задач для уравнений шредингеровского типа при применении метода дробных шагов соответствующего порядка точности.

High-order finite difference schemes for the time-dependent Schrödinger equation are investigated. Digital signal processing methods allowed proving the conservativeness of high-order finite difference schemes for the unsteady Schrödinger equation. The eighth-order scheme coefficients were found with the help of the proved theoretical results. The conditions for equivalence between the eighth-order finite difference scheme and the scheme in the form of a cascade of allpass first-order filters were found. The numerical analysis of the proposed scheme was made. It was shown that the high-order finite difference schemes gave better results on solving the linear Schrödinger equations comparing to the well-known fourthorder scheme on the six-point stencil, however, the high-order schemes in couple with the second-order splitting algorithm to the nonlinear Schrödinger equation do not lead to a radical improvement in the quality of numerical results. Practical issues implementing the proposed numerical technique are considered. The obtained results can be used to construct efficient solvers for linear and nonlinear Schrödinger-type equations by applying the splitting schemes of adequate accuracy order.

разностные схемывосьмой порядокуравнение Шредингерарекурсивный цифровой фильтрвсепропускающий фильтрfinite-difference schemeseighth orderSchrödinger equationIIR filterall-pass filterReferencesСамарский, А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. – М.: Наука, 1989. – 616 с.Samarskii A. A. The theory of Finite Difference schemes. Moscow, Nauka Publ., 1989. 616 p. (in Russian).Han, F. New higher-order compact finite difference schemes for 1D heat conduction equations / F. Han, W. Dai // Appl. Math. Modell. – 2013. – Vol. 37, № 16/17. – P. 7940–7952. https://doi.org/10.1016/j.apm.2013.03.026Han F., Dai W. New higher-order compact finite difference schemes for 1D heat conduction equations. Applied Mathematical Modelling, 2013, vol. 37, no. 16-17, pp. 7940–7952. https://doi.org/10.1016/j.apm.2013.03.026Gordin, V. A. Compact differential schemes for the diffusion and Schrödinger equations. Approximation, stability, convergence, effectiveness, monotony / V. A. Gordin, E. A. Tsymbalov // J. Comput. Math. – 2014. – Vol. 32, № 3. – P. 348 370. https://doi.org/10.4208/jcm.1403-cr14Gordin V. A., Tsymbalov E. A. Compact differential schemes for the diffusion and Schrödinger equations. Approximation, stability, convergence, effectiveness, monotony. Journal of Computational Mathematics, 2014, vol. 32, no. 3, pp. 348 370. https://doi.org/10.4208/jcm.1403-cr14Волков, В. М. Спектральная согласованность разностных схем для уравнения теплопроводности / В. М. Волков, А. Н. Гуревский // Вес. Нац. акад. навукБеларусi. Сер.фiз.-мат. навук. – 2017. – № 3. – С. 7–14.Volkov V. M., Hureuski A. N. Spectpal-like resolution of finite-difference schemes for the heat conduction equation. VestsіNatsyianal’naiakademііnavuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykhnavuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2017, no. 3, pp. 7–14 (in Russian).Волков, В. М. Оптимизация компактных разностных схем спектрального разрешения для нестационарного уравнения Шредингера на основе методов цифровой обработки сигналов / В. М. Волков, А. Н. Гуревский, И. В. Жукова // Вестн. БГУ. – 2015. – № 3. – С. 84–89.. Volkov V. M., Gurevskii A. N., Zhukova I. V. Optimization of compact finite difference schemes with spectral-like resolutionа for the non-stationary Schrodinger equation on the base of digital signal processing methods. Vestnik BGU. Seriya 1. Fizika. Matematika. Informatika = Vestnik BSU. Series 1: Physics. Mathematics. Informatics, 2015, no. 3, pp. 84–89 (in Russian).Carena, A. A time-domain optical transmission system simulation package accounting for nonlinear and polarization-related effects in fiber / A. Carena, V. Curri., R. Gaudino, P. Poggiolini, S. Benedetto // IEEE J. Selected Areas in Communications. – 1997. – Vol. 15, № 4. – P. 751–765. https://doi.org/10.1109/49.585785Carena A., Curri V., Gaudino R., Poggiolini P., Benedetto S. A time-domain optical transmission system simulation package accounting for nonlinear and polarization-related effects in fiber. IEEE Journal on Selected Areas in Communications, 1997, vol. 15, no. 4, pp. 751–765. https://doi.org/10.1109/49.585785Сергиенко, А. Г. Цифровая обработка сигналов / А. Г. Сергиенко. – СПб.: БХВ-Петербург, 2011. – 768 с.Sergienko A. G. Digital signal processing. Saint Petersburg, BHV-Petersburg Publ., 2011. 768 p. (in Russian).Askar, S. S. On Solving Pentadiagonal Linear Systems via Transformations / S. S. Askar, A. A. Karawia // Mathematical Problems in Engineering. – 2015. – Vol. 2015. – P. 1–9. https://doi.org/10.1155/2015/232456Askar S. S., Karawia A. A. On Solving Pentadiagonal Linear Systems via Transformations. Mathematical Problems in Engineering, 2015, vol. 2015, pp. 1–9. https://doi.org/10.1155/2015/232456Ахманов, С. А. Оптика фемтосекундных лазерных импульсов / С. А. Ахманов, В. А. Выслоух, А. С. Чиркин. – М.: Наука, 1988. – 312 с.Akhmanov S. A., Vysloukh V. A., Chirkin A. S. Optics of Femtosecond Laser Pulses. Moscow, Nauka Publ., 1988. 312 p. (in Russian).Агравал, Г. Нелинейная волоконная оптика / Г. Агравал. – М.: Мир, 1996. – 323 с.Agrawal G. Nonlinear Fiber Optics. 3rd ed. Academic Press, 2001. 481 p.Optimization of the split-step Fourier method in modeling optical-fiber communications systems / O. V. Sinkin [et al.] // J. Lightwave Technol. – 2003. – Vol. 21, № 1. – P. 61 68. https://doi.org/10.1109/JLT.2003.808628Sinkin O. V, Holzlohner R., Zweck J., Menyuk C. R. Optimization of the split-step Fourier method in modeling optical-fiber communications systems. Journal of Lightwave Technology, 2003, vol. 21, no. 1, pp. 61 68. https://doi.org/10.1109/JLT.2003.808628Волков, В. М. Оптимизация компактных разностных схем спектрального разрешения в методе дробных шагов для нелинейного уравнения Шредингера / В. М. Волков, А. Н. Гуревский // Вес. БГПУ, Сер. 3. – 2016. №4. – С. 11 17.Volkov V. M., Gurevskii A. N. Optimization of compact finite difference schemes with spectral-like resolutions in the split-step method for the nonlinear Schrödinger equation. Vestsі BDPU. Seryya 3, Fіzіka. Matematyka. Іnfarmatyka. Bіyalogіya. Geagrafіya [Bulletin of BSPU. Series 3, Physics. Mathematics. Informatics. Biology. Geography], 2016, no. 4, pp. 11–17 (in Russian).Lele, S. K. Compact finite difference schemes with spectral-like resolution / S. K. Lele // J. Comput. Phys. – 1992. – Vol. 103, № 1. – P. 16–42. https://doi.org/10.1016/0021-9991(92)90324-rLele S. K. Compact finite difference schemes with spectral-like resolution. Journal of Computational Physics, 1992, vol. 103, no. 1, pp. 16–42. https://doi.org/10.1016/0021-9991(92)90324-rГуревский, А. Н. Оптимизация спектральных характеристик разностных схем для нестационарного уравнения Шредингера / А. Н. Гуревский //Вес. Нац. акад. навукБеларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2019. – Т. 55, № 1. – С. 62–68. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2019-55-1-62-68Hureuski A. N. Optimizing the spectral characteristics of the finite-difference schemes for the unsteady Schrödinger equation. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2019, vol. 55, no. 1, pp. 62–68 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2019-55-1-62-68

The authors declare that there are no conflicts of interest present.